2023-2024学年广东省佛山市南海区高二下学期第一次质量数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年广东省佛山市南海区高二下册第一次质量检测数学模拟
试题
一、单选题
1．已知数列{}n a 是公差为-2的等差数列，且211a =，则首项1a =（）A ．41
B ．43
C ．-39
D ．-43
【正确答案】A
【分析】利用等差数列的通项公式求解.【详解】因为数列{}n a 是公差为-2的等差数列，
所有()2111202a a ==+⨯-，解得141a =，故B ，C ，D 错误.故选：A.
2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若310S =，930S =，则6S =（）
A ．15
B ．20
C ．25
D ．－25
【正确答案】B
【分析】根据等差数列前n 项和公式求得首项和公差即可求解.【详解】设公差为d ，
则有133310S a d =+=，9193036S a d ==+即101231a d +=，联立11331031210a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11030
a d ⎧
=
⎪⎨
⎪=⎩，所以61206S a ==，故选:B.
3．已知等比数列{}n a 中，42a =，则127a a a ⋅⋅⋅=（）
A ．8
B ．14
C ．128
D ．256
【正确答案】C
【分析】根据等比数列的性质计算出答案.
【详解】由等比数列的性质可知：2
17263544a a a a a a a ====，
故3
12742128a a a ⋅⋅⋅=⨯=,
故选：C
4．已知一个项数为偶数的等比数列{}n a ，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，
则1a =（）
A ．1
B ．4
C ．12
D ．36
【正确答案】C
【分析】求出等比数列{}n a 的公比，结合等比中项的性质求出2a ，即可求得1a 的值.
【详解】由题意可得所有项之和S S +奇偶是所有偶数项之和S 偶的4倍，所以，4S S S +=奇偶偶，故
13
S S =奇
偶设等比数列{}n a 的公比为q ，设该等比数列共有()2k k N
*
∈项，
则()242132113k k S a a a q a a a qS S -=+++=+++== 奇
奇偶，所以，13q =，因为3
212364a a a a ==，可得24a =，因此，2112a a q
==.故选：C.
5．用数学归纳法证明“633
1232
n n n ++++⋅⋅⋅+=，*n ∈N ”，则当()*
1n k k =+∈N 时，左端应在n k
=的基础上加上（）．
A ．()
3
1k +B ．()()
()
3
33
121k k k ++++⋅⋅⋅++C ．
()()36
112
k k +++D ．()()()
333
12k k k k ++++⋅⋅⋅++【正确答案】B
【分析】分别确定n k =和1n k =+时等式左端的式子，由此可得结果.【详解】解：当n k =时，等式左端为3123k ++++ ，
当1n k =+时，等式左端为()331231k k ++++++ ()
()3
3
21k k +++++ ，
两式比较可知，增加的项为()()
()3
33
121k k k ++++++ ．
故选：B ．
6．已知函数()f x 的导函数为()f x ',且()12f '=，则()()
11lim x f x f x x
∆→-∆-+∆=∆（
）
A ．4-
B ．1
C ．2
D ．4
【正确答案】A
【分析】根据导数的概念与瞬时变化率对所求式子化简，即可结合已知得出答案.
【详解】()()
()()
()0
1111lim 2lim
2142x x f x f x f x f x
f x
x
∆→∆→-∆-+∆+∆--∆=--'==-
∆∆，故选：A.
7．拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数()f x 在闭区间[],a b 上的图象连续不间断，在开区间(),a b 内的导数为()f x '，那么在区间(),a b 内至少存在一点c ，使得
()()()()f b f a f c b a '-=-成立，其中c 叫做()f x 在[],a b 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，
可得函数()()2ln f x x x =-在[]1,2上的“拉格朗日中值点”的个数为（）A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【正确答案】B
【分析】()()2ln f x x x =-求导，设0x 为“拉格朗日中值点”，由题意得到
()()002121ln 021f f x x -+-
==-，构造()2
1ln g x x x
=+-，研究其单调性，结合零点存在性定理得到答案.
【详解】()2
1ln f x x x
'=+-，令0x 为函数()()2ln f x x x =-在[]1,2上的“拉格朗日中值点”，
则()()002121ln 021
f f x x -+-
==-，令()21ln g x x x =+-，则()212
0g x x x '=+>在[]1,2上恒成立，
故()2
1ln g x x x
=+-在[]1,2上单调递增，
又()11210g =-=-<，()21ln 21ln 20g =+-=>，
由零点存在性定理可得：存在唯一的[]01,2x ∈，使得()00g x =.故选：B
8．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取该数列的项：第一次取1；第二次取2个连续的偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续的偶数10，12，14，16；第五次取5个连续的奇数17，19，21，23，25；按此规律取下去，得到一个数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则这个数列中第2022个数是（）
A ．3974
B ．3976
C ．3978
D ．3980
【正确答案】D
【分析】由题意可得，找出取数的规律为：奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，前n 次总共取的数各数量可以通过等差数列求和得到，且第n 次的最后一个数为2n ，据此即可求解.【详解】由题意可得，奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，前n 次共取了()
11232
n n n ++++⋅⋅⋅+=个数，且第n 次的最后一个数为2n ，当63n =时，
()
6363120162
⨯+=，故到第63次取时取了63个奇数，且前63次共取了2016个数，即第2016个数为2633969=，
∴64n =...次为3970，3972，3974，3976，3978，3980，...，∴第2022个数为3980.故选：D.二、多选题
9．已知数列{}n a 的前n 项和()2*12
3N 43
n S n n n =++∈，则下列结论正确的是（）
A ．数列{}n a 是递增数列
B ．数列{}n a 不是等差数列
C ．2a ，4a ，6a 成等差数列
D ．63S S -，96S S -，129S S -成等差数列
【正确答案】BCD
【分析】由n a 与n S 的关系推导出数列{}n a 的通项公式，判断选项A ，B ，分别计算出2a ，4a ，6a 和63S S -，96S S -，129S S -，结合等差数列的定义判断选项C ，D.【详解】()
2*12
S 3N 43
n n n n =
++∈ ，2n ∴≥时，()()22112121
5311343432
12n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=
++--+-+=+⎢⎥⎣⎦，1n =时，114712a S ==，即47
,112
15,2
212n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩，*N n ∈.
211747
1212
a a =
<= ，因此数列{}n a 不是单调递增数列，故A 错误；又1n =时，不满足1
52
12
n a n =+
，∴数列{}n a 不是等差数列，故B 正确；21712a =
，42912
a =，64112a =，因此2a ，4a ，6a 成等差数列，故C 正确；
()63456153545632124S S a a a -=++=⨯+++⨯=，()967891553
78932124S S a a a -=++=⨯+++⨯=，
()1291011121571
10111232124
S S a a a -=++=⨯+++⨯=．
6396129,,S S S S S S ∴---成等差数列，故D 正确.
故选：BCD.
10．已知函数()ln f x x =，()2g x x =，则下列说法正确的是（）
A ．若()()()F x f x g x =，则()22ln F x x '=+
B ．若()()()G x f g x =，则()1
2G x x
'=C ．若()()()f x H x g x =
，则()2
1ln 2x
H x x -'=D ．方程()()2f x g x =-有唯一实根【正确答案】AC
【分析】根据导数的运算法则，复合函数求导，基本初等函数的导数判断ABC ，由数形结合判断D.
【详解】()()()2ln F x f x g x x x ==，故1
()2(ln )2ln 2F x x x x x
'=+⋅=+，故A 正确；
因为()(())ln(2)G x f g x x ==，所以()11
(2)2G x x x x
''=
⨯=，故B 错误；因为22
1
(2)(ln )2
()ln 1ln (),()()2(2)2x x f x x x x H x H x g x x x x ⋅-⋅-'====
，故C 正确；()()2f x g x =-，即ln 22x x =-，作出ln y x =与22y x =-
图象，如图
由图象可知，ln y x =与22y x =-图象有两个不同的交点，故方程()()2f x g x =-有两个实根，故D 错误.
故选：AC
11．悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形，在工程中（如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆）有广泛的应用．当微积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线，直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程
y =2x x
c c c e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，其中c 为参数．当1c =时，我们可构造出双曲函数：双曲正弦函数
()sinh 2
x x
e e x --=
和双曲余弦函数()cosh 2x x e e x -+=．关于双曲函数，下列结论正确的是（）
A ．()()sinh sinh -=-x x
B ．(cosh())sinh()=-'x x
C ．()()cosh 1cosh 2-<
D ．()()2
2
sinh cosh 1
-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦x x 【正确答案】AC
【分析】利用题设条件给出的函数，对各选项逐一分析、推理计算即可判断作答.
【详解】因双曲正弦函数()sinh 2x x
e e x --=和双曲余弦函数()cosh 2x x e e x -+=，
对于A ，()()sinh sinh 2
x x
e e x x ---==-，A 正确；
对于B ，(cosh())()sinh()22
x x x x
e e e e x x --+-''===，B 不正确；
对于C ，显然双曲余弦函数()cosh 2x x
e e x -+=是偶函数，且在(0,)+∞递增，
()()()cosh 1cosh 1cosh 2-=<，C 正确；
对于D ，()()2
2
22
sinh cosh ()()122
x x x x e e e e x x ---+-=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，D 不正确.故选：AC
12．已知函数()sin ln f x x x =+，将()f x 的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列{}n x ，对于正整数n ，则下列说法中正确的有（
）
A ．()1ππn n x n
-<<B ．1π
n n x x +-<
C ．(21)π2n n x ⎧-⎫-⎨⎬⎩⎭
为递减数列
D ．()2(41)π
1ln
2
n n f x ->-+【正确答案】AC
【分析】()f x 的极值点为()f x '的变号零点，即为函数cos y x =与函数1
y x
=-图像在()0,∞+交点的横坐标.将两函数图像画在同一坐标系下.A 选项，利用零点存在性定理及图像可判断选项；BC 选项，由图像可判断选项；
D 选项，注意到(41)π(41)π1ln 22n n f --⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
，由图像可得()f x 单调性，后可判断选项.【详解】()f x 的极值点为()1
cos f x x x
'=+在()0,∞+上的变号零点.
即为函数cos y x =与函数1
y x
=-图像在()0,∞+交点的横坐标.
又注意到()0,x ∈+∞时，10x -
<，N k ∈时，()1212cos π+ππ+π
k k =-<-，N k *∈，022222πππ
,∪π,πx k k ⎛⎫⎛⎫∈-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
时，cos 0x >.据此可将两函数图像画在同一坐标系
中，如下图所示.
A 选项，注意到N k ∈时，1
20222ππππf k k ⎛⎫'+=> ⎪⎝⎭+，()12102ππππ
f k k '+=-+<+，3120
3222
ππππ
f k k ⎛⎫'+=> ⎪⎝⎭+.结合图像可知当21，N n k k *=-∈，()()112π,ππ,π
n x n n n n ⎛⎫⎛⎫
∈-⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当2，N n k k *
=∈，(
)()()1112π,ππ,πn x n n n n ⎛⎫
⎛⎫∈--⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.故A 正确；
B 选项，由图像可知3253
22
π，πx x ><，则32πx x ->，故B 错误；C 选项，(21)π2n n x --
表示两点(),0n x 与12π,0n ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
间距离，由图像可知，
随着n 的增大，两点间距离越来越近，即(21)π2n n x ⎧-⎫
-⎨⎬⎩⎭
为递减数列.故C 正确；
D 选项，由A 选项分析可知，()241212π,π，N n n x n n *⎛⎫
-∈-∈ ⎪⎝⎭
，又结合图像可知，当()2412,
πn n x x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭
时，1
cos x x >-，即此时()0f x ¢>，得()f x 在()2412,n n x ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递增，则()2(41)π(41)π1ln 22n n n f x f --⎛⎫
<=-+ ⎪⎝⎭
，故D 错误.故选：AC
关键点点睛：本题涉及函数的极值点，因函数本身通过求导难以求得单调性，故将两相关函数画在同一坐标系下，利用图像解决问题.三、填空题
13．若函数()ln f x a x bx =+在1x =处取得极值3，则b a -=______【正确答案】6
【分析】根据函数()f x 在1x =处取得极值3，得到(1)0f a b '=+=，且(1)3f b ==，即可求解．【详解】()ln f x a x bx =+ ，()a
f x b x
'∴=+，又函数()f x 在1x =处取得极值3，则(1)0f a b '=+=，且(1)3f b ==，所以3a =-，3b =，6b a -=．故6．
14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知19a =-，525S =-，n n b a =，{n b }的前n 项和为n T ，则10T =_________.【正确答案】50
【分析】根据等差数列的求和公式和通项公式代入即可求解.
【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和且525S =-，所以5154
5252
S a d ⨯=+=-，又19a =-，所以2d =，
所以1(1)92(1)211n a a n d n n =+-=-+-=-，
211n n b a n ==-，
所以10123410
...T b b b b b =+++++97531+1+3+5+7+9=++++=50.
故答案为.50
15．直线l 经过点3,05⎛⎫
⎪⎝⎭
，且与曲线2(1)y x x =+相切，写出l 的一个方程_______．
【正确答案】0y =（答案不唯一）
【分析】先对()f x 求导，再假设直线l 与()f x 的切点为()00,x y ，斜率为k ，从而得到关于00,,x y k 的方程组，解之即可求得直线l 的方程.
【详解】因为()232(1)y f x x x x x ==+=+，
所以()2
32f x x x '=+，
不妨设直线l 与()f x 的切点为()00,x y ，斜率为k ，
则()2
000
003200032035k f x x x y k x y x x ⎧
⎪==+⎪
-⎪='⎨⎪-
⎪⎪=+⎩，解得00000x y k =⎧⎪=⎨⎪=⎩或00125x y k =⎧⎪=⎨⎪=⎩或003518125325x y k ⎧=-⎪⎪⎪
=⎨⎪⎪
=-⎪⎩
，
当000,0,0x y k ===时，直线l 为0y =；
当001,2,5x y k ===时，直线l 为()251y x -=-，即530x y --=；
当003183
,,512525
x y k =-=
=-时，直线l 为1833125255y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即1512590x y +-=；综上：直线l 的方程为0y =或530x y --=或1512590x y +-=.
故0y =（答案不唯一）.四、双空题
16．
已知函数32()f x x ax bx c =+++恰有两个零点1x ，2x 和一个极大值点0102()x x x x <<，且1x ，0x ，2x 成等比数列，则
2
1
x x =__________；若0()()f x f x >的解集为(5,)+∞，则()f x 的极大值为__________．【正确答案】
4
4
【分析】根据已知，结合三次函数的图象特征可得2x 是()f x 的极小值点，借助导数及函数零点可得102,,x x x 的关系即可求出
2
1
x x ；由不等式的解集求出0x ，再验证即可求出极大值作答.【详解】因三次函数32()f x x ax bx c =+++有一个极大值点0x ，则该函数必有一个极小值点，且极小值点大于0x ，
又()f x 恰有两个零点1x ，2x ，且102x x x <<，因此2x 也是()f x 的极小值点，
求导得：2()32f x x ax b '=++，即0x ，2x 是方程()0f x '=的二根，有020223
13x x a x x b ⎧
+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，即
0202
3()
23a x x b x x ⎧
=-+⎪⎨⎪=⎩，显然2322
121212212()()()(2)(2)f x x x x x x x x x x x x x x x =--=-+++-，则12023(2))2
x x a x x -+==-+，
整理得12023x x x +=，两边平方得：22211220449x x x x x ++=，因102,,x x x 成等比数列，即2
012x x x =，于是得22
112212449x x x x x x ++=，即1212(4)()0x x x x --=，而12x x <，有124x x =，所以
2
1
4x x =；显然有10201,22x x x x =
=，2001()()(2)2f x x x x x =--，23000011()()()(2)022
f x f x x x x x x >⇔--->，因0()()f x f x >的解集为(5,)+∞，则5是方程23
00011()(2)022
x x x x x ---=的根，即有2300011
(5)(52)022
x x x -
--=，整理得：200(2)(5)0x x --=，解得02x =或05x =，当02x =时，2()(1)(4)f x x x =--，0()4f x =，不等式22(1)(4)4(2)(5)0x x x x -->⇔-->，解得5x >，符合题意，函数()f x 的极大值为0()4f x =，当05x =时，2
5()()(10)2f x x x =--，0125()2
f x =，不等式
22512525()(10)(5)()0222
x x x x -->⇔-->，
解得25
2
x >，不符合题意，舍去，所以函数()f x 的极大值为0()4f x =.故4；4
方法点睛：可导函数()y f x =在点0x 处取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 左侧与右侧()f x '的符号不同．五、解答题
17．已知函数()f x 满足()()32
11f x x f x =-'⋅+.
(1)求(1)f '的值；
(2)求()f x 的图象在2x =处的切线与两坐标轴所围三角形的面积.【正确答案】(1)1(2)
12116
【分析】（1）根据求导的法则和四则运算结合()1f '是常数代入即可求解；（2）根据导数的几何意义以及点斜式方程表示即可求解.
【详解】（1）因为()()3211f x x f x =-'⋅+所以()()()2
312f x x f x =-⋅''，
取1x =得()()1321f f ''=-，所以()313f '=，即()11f '=.
（2）因为()11f '=，
所以()32
1f x x x =-+，
所以()2
32f x x x '=-，
在2x =处，()2
232228f '=⨯-⨯=，
()3222215f =-+=，
所以切线方程为58(2)y x -=-，所以8110x y --=，
令0x =得11y =-，令0y =得118
x =
，所以()f x 的图象在2x =处的切线与两坐标轴所围三角形的面积为111121112816
S =
⨯⨯-=.18．已知数列{n a }的前n 项和为n S ，11a =，给出以下三个条件:①22n n a a +-=；②{n a }是等差数列；③222++=+n n a a n .
(1)从三个条件中选取两个，证明另外一个成立；
(2)利用（1）中的条件，求证:数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和3
4n T <.
【正确答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析
【分析】（1）由①②作为条件，求出等差数列
{}
n a 的通项公及前n 项和，即可求证③成立；
由①③作为条件，根据()()1112n n
n S n a S S n -⎧-⎪=⎨-≥⎪⎩，得出222n n a a n ++=+及22n n a a +-=联立，即
可求出数列{}n a 的通项公式，根据等差数列定义即可证明②成立；由②③作为条件，设等差数列
{}n a 的公差d ，用d 表示等差数列{}n a 通项公及前n 项和，代入222++=+n n a a n ，求出等
差数列{}n a 的公差d ，进而求出等差数列的通项公式，即可证明①成立；
（2）由(1)求出等差数列{}n a 通项公式，进而求出数列21n n a a +⎧⎫
⎨⎬⋅⎩⎭
的通项公式，再利用裂项
相消求出n T 进行放缩证明即可.
【详解】（1）将①②作为条件，③作为结论；设等差数列
{}
n a 的公差为d ，
则由22n n a a +-=得，
22d =，
解得1d =，因为11a =，所以等差数列
{}n a 的通项公式为n a n =.
所以22
n n n
S +=，
所以()()()()22
221
22112
2
2
n n n n n n n a S S n +++++++++=-=
-=+所以222++=+n n a a n 成立；将①③作为条件，②作为结论；
联立22222n n n n
a a a a n ++-=⎧⎨+=+⎩解得n a n =，
所以11n a n +=+，
所以111(n n a a n n +-=+-=常数)，所以数列
{}n a 是以首项为
1，公差为1的等差数列.所以②成立；
将②③作为条件，①作为结论；设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()21111n n a n d a n d +=+-=++，，由222++=+n n a a n ，得222n 2nd +=+，
解得1d =，所以等差数列{}n a 的通项公式为,
n a n =22
n a n +∴=+所以222n n a a n n +-=+-=，即得22n n a a +-=，所以①成立；（2）由（1）知，n a n =，
22
n a n +∴=+所以
()211111222n n a a n n n n +⎛⎫
==⨯- ⋅++⎝⎭
，
因为数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭
的前n 项和为n T ,
所以11111111111112324352112n T n n n n n n ⎛⎫
=
-+-+-++-+-+- ⎪
--++⎝⎭
111112212n n ⎛⎫
=⨯+- ⎪++⎝⎭13112212n n ⎛⎫=⨯-- ⎪++⎝⎭
.当n ∞→+时，110012
n n →→++，，所以1311133
2212224
n T n n ⎛⎫=
⨯--<⨯= ⎪++⎝⎭，即证数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭
的前n 项和3
4n T <.
19．数列{n a }满足11a =，1
1021
n n n a a a +++=-.
(1)求数列{n a }的通项公式；(2)若数列{n b }满足12b =，11
2n n n n b a
b a ++=⋅，求{n b }的前n 项和n S .【正确答案】(1)121
n a n =-(2)1
=6+(23)2
n n S n +-【分析】（1）利用取倒数法和等差数列的定义即可求解；（2）利用累乘法和乘公比错位相减即可求解.
【详解】（1）1
1021
n n n a a a +++=-，
所以1
121
n n n a a a ++=-
-，
两边取倒数得11
211
n n n a a a ++-=-，整理得
1112n n
a a +-=，所以1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，
所以1
11
(1)n n d a a =+-，所以
1
21n
n a =-，所以1
21
n a n =
-.
（2）111
21
21222121
2(1)1
n n n n b a n n b a n n +++-=⋅=⋅=⋅-+-,所以11212121212353...222...2221232531n n n n n n b b b b n n n b b b b n n n +---+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⋅⋅=⋅⋅⋅⨯⨯ ⎪⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以累乘得112121n n b n b ++⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，又12b =，所以()+1
12
21n n b n +=⋅+，
所以()221n
n b n =⋅-，
123=...n n S b b b b ++++，
所以12345=1232527292...(21)2n
n S n ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++-，①
所以234561
2=1232527292...(21)2n n S n +⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++-，②
两式相减得234561
=2+2222222222...22(21)2n n n S n +-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯--，
34511=2+222...+2(21)2n n n S n ++-+++--，
所以3112(12)
=2+(21)212
n n n S n -+----，
所以1
=6+(23)2
n n S n +-.
20．西部某地为了贱行“绿水青山就是金山银山”，积极改造荒山，进行植树造林活动，并适当砍伐一定林木出售以增加群众收入，当地2022年年末有林场和荒山共2千平方公里，其中荒山1.5千平方公里，打算从明年(2023年)起每年年初将上年荒山(含上年砍伐的林区面积)的16%植树绿化，年末砍伐上年年末共有林区面积的4%以创收.记2023年为第一年，n a 为第n 年末林区面积(单位:千平方公里).
(1)确定n a 与1n a +的递推关系(即把n a ，用1n a +表示)(2)证明:数列{}1.6n a -是等比数列，并求n a ；
(3)经过多少年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里？(参考数据:40.80.4096=)
【正确答案】(1)10.80.32n n a a +=+.
(2) 1.6 1.10.8n
n a =-⨯.
(3)经过5年,该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里.
【分析】（1）根据题意找出林区和荒山的转化关系即可求解；（2）通过构造数列即可证明；（3）求解指数不等式即可求解.
【详解】（1）
()()()()111111.516%0.514%0.72216%14%0.80.320.80.322n n n n n n a a a a a a a n ----=⨯+⨯-==-⨯+⨯-=+∴=+≥，
，，
10.80.32n n a a +∴=+.
（2）()111.60.80.32 1.60.8 1.6n n n a a a ---=+-=-，111.6
0.8 1.60.8801.6
n n a a a --∴
=-=-≠-且，
11.60.880.8 1.10.8n n n a -∴-=-⨯=-⨯，
所以数列
{}
1.6n a -是等比数列.
解得 1.6 1.10.8n
n a =-⨯.
（3）由（2）知 1.6 1.10.8 1.2n
n a =-⨯≥，
解得40.811
n
≤
,0.8n y =是递减的指数函数，
当4n =时4
40.80.409611=>
,当5n =时5
40.80.3276811
=≤
.经过5年,该地当年末的林区面积首次超过 1.2千平方公里.
21．已知函数()()()2
e 3e 42
a x
f x x x x =---.
(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)当02a <<时，讨论函数()f x 的零点个数.
【正确答案】(1)单调增区间为(),1-∞和()2,+∞，单调减区间为()
1,2
(2)答案见解析
【分析】（1）求导得到()()()2e e x
f x x '=--，根据导函数的正负得到单调区间.
（2）求导得到()()(2)e e x a
f x x '=--，确定函数的单调区间，计算()0f a =和(2)0f =，得到
3a =2ln 2a =-，考虑03a <<，3a =，
32ln 2a <-，2ln 2a =-，2ln 22a -<<几种情况，计算零点得到答案.
【详解】（1）当1a =时，()()()()()2e e 22e e x x
f x x x x '=---=--，
当1x <时，()0f x '>；当12x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>，所以函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞和(2,)+∞，单调减区间为(1,2).
（2）()()(2)e e (2)(2)e e x a a
x f x x x x '=---=--，
令()0f x '=，得2x =或x a =，由于02a <<，
当x a <时，()0f x '>；当2a x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>.所以函数()f x 的单调增区间为(,)a -∞和(2,)+∞，单调减区间为(,2)a .()()22e e ()(3)e 46622
a a
a
f a a a a a a =---=-+-，
令()0f a =，得3a =，
当03a <<时，(2)()0f f a <<，又4(4)e 0f =>，
所以存在唯一1(2,4)x ∈，使得()10f x =，此时函数()f x 有1个零点1x ；
当3a =(2)()0f f a <=，又4(4)e 0f =>，
所以存在唯一2(2,4)x ∈，使得()20f x =，此时函数()f x 有2个零点2x 和a ；令2(2)e 2e 0a f =-+=，得2ln 2a =-，
现说明32ln 2<-，即ln 21<，即1
2<显然成立.
因为10772 2.7e <<，故7
1
10
e 2>>，
当32ln 2a <<-时，(2)0()f f a <<，又4(4)e 0,(0)30f f =>=-<.所以存在唯一3(0,)x a ∈，唯一4(,2)x a ∈，唯一5(2,4)x ∈，
使得()()()3450f x f x f x ===，此时函数()f x 有3个零点345,,x x x ，
当2ln 2a =-时，()(2)0f a f >=，又(0)30f =-<.
所以存在唯一6(0,)x a ∈，使得()60f x =，此时函数()f x 有2个零点6x 和2.当2ln 22a -<<时，()(2)0f a f >>，又(0)30f =-<.
所以存在唯一7(0,)x a ∈，使得()70f x =，此时函数()f x 有1个零点7x .
综上所述，当03a <<时，函数()f x 有1个零点；
当3a =()f x 有2个零点；
当32ln 2a <<-时，函数()f x 有3个零点；当2ln 2a =-时，函数()f x 有2个零点；当2ln 22a -<<时，函数()f x 有1个零点.
关键点睛：本题考查了函数的单调性问题，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中确定函数的单调区间，根据函数值分类讨论确定零点个数是解题的关键，分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握.22．已知()()ln 1f x x x =-+．
(1)若关于x 的方程()f x a =有解，求实数a 的最小值；(2)证明不等式()()
*111
ln 11N 23n n n
+<+
+++∈ ；(3)类比（2）中不等式的证明方法，尝试证明：1122
22212e 111e n n n n n n +⎛
⎫⎛⎫⎛⎫<+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（*n ∈N ，e
为自然对数的底数）【正确答案】(1)0；(2)证明见解析；(3)证明见解析．
【分析】（1）由导数求出()f x 的值域即得；
（2）由（1）得ln(1)x x +<，分别取111
1,,,,23x n
= 得n 个不等式相加即可证；
（3）在ln(1)x x +<中令222
12,,,n
x n n n = ，所得不等式相加可证明右边不等式成立，构造新函数()ln(1)1x
h x x x
=+-
+，利用导数证明0x >时，()0h x >，然后同样令22212,,,n x n n n = ，所得不等
式利用不等式的性质放缩后相加可证明左边成立．【详解】（1）()f x 定义域是(1,)-+∞，
由已知1()111
x f x x x '=-
=++，10x -<<时，()0f x '<，0x >时，()0f x '>，
∴()f x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，(0)0f =，x →+∞时，()f x →+∞，∴()f x 的值域是[0,)+∞，即a 的范围是[0,)+∞，∴a 的最小值是0；
（2）由（1）知0x >时，ln(1)0x x -+>，即ln(1)x x +<，分别取111
1,,,,23x n
= 得：
ln 21<，131ln(1ln ln 3ln 2222+==-<，…，111
ln(1)ln
ln(1)ln n n n n n n
++==+-<，这n 个不等式相加得111
ln(1)123n n
+<+
+++ ；（3）同样在不等式ln(1)x x +<中，分别令2
2212,,,n
x n n n
= ，得2211ln(1)n n +
<，2222ln(1n n +<，…，22
ln(1n n
n n +<,相加得222212121
ln([1)(1)(1)]2n n n n n n n n
+++++
++<= ，所以1222212111e n n n n n n +⎛
⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
设()ln(1)1x
h x x x
=+-+，则221(1)()1(1)(1)x x x h x x x x +-'=-=+++，0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()(0)0h x h >=，即0x >时，ln(1)1
x
x x +>
+，分别令222
12,,,n x n n n =
，得22222
1
111ln(1)111n n n n n n +>=>+++，22
2222222ln(1)221n n n n n n +>=>+++，…，2222ln(1)1n
n n
n n n n n n
+>=++，
相加得222212121ln[(1)(12
n n n n n n n ++++
++>=+ ，∴1222212111e n n n n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫+++> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，综上，11
22
22212e 111e n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
方法点睛：本题考查用导数证明不等式，证明数列不等式的方程是利用导数所证明的函数不等式
中让自变量x 取适当的值得出相应不等式，由不等式性质变形得出结论．难点是构造函数，本题（3）中构造函数()ln(1)1
x
h x x x =+-
+就是如此难点所在．。