流体力学第七章理想不可压缩流体无旋运动

m y 2 2 2 x y
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A W ( z) z
Ax 2 2 x y
Ax 2 2 x y
Ay 流线 2 C1 2 x y
c2 c2 x y 2 2
2 2 2
Ax 等势线 2 C3 2 x y
u ,v y x
(M ) (M 0 )
M
M0
vdx udy y
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流函数的性质
1） 流函数可以差一任意常数，而不影响流体的 运动。 运动 2） 流函数与流线 数 线
x, y C
3） 流函数与体积流量
——流线
0
( div v 0 )
C11 C22 Cnn
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2
0 2 p ~ V V f t t 2
t t 0 : v v r , p p r
dW u iv i U dz
W ( z) U z
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2 点源与点汇
z x iy y re
i
W ( z ) a ln z
W ( z ) i a ln l r ia
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a ln r , a
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7
速度势函数性质
1） 速度势函数可允许相差一任意常数，而不影响 流体运动 流体运动。 2） 速度势的方向导数。
v m vm m
3）等势线。
( x, y ) C
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4）速度势与速度环量
udx vdy M M 0
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流线 r C1
等势线 C 2
1 b vr 0, v r r r
dW ( z ) bi Q Im dz Im dz 0 C dz C z dW ( z ) bi Re dz Re dz 2b d C dz C z
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5） 流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。
rotv 0
2 2 0 2 x y
2 2
柱坐标
2 2 2 0 2 r rr r
2 2
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§7.7 复位势与复速度
u x y
M M0
v dr 0
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5） 速度势满足拉普拉斯方程，是调和函数
v
不可压缩流体
v 0
0
2
0 2 2 x y
2 2
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流函数及其性质
不可压均质流体平面运动连续性方程
u v 0 x y
4
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速度势及无旋运动的某 些性质
1）速度势函数在流体内部不能有极大值或极小值。 2）速度v的大小在流体内不能达到极大值，也就 的大小在流体内不能达到极大值 也就 是说速度大小的极大值位于流动区域的边界上。 3）在流体内部压力p不能达到极小值。
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5
（B）理想不可压缩流体平面 想不可压缩流体平面 定常无旋运动 §7.6 平面运动及其流函数
在无穷远处： 在无穷
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§7.9 基本流动 1 均匀流
u V cos , v V sin
dW i u iv V e V cos iV sin d dz
W ( z ) V e
i
z
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天津大学力学系20u U , v 0
Q M M 0
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Q vn ds
M0
M

M
M0
u cosn, x v cosn, y ds d
Q vn ds 0
4）在单连通区域若不存在源汇，则
若单连通区域有源汇或在双连通区域
M M 0 k1Q
2
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流场分析
ra
v 2V sin i 2a
pC
v
2
2
C 2V sin 2 2a
2

2
V sin 2 2 C 2 V sin 2 2 8 a a
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2
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流场分析 压强合力 Fx= 0（达朗贝尔佯缪）， Fy= 0
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§7.11
圆柱的有环量绕流问题
2 a W ( z ) V 1 ln z 2 z 2i
dW a 1 V 1 2 dz z 2i z
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QV A 2 Qs W ( z) ln z 2 Qs W ( z) ln( z z0 ) 2
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3 点涡
z re
i
W ( z ) ib ln z
W ( z ) i b ib ln l r
b , b ln r
c4 c4 x y 2 2
2 2 2
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§7.10
圆柱的无环量绕流问题
W1 ( z ) V z
m 1 W2 ( z ) 2 z
W ( z ) W1 ( z ) W 2 ( z )
2 a W ( z ) V z , z z a
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2 ） ψ( (x,y) y)
2 0 2 x y
2 2
在物体C上： 上 在无穷远处：
C
u y v x
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2）w(z) ( )
在物体C上： 上
Im w( z ) C
dw V dz
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1
rotv 0
1 u w 1 w v 0 x 0 y 2 z x 2 y z
1 v u z 0 2 x y
v grad
流线 C1
等势线 r C 2
a 1 vr , v 0 r r r
dW ( z ) a Q Im I d Im dz I dz d 2a C dz Cz a dW ( z ) Re dz Re dz 0 d C dz Cz
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R y p cos n, y ds
2
0
p sin ad
R y V
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驻点讨论
sin 0 4aV
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z ae
i
dW a 1 2 V d dz z
2
dW 2 2V sin i 2V sin cos dz v 2V sin
p p

2
V 1 4 sin
2 2


31
c p 1 4 sin
b 2
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vr 0, v 2r
W ( z) ln z 2i W ( z) ln( z z0 ) 2i
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4 偶极子
M 1 W ( z) 2 z m 1 W ( z) 2 z
m x 2 2 2 x y
n 0 B .C . p p 0 V
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3
§7.2 速度势函数及无旋运动的性质
u ,v ,w x y z
(M ) (M 0 )
M M0
v
0

v dr
1） 2）
w0
0 z
6
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平面无旋运动
1 v u z 0 2 x y
x , y , t
u ,v r y
M M0
(M ) (M 0 )
udx vdy y
复势
v y x
W i W ( z )
复速度
dW i i u iv d dz x x y y
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复位势的性质
（1） 复位势可以差一任意常数，而不影响 流体的运动 流体的运动。 （2）w(z)=常数等价于φ(x,y)= (x y)=常数， 常数
第七章 理想不可压缩流体无旋运动
（A）方程组及其基本性质 §7.1 引言 基本方程组 div v 0 1 dv dt F p t t 0 : v v r , p p r
vn 0 B.C. v V
ψ(x,y)=常数。
（ 3）
dW ( z ) d iQV C dz dz
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§7.8 理想不可压缩流体平面定常无旋运动 问题的数学提法
1）φ(x,y)
2 0 2 x y
2 2
在物体C上： 在无穷远处：
0 n
x
u
v y