高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.1 向量的概念示范教案 新人教B版必修4

2.1.1 向量的概念
示范教案
教学分析
1．本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大．位移、速度、力等物理量学生都学过，这里仅是列出这些物理量让学生感知矢量，为进一步学习向量的概念作铺垫．由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用．可通过几个具体的例子说明它的应用．位移、速度、力等是物理中的基本量，也是几何研究的重要对象．几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．位移简明地表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型．力是常见的物理量．重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量．物理中还有其他力，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系，以此更加自然地引入向量概念，并建立学习向量的认知基础．
2．引出向量的概念后，为了使学生更好地理解向量概念，可采用与数量概念比较的方法，引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小，没有方向的量”，同时给出“时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？”的思考题．通过这样的比较，可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念．实数与数轴上的点是一一对应的，数量常常用数轴上的一个点表示．教科书通过类比实数在数轴上的表示，给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量．用有向线段表示向量，赋予了向量一定的几何意义．有向线段使向量的“方向”得到了表示，那么向量的大小又该如何表示呢？一个自然的想法是用有向线段的长度来表示．从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念，为学习向量作了很好的铺垫．
3．数学中，引进一个新的量后，首先要考虑的是如何规定它的“相等”，这是讨论这个量的基础．如何规定“相等向量”呢？由于向量涉及大小和方向，因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的方向和大小，就可以任意平行移动．因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，这为用向量处理几何问题带来方便，并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应．教学时可结合例题、习题说明这种思想．
4．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量，当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．
三维目标
1．通过物理中的位移、速度、力等矢量，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别．2．理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量、零向量等概念，并能判断向量之间的关系．并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量．3．通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯．加强数学的应用意识，切实做到学以致用．用联系、发展的观点观察世界．
重点难点
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、向量的模、相等向量、共线向量的概念；会表示向量；知道如何用向量确定点的位置．
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别与联系．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.先引导学生阅读本章引言并观察思考章头图，然后提出问题：在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否追到老鼠呢(如图1)？学生马上得出结论：追不上，猫的速度再快也没用，因为方向错了．教师适时设问：如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课的探究．
图1
思路2. 创设实物情境，回忆物理相关知识，让学生思考：两列火车先后从同一站台沿相反方向开出，各走了相同的路程，怎样用数学式子表示这两列火车的位移？中国象棋中规定马走“日”，象走“田”，让学生在图上画出马、象走过的路线，从物理知识位移的视角观察思考，并由此展开新课，这也是一个不错的导入选择．
推进新课
新知探究
位移的概念
提出问题
1回忆初中物理课中，我们学过的“位移”“速度”“力”等物理概念，让学生举出我们日常生活中有关“位移”“速度”“力”的实例.
2“位移”“速度”“力”这些量的共同特征是什么？
3“位移”“速度”“力”等量与长度、面积、质量等量有哪些不同？即数量与矢量的本质区别在哪里？
活动：教师指导学生阅读课本，思考讨论课本中的实例所反映的物理量的特征．
我们身边这样的实例很多，可以让学生充分思考讨论再举出一些位移、速度、力的实例来，如果学生举出的是一些有关长度、面积、质量的例子，效果会更好，这样就有了比较，教师因势利导，学生更能明了这些量的本质．例如：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是沿着反拉方向的，被压缩的弹簧的弹力是沿着反压方向的，并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大；物理中的速度与加速度，物理中的动量与冲量等，这些量的共同特征是既有大小又有方向．如有学生举出我们的身高、运动会上的百米赛跑的跑道长度及场地面积、铅球体积、铅球质量等实例，教师适时地让学生讨论：这些量显然与以上那些量不同，因为长度、面积等这些量只有大小而无方向.
如图2，一个质点从点A运动到点A′，这时点A′相对于点A的位置是“北偏东30°，3个单位”．从两个不同点出发的位移，只要方向相同，距离相等，我们都把它们看成相同的位移或相等的位移．一个质点从点B运动到点B′(图2)，如果点B′相对于点B的位置也是“北偏东30°，3个单位”，这时我们说这个位移与点A到A′的位移相等．我们在上体育课时，教师下达口令“向前三步走”，全班同学都进行了同一个位移．
图2
铺垫已经完成，至此时机成熟，教师恰时恰点地引导学生思考：在现实世界中，像位移、速度、力等既有大小，又有方向的量是很多的，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象，形成一种新的量？由此引入本章重要概念——向量．在数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量统称为向量．
讨论结果：(1)～(3)略．
向量的概念，用向量表示点的位置
提出问题 1在数学中，怎样表示向量呢？ 2什么叫有向线段？有向线段和线段有何区别和联系？它们可以分别可以表示向量的什么？ 3怎样定义零向量？怎样定义单位向量？ 4满足什么条件的两个向量叫作相等向量？ 5有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？怎样定义平行向量？ 6如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？ 7什么是向量的模？, 8怎样用向量表示点的位置？
活动：在物理学中，表示位移最简单的方法，是用一条带箭头的线段，箭头的方向表示位移的方向，线段的长度表示位移的大小．速度和力也是用这种方法表示的，箭头的方向分别表示速度和力的方向，线段长度分别表示速度和力的大小．
这种带箭头的线段，在数学中叫作“有向线段”．一般地，若规定线段AB 的端点A 为起点，端点B 为终点，则线段AB 就具有了从起点A 到终点B 的方向和长度．这种具有方向
和长度的线段叫作有向线段(如图3)，记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，
记作|AB →|.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定．
图3
向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c 表示．一定要学生规范：印刷用黑体a ，手写一定要在小写字母上加箭头．要注意不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”，有向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的区别．向量只由方向和大小决定，而与向量的起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．如图3，
在线段AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设A 为起点，B 为终点，我们就说线段AB 具有方向，具有方向的线段叫作有向线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以
A 为起点、
B 为终点的有向线段记作AB →.起点要写在终点的前面， 即是说AB →的方向是由点A
指向点B ，点A 是向量的起点．
如图4，关于向量的长度，这是向量的一个重要概念；向量AB →(或a )的大小，就是向量AB
→(或a )的长度(或称模)，记作|AB →|(或|a |)．
图4
教师应注意引导学生将数量与向量的模进行比较，以明确向量的意义．数量有大小而没有方向，其大小有正、负和0之分，可进行运算，并可比较大小；向量的模是正数或0，也可以比较大小．但向量具有方向，由于方向不能比较大小，向量也就不能比较大小，像a >b 就没有意义，而|a |>|b |就有意义．
理解了以上向量概念，那么关于向量相等和向量平行就很容易理解了，教师引导学生阅读教材即可．
讨论结果：(1)用字母a ，b ，c ，…表示向量(印刷用粗黑体表示)，手写用字母加箭头
来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， 如AB →，CD →.
注意：手写体上面的箭头一定不能漏写．
(2)有向线段：具有方向的线段就叫作有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．
(3)长度为0的向量叫零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的．长度为单位1的向量，叫单位向量. 但要注意，零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
(4)同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量．
在图5中，有向线段AA′→，BB′→，CC′→…都表示同一向量a ，这时可记作
图5
AA′→＝BB′→＝CC′→＝…＝a .
一个平面向量的直观形象是平面上“同向且等长的有向线段的集合”．
(5)关于平行向量的定义：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量；第二，我们规定0与任一向量a 平行，即0∥a .综合第一、第二才是平行向量的完整定义．向量a ，b ，c 平行，记作a ∥b ∥c .
又如图6，a ，b ，c 是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上任
取一点O ，则可在l 上分别作出OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .这就是说，任一组平行向量都可以移
动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．这里教师要提醒学生注意：平行向量可
以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系．
图6
(6)共线向量，也就是平行向量．但要注意，平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
(7)| AB →|(或|a |表示向量AB →(或a )的大小，即长度(为模))．
教师进一步提醒学生注意方向的问题．
方向是大家非常熟知的概念，上面我们没有给它更多的描述，在一个平面内，方向“从西到东”，可以在该平面内任画一条“从左到右”的直线，再给出一个向东的指向来表示，从不同点画出具有同一方向的直线互相平行．由此可见，“方向”和“平行”有着深刻的内在联系．我们在用有向线段表示向量时，用箭头标出的方向，也就是以有向线段的始点为始点指向终点的射线方向．
(8)任给一定点O 和向量a (图7)，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于点O 的位置
被向量a 所唯一确定，这时向量OA →，又常叫做点A 相对于点O 的位置向量．
图7
例如，在谈到天津相对于北京的位置时(图8)，我们说，“天津位于北京东偏南50°，114 km”．如图8，点O 表示北京的位置，点A 表示天津的位置，那么向量
图8
OA →＝“东偏南50°，114 km”
就表示了天津相对于北京的位置．
有了向量概念，我们就可以利用向量确定一点相对于另一点的位置．
应用示例
例1如图9，D ，E ，F 依次是等边△ABC 的边AB, BC, AC 的中点．在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，
图9
(1)找出与向量DE →相等的向量；
(2)找出与向量DF →共线的向量．
活动：本例安排的目的是让学生进一步熟悉向量的概念，属于基础练习，需要用到初中所学平面几何的相关知识，教师引导学生回忆相关知识后，可让学生充分讨论合作解决．
解：由初中所学三角形中位线定理不难得到：
(1)在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，与向量DE →相等的向量有：AF →和FC →；
(2)在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，与向量DF →共线的向量有：BE →，EB →，
EC →，CE →，BC →，CB →，FD →.
变式训练
判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．
(1) ABCD 中，AB →与CD →是共线向量；
(2)单位向量都相等．
解：(1)正确；
(2)不正确．
点评：本题考查基本概念，对于单位向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好. 教
师引导学生画出平行四边形，如图10.因为AB∥CD，所以，AB →∥CD →.由于上面已经明确，单
位向量只限制了大小，方向不确定，所以单位向量不一定相等，即单位向量模均相等且为1，但方向不确定.
图10
例2一个人从A 点出发沿东北方向走了100 m 到达B 点，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m 到达C 点，求此人从C 点走回A 点的位移.
解：根据题意画出示意图，如图11所示．
图11
|AB →|＝100 m ，|BC →|＝100 m ，∠ABC＝45°＋15°＝60°，
∴△ABC 为正三角形．
∴|CA →|＝100 m ，即此人从C 点返回A 点所走的路程为100 m.
∵∠BAC＝60°，∴∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝15°，即此人行走的方向为西偏北15°.
例3如图12，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA →、OB →、OC →相等的量．
图12
活动：本例是结合正六边形的一些几何性质，让学生巩固相等向量和平行向量的概念，正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，具有丰富的几何性质．
解： OA →＝CB →＝DO →；OB →＝DC →＝EO →；OC →＝AB →＝ED →＝FO →.
点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到．让学生在训练中明确，向量相等不
例4(1)下列命题正确的是( )
A ．a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 也共线
B ．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四顶点
C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量
D ．有相同起点的两个非零向量不平行
活动：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确．由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确．向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D 不正确．对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a 与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与b 共线，所以有a 与b 都是非零向量，所以只有C 正确．
答案：C
点评：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念特征入手，也可以从反面进行考虑．要判断一个结论不正确，只需举一个反例即可．要启发学生注意正反这两方面的结合．
课堂小结
1．先由学生回顾本节都学了哪些概念：向量，向量的两种表示，特别是对向量的手写要标上箭头，图示上要标上箭头和始点、终点，零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，明了平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比．
2．再由教师简要总结：本节课我们学习了向量、向量的两种表示方法及向量的有关概念：如向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是我们进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．
3．点拨学生要领悟我们是如何从大量的实际背景中获得这些数学概念的方法，本节的数学知识或许将来会忘掉或全部忘掉，但是我们探究这些知识的方法却会伴随我们一生，永远不会忘掉，使我们终生受益．
作业
如图13，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，O 是AC 与BD 的交点，求证：EO →＝OF →.
证明：如图13，∵AB∥CD，
图13
∴AO∶OC＝BO∶OD＝AB∶CD.
又AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，
∴AE∶ED＝AO∶OC.∴EO∥DC.
同理，OF∥DC，∴E，O ，F 在同一直线上．
∴EO DC ＝AE AD ＝BF BC ＝OF DC
.∴EO＝OF ，即|EO →|＝|OF →|.
又EO →与OF →方向相同，∴EO →＝OF →.
设计感想
1．本节是平面向量的第一节，对向量概念的理解无疑是重点，也是难点．本节教案的设计总思路是：把学生划分小组合作讨论学习，经过小组成员们的合作探究，对平面向量的基本概念，和基本解题方法有个清晰的认识，学生有很多的成功之处或收获．对失败或教训之处可能是对一些概念性问题没有深入研究，导致解题存在困难，不过这些会通过学习的深入弥补上来的．
2．本教案设计充分利用向量的物理背景．作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机．通过本节大量物理背景实例的铺垫及数学问题的解决，让学生体会到数学在生活中的重要作用，并在实际课堂教学中规范学生的习惯，培养严谨的思考习惯和行为习惯，为后面学习打下基础．
3．本教案设计遵循学生的认知规律，体现新课标理念，设计的教学方法主要是让学生自主探究，呈现“现实情境—数学模型—应用于现实问题”的特点，让学生通过观察、分析、归纳、验证，培养学生的主动探究的积极精神，让学生初步感受到向量确实生动有趣，是培养学生数学能力的很好题材．
备课资料
一、向量中有关概念的辨析
1．数量、向量、有向线段
对这几个概念的理解容易出现概念不清的问题．数量只有大小，没有方向，其大小可以用实数来表示，它是一个代数量，数量之间可以比较大小；向量既有大小又有方向，向量之间不可以比较大小；有向线段是向量的直观性表示，不能说向量就是有向线段．
2．平行向量、共线向量、相等向量
平行向量也叫共线向量，故平行向量与共线向量没有区别，而相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量，即平行向量是相等向量的必要条件而非充分条件．
二、备用习题
1．若正多边形有n 条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，…a n ，则这n 个向量( )
A ．都相等
B ．都共线
C ．都不共线
D ．模都相等
2．如图14所示，在△ABC 中，DE∥BC，则其中共线向量有…( )
图14
A ．一组
B ．二组
C ．三组
D ．四组
3．若命题p ：a ＝b ，命题q ：|a |＝|b |，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不必要又不充分条件
4．如图15所示，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则下列各组向量相等的是( )
11
图15
A.AD →与CB →
B.OA →与OC →
C.AC →与DB →
D.DO →与OB →
5．已知a ，b 是任意两个向量，有下列条件：①|a|＝|b|；②a ＝b ；③a 与b 的方向相反；④a ＝0或b ＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中是向量a 与b 共线的充分不必要条件的有__________．(把你认为正确的命题序号全都填上)
6．如图16所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形
.
图16
(1)写出与ED →相等的向量；
(2)若|AB →|＝3，求向量EC →的模．
7．判断下列各命题的真假：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a ∥b ，则a
与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共
终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一
条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
参考答案：1.D 2.C 3.A 4.D 5.②③④
6．解：(1)与ED →相等的向量有DC →和AB →，因为四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，故
AB ＝ED ＝DC ；(2)向量EC →的模|EC →|＝6.
7．C 因为①真命题；②假命题；③真命题；④假命题；⑤假命题；⑥假命题．。