人教a版数学【选修1-1】作业：第三章《导数及其应用》章末总结(含答案)

第三章章末总结
知识点一导数与曲线的切线
利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得
y0－y1＝f′(x1)(x0－x1) ①
又y1＝f(x1) ②
由①②求出x1，y1的值．
即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
例1已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲
线f(x)的切线，求曲线的切线方程．
知识点二导数与函数的单调性
利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：
(1)求导数f′(x)；
(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；
(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．
特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．
例2求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x
2＋sin x；
(2)f(x)＝x(x－a)2.
知识点三导数与函数的极值、最值
利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．1．应用导数求函数极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)解方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点．
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；
特别地，①当f(x)在(a，b)上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
例
3设2
3<a<1，函数f(x)＝x
3－
3
2ax
2＋b(－
1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－
6
2，求常数a，b.
知识点四导数与参数的范围
已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法：一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法．利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条
件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f(x)是否满足题意．
例
4已知函数f(x)＝x2＋a
x(x≠0，常数a∈
R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．
例
5
已知f (x )＝x 3－1
2
x 2－2x ＋5，当x ∈[－1,2]
时，f (x )<m 恒成立，求实数m 的取值范围．
章末总结 答案
重点解读
例
1解设切点为(x0，y0)，则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x20－3，
∴切线方程为y＝(3x20－3)x＋16，
又切点(x0，y0)在切线上，
∴y0＝3(x20－1)x0＋16，
即x30－3x0＝3(x20－1)x0＋16，
解得x0＝－2，
∴切线方程为9x－y＋16＝0.
例
2 解 (1)函数的定义域是R ，
f ′(x )＝12＋cos x ，令1
2＋cos x >0，
解得2k π－2π3<x <2k π＋2π
3
(k ∈Z )，
令1
2
＋cos x <0， 解得2k π＋2π3<x <2k π＋4π
3
(k ∈Z )，
因此，f (x )的单调增区间是⎝
⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋2π
3 (k ∈Z )，单调减区间是 ⎝
⎛⎭⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )．
(2)函数f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x 的定义域为R ，
由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x 1＝a
3，x 2＝a .
①当a >0时，x 1<x 2.
∴函数f (x )的单调递增区间为⎝
⎛⎭⎫－∞，a
3，(a ，＋∞)，
单调递减区间为⎝⎛⎭⎫
a 3，a . ②当a <0时，x 1>x 2，
∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞， 单调递减区间为⎝⎛⎭
⎫a ，a
3. ③当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，∴函数f (x )的单调区间为(－∞，＋∞)，即f (x )在R 上是增加的．
例
3
解 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，
得x 1＝0，x 2＝a .
从上表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，而f (0)>f (a )，f (1)>f (－1)，故需比较f (0)与
f (1)的大小．因为f (0)－f (1)＝3
2
a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝
b .所以b ＝1.
又f (－1)－f (a )＝1
2
(a ＋1)2(a －2)<0，
所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－3
2
a ，
所以－32a ＝－62，所以a ＝63
.
例
4
解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3
－a
x
2.
要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的， 则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立， 即2x 3－a
x 2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立．
∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，
∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .
∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的，
∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.
当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0 (x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是a ≤16.
例5 解 ∵f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，
∴f ′(x )＝3x 2－x －2.
令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0，
∴x ＝1或x ＝－23.
当x ∈⎝⎛⎭⎫－1，－23时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；
当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；
当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．
所以，当x ＝－23时，f (x )取得极大值f ⎝⎛⎭⎫－23＝15727；
当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝7
2.
，f(2)＝7，
又f(－1)＝11
2
因此，f(x)在[－1,2]上的最大值为f(2)＝7. 要使f(x)<m恒成立，需f(x)max<m，即m>7. 所以，所求实数m的取值范围是(7，＋∞)．。