2021-2022学年山东省泰安市新泰二中高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)

2021-2022学年山东省泰安市新泰二中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在空间直角坐标系中，点关于Oxy平面的对称点为B，则( )
A. B. C. 4 D. 10
2.若圆：和：相交，则m的取值范围是( )
A. B.
C. 或
D. 或
3.如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则等于( )
A. B.
C. D.
4.已知，，，则点A到直线BC的距离为( )
A. B. 1 C. D.
5.若圆与圆有三条公切线，则m的值为( )
A. 2
B.
C. 4
D. 6
6.直线与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是( )
A. B. 或
C. D.
以上都不对
7.已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值
为( )
A. B. C. D.
8
.已知椭圆左右焦点分别为，，若椭圆上一点P满足轴，且与圆相切，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则( )
A. C的焦距为
B. C的离心率为
C. 圆D在C的内部
D. 的最小值为
10.已知实数x，y满足方程，则下列说法错误的是( )
A. 的最大值为
B. 的最大值为
C. 的最大值为
D. 的最大值为
11
.设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 离心率
C. 面积的最大值为
D. 以线段为直径的圆与直线相切
12.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点
E，F，且，则下列结论中正确的是( )
A. 线段上存在点F，使得
B. 平面ABCD
C. 的面积与的面积相等
D. 三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.四棱锥的底面是一个正方形，平面ABCD，，E是棱PA的中点，则
异面直线BE与AC所成角的余弦值是__________.
14.在长方体中，，Q是线段上一点，且
，则点Q到平面的距离为__________.
15.已知、是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆C交于A，B 两点，且，，则椭圆C的离心率为__________；若，则椭圆方程为
__________.
16.给出下列命题：
直线与线段AB相交，其中，，则k的取值范围是；
点关于直线的对称点为，则的坐标为；
圆C：上恰有3个点到直线的距离为1；
直线与抛物线交于A，B两点，则以AB为直径的圆恰好与直线相切．
其中正确的命题有__________把所有正确的命题的序号都填上
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题10分
求适合下列条件的直线方程：
已知，，求线段AB的垂直平分线的方程；
求经过点并且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程.
18.本小题12分
已知圆过点，，且圆心在直线上圆：
求圆的标准方程；
求圆与的公共弦长；
求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.
19.本小题12分
已知四棱锥的底面是直角梯形，，，底面ABCD，且
，M点为PC的中点．
求证：平面PAD；
在平面PAD内找一点N，使平面
20.本小题12分
已知在平面直角坐标系中，动点M到定点的距离与它到定直线l：的距离之比为常数
求动点M的轨迹的方程；
设点，若P是中轨迹上的动点，求线段PA的中点B的轨迹方程．
21.本小题12分
如图，已知矩形ABCD中，，O为CD的中点，沿AO将三角形AOD折起，使
求证：平面平面ABCO；
求直线BC与平面ABD所成角的正弦值．
22.本小题12分
已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为
求椭圆的方程；
已知定点，若直线与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD 为直径的圆过E点，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间向量的坐标运算，空间中点关于面的对称点的求解以及空间向量数量积的坐标运算，属于基
础题．
先求出关于Oxy平面的对称点B的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算，求解即可．
【解答】
解：点关于Oxy平面的对称点为，
所以
故选：
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，两点之间的距离公式，其中熟练掌握圆与圆位置关系的判定方法，根据已知
中两圆相交，转化得到，是解答本题的关键，属于中档题.
由已知中圆：和：的一般方程，求出两个圆
的圆心坐标和半径，进而求出圆心距，根据两圆相交，则，得到关于m的不等式组，解不等式组，即可求出m的取值范围．
【解答】
解：圆：的圆心坐标，半径，
圆：的圆心坐标，半径，
则圆心距，
若圆：和：相交，
则，
即，
解得或
故选
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性运算，考查运算求解能力．
利用空间向量的线性运算法则直接求解．
【解答】
解：是BC的中点，G是AD的中点，
，，
，
又，，
故选
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查空间向量以及利用空间向量求点到直线的距离求法，考查学生计算能力，属于中档题.计算空间向量，，利用A到直线BC的距离为
计算答案.
【解答】解：，，，
，，
点A到直线BC的距离为
故选：
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查圆与圆位置关系的判断，结合公切线条数判断两圆外切是解决本题的关键，属于基础题.
根据两圆有三条公切线，等价为两圆相外切，利用圆外切的等价条件进行求解即可.
【解答】
解：若两圆有三条公切线，等价为两圆相外切，
圆，半径，圆，半径，
则，
即，得，
则，
故选：
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，属于基础题．
把曲线方程整理后可知其图象为半圆，进而画出图象来，要使直线与曲线有且仅有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于和另一个点，及与曲线交于点，分别求出b，则b的范围可得．
【解答】
解：曲线即，表示一个半圆单位圆位于x轴及x轴右侧的部分
如图，
设、、，
当直线经过点A时，，求得；
当直线经过点B、点C时，，求得；
当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得，
求得，或舍去，
故要求的实数b的范围为或
故选
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查椭圆的方程与性质，考查转化问题的能力，正确转化是关键，属于中档题.
设椭圆C的右焦点为，由已知条件推导出，利用Q，，P共线，可得取最大值．
【解答】
解：如下图所示，
点F为椭圆的左焦点，
，
点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为，
设椭圆C的右焦点为，
，
，
，即最大值为，此时Q，，P共线，
故选
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义、离心率和三角形相似的性质定理，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．
设与圆相切于点Q，则，在中利用勾股定理可求出的长度，由于
∽，根据相似的性质定理，有，从而可用c分别表示出和，再结合椭圆的定义与即可得解．
【解答】
解：
设与圆相切于点Q，则，，∽，
，即，
，，
由椭圆的定义可知，，，
椭圆的离心率
故选
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查椭圆的性质及几何意义，圆锥曲线中的最值问题，属于中档题．
由椭圆的方程可得a，b，c的值可判定A；由离心率公式可判定B；由，方程组无解
可判定C；由及可计算判定
【解答】
解：由椭圆方程可得，，，，所以焦距，A不正确；
离心率，所以B正确；
由，消去y，整理可得：，
，所以两个曲线无交点，
又圆心在椭圆的内部，所以圆D在椭圆的内部，所以C正确；
设，由题意可得
，
因为，所以，
所以最小值为，所以D不正确．
故选：
10.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想，考查运算求解能力，属于较难题．
令，化为直线的一般方程，利用圆心到直线的距离小于等于半径求得s的范围判断A；同理可判断D；求出圆上的点到原点距离的最大值的平方判断B；求出过原点且与圆有交点的直线的斜率的最大值判断
【解答】
解：由，得，
令，即，由直线与圆有交点得，
解得，
的最大值为，故A正确；
圆心到原点的距离为2，则圆上的点到原点的距离的最大值为，
可得的最大值为，故B正确；
设过原点的直线的斜率为k，直线方程为，由直线与圆有交点得，
解得，即的最大值为，故C错误；
令，即，由直线与圆有交点得，解得，
则的最大值为，故D错误．
故选
11.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的概念及标准方程和椭圆的性质及几何意义，根据椭圆的定义和几何性质可判定AB；当P
为椭圆短轴顶点时，的面积取得最大值为1，可判定C；线段为直径的圆圆心到直线
的距离为1，等于半径，可判定
【解答】解：对于A选项，由椭圆的定义可知，所以A选项正确.
对于B选项，依题意，所以，所以B选项不正确.
对于C选项，，当P为椭圆短轴顶点时，的面积取得最大值为
，所以C选项错误.
对于D选项，线段为直径的圆圆心为，半径为，圆心到直线的距离为
，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D选项正确.
综上所述，正确的为
故选：
12.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了正方体的几何性质与应用问题，点线面的位置关系判断问题，棱锥的体积公式，属于中档题．
利用直线与平面垂直，说明A错误；由线面平行的定义证得线面平行判断B正确；由B到线段EF的距离
与A到EF的距离不相等，可得与的面积不相等判断C错误，由棱锥的高与底面积都是定
值得出体积为定值判断D正确.
【解答】
解：对于A，连接BD，可得平面，点F在线段上，A在平面外，所以
错误；
对于B，由正方体可知平面ABCD与平面平行，EF在平面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有平面ABCD，B正确；
对于C，由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故的面积与的面积相等不正确，C错误;
对于D，连接BD交AC于点O，则AO为三棱锥的高，
由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，又AO是定值，故可得三棱锥的体积为
定值，D正确.
故选
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，属于基础题，需注意向量法的合理运用．
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线BE与AC 所成角的余弦值．
【解答】
解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设异面直线BE与AC所成角为，
则
故答案为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了棱柱的结构特征，三棱锥的体积公式，空间中的距离，属于基础题.
利用长方体的结构特征得，，C，D四点共面，从而得点Q到平面的距离就是点Q到平面的距离，设其为h，再利用点到面的距离，结合平面几何知识得点Q到平面的距离等于点到平面的距离的，再利用三棱锥的体积公式得，再利用题目条件得
，从而得，最后利用三棱锥体积公式，计算得结论.
【解答】
解：如图：
在长方体中，因为，，C，D四点共面，
所以点Q到平面的距离就是点Q到平面的距离，设其为
又因为Q是线段上一点，且，
所以点Q到平面的距离等于点到平面的距离的，
因此
又因为，所以，
因此，
所以
又因为，
所以，解得，
即点Q到平面的距离为
故答案为
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的简单性质，以及余弦定理，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
设，则有，故，即A为椭圆短轴的一个顶点，不妨设A为上顶点，再结合余弦定理和椭圆的性质，即可求解．
【解答】
解：设，则有，
故，即A为椭圆短轴的一个顶点，
不妨设A为上顶点，
在中，，
在中，，
，
，即，
化简整理，可得，，
当时，，，
故椭圆方程为
故答案为；
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系，弦长公式的应用，中点坐标公式的应用，点到直线的距离公式的应用，考查运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
直接利用弦长公式的应用，中点坐标公式的应用，点到直线的距离公式的应用求出结果．
【解答】
解：对于，直线，整理得，与线段AB相交，其中，，所以，解得或故错误．
对于，设，点关于直线的对称点为，
所以，解得，故正确．
对于，圆C：圆心为到直线的距离为；
由于圆的半径为2，所以恰有3个点到直线的距离为故正确；
对于，直线与抛物线交于，两点，则：，整理得
，
所以，，
则AB的中点的横坐标为，
所以，
所以AB的中点的坐标到的距离，
所以以AB为直径的圆恰好与直线相切．故正确．
故选
17.【答案】解：线段AB的中点坐标，，
则线段AB垂直平分线的斜率为，
所以线段AB的垂直平分线的方程为，即
当直线的截距不为0时，可设直线方程为，
因为经过点，则，解得，
得所求直线方程是，
当直线的截距为0时，故所求直线过原点，点，
易得所求方程为，
综上可知所求方程为：或
【解析】本题主要考查了直线的截距式方程，点斜式方程，属于中档题.
先求出线段AB的中点坐标，线段AB垂直平分线的斜率，得出线段AB的垂直平分线的方程.
当直线的截距不为0时，可设直线方程为，代点解得a的值，得直线方程；当直线的截距为
0时，故所求直线过原点，点，得直线方程，综合即可得解.
18.
【答案】解：设圆的方程为，
圆过点，，
，
解得，
圆的标准方程为；
圆的一般方程为
将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，
即，即，
所以所求公共弦长为
由得代入圆，
化简可得，
，
当时，；当时，，
设所求圆的圆心坐标为，
则
，
，
过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为
【解析】本题重点考查两圆的位置关系，考查两圆的公共弦，考查圆的方程，解题的关键是确定圆的圆心与半径，属于中档题．
设圆的标准方程，代入点求出a，，得圆的标准方程；
对两圆的方程作差，即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，进而求得公共弦长；
先求两圆的交点，进而可求圆的圆心与半径，从而可求圆的方程．
19.【答案】解：证明：底面ABCD，底面ABCD，
所以，，
又，，
所以，，
又，平面PAD，
所以平面PAD，
以D为原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示
由于
所以，，，，，
，，
平面PAD，是平面PAD的法向量，且，
又平面PAD，平面
设是平面PAD内一点，
则，，，
若平面PBD，则即
在平面PAD内存在点，
使得平面
【解析】本题考查了线面平行和线面垂直的判定，考查了空间向量的基本运算，属于中档题．以D为原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，根据，列出各点坐标，可得，又因为平面PAD，所以平面PAD；
根据题意，可得设，要使平面PBD，则通过运算可得
20.【答案】解：设动点，由已知可得，
即，化简得，
即所求动点M的轨迹的方程为
设点，点，由得，
由点P在轨迹上，得，整理得，
线段PA的中点B的轨迹方程是
【解析】本题主要考查轨迹方程的求解，属于基础题．
设动点，根据已知条件列方程，化简后可得；
设点，，由中点坐标公式，用x，y表示，，再把P点坐标代入中轨迹方程，化简即可．
21.【答案】证明：在矩形ABCD中，，O为CD中点，
，为等腰直角三角形，
，即
取AO中点H，连接DH，BH，则，
在中，，
在中，，又，
，
又，，且OA，平面ABCO，
面ABCO，而平面AOD，
平面平面
解：分别以直线OA，OB所在直线为x轴和y轴，O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
设平面ABD的一个法向量为，
由得
即，，令，则，
取
设为直线BC与平面ABD所成的角，
则
即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为
【解析】本题考查面面垂直的证明以及求线面角中的向量方法，属于中档题．
要证明面面垂直，用其判定定理来证明，即在其中一个平面内找到一条直线与另一平面垂直，结合题目证明即可；
空间中求线面角，常用空间向量来解决，即建立空间直角坐标系后，求直线的方向向量与平面的法向量，再求其夹角的余弦值即可．
22.【答案】解：由题意可知设直线AB的方程为：
依题意又，
解得
所以椭圆方程为
假设存在这样的k值，
由
得
所以①
设，，
则②
而
要使以CD为直径的圆过点，即，
则
所以③
将②式代入③整理解得
经验证使①成立．
综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程以及椭圆的性质和几何意义以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题.
根据以及点到直线距离公式列出关于a，b，c的等式，求解出a，b，即可推出结果；
将直线方程与椭圆方程联立，若k存在，则，结合根与系数的关系列出等式求出k并验证即可.。