2017-2018学年人教A版高中数学选修4-4练习：第2讲参数方程学案 含答案 精品

第二讲 参数方程
一 曲线的参数方程 1 参数方程的概念 2 圆的参数方程
[学习目标]
1.理解曲线参数方程的有关概念.
2.掌握圆的参数方程.
3.能够根据圆的参数方程解决最值问题. [知识链接]
曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？
提示 联系x ，y 的参数t (θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数.圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度. [预习导引] 1.参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数：
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ）y ＝g （t ）①，并且对于 t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做
这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫做普通方程.
2.圆的参数方程
(1)如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置M 0开始出发，按逆时
针方向在圆O 上作均速圆周运动，设M (x ，y )，点M 转过的角度是θ，则
⎩
⎪⎨⎪y ＝r ·sin θ(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程. (2)圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的普通方程与参数方程
要点一 参数方程的概念 例1 已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at
2
(t 为参数，a ∈R )，点M (－3，4)在曲线C 上.
(1)求常数a 的值；
(2)判断点P (1，0)、Q (3，－1)是否在曲线C 上？ 解 (1)将M (－3，4)的坐标代入曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2
，
得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝1＋2t ，
4＝at 2
，
消去参数t ，得a ＝1.
(2)由(1)可得，曲线C 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，
y ＝t 2
， 把点P 的坐标(1，0)代入方程组，解得t ＝0，因此P 在曲线C 上，把点Q 的坐标(3，－1)
代入方程组，得到⎩
⎪⎨⎪⎧3＝1＋2t ，
－1＝t 2
，这个方程组无解，因此点Q 不在曲线C 上. 规律方法 点与曲线的位置关系
满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上.
(1)对于曲线C 的普通方程f (x ，y )＝0，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则点M (x 1，y 1)的坐标是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 1，y 1)＝0，若点N (x 2，y 2)不在曲线上，则点N (x 2，y 2)的坐标不是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 2，y 2)≠0. (2)对于曲线C 的参数方程⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）
(t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则
⎩
⎪⎨⎪y 1＝g （t ）对应的参数t 有解，否则参数t 不存在. 跟踪演练1 已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ
(θ为参数，0≤θ＜2π).判断点A (2，
0)，B ⎝
⎛⎭⎪⎫－3，32是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值.
解 把点A (2，0)的坐标代入⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ
y ＝3sin θ，
得cos θ＝1，且sin θ＝0，由于0≤θ＜2π，解之得θ＝0，
因此点A (2，0)在曲线C 上，对应参数θ＝0，同理，把B ⎝
⎛⎭⎪⎫－3，32代入参数方程，得
⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，3
2＝3sin θ.∴⎩
⎪⎨⎪⎧cos θ＝－3
2，
sin θ＝12
.
又0≤θ＜2π，∴θ＝56π，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝56π.
要点二 圆的参数方程及其应用
例2 设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，
y ＝－1＋3sin θ
(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，
则曲线C 上到直线l 距离为
710
10
的点的个数为( ) A.1 B.2 C.3
D.4
解析 由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ.得(x －2)2＋(y ＋1)2
＝9.
曲线C 表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆， 则圆心C (2，－1)到直线l 的距离d ＝
710＝
710
10
＜3， 所以直线与圆相交.所以过圆心(2，－1)与l 平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d ＜71010，故满足题意的点有2个.
答案 B
规律方法 1.本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系.2.参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断，特别要注意变量
的取值范围.
跟踪演练2 已知实数x ，y 满足(x －1)2
＋(y －1)2
＝9，求x 2
＋y 2
的最大值和最小值. 解 由已知，可把点(x ，y )视为圆(x －1)2
＋(y －1)2
＝9上的点，设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ
(θ为
参数).
则x 2
＋y 2
＝(1＋3cos θ)2
＋(1＋3sin θ)2 ＝11＋6(sin θ＋cos θ)＝11＋62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. ∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，
∴11－62≤x 2
＋y 2
≤11＋6 2.
∴x 2
＋y 2
的最大值为11＋62，最小值为11－6 2. 要点三 参数方程的实际应用
例3 某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H ＝2 000 m ，水平飞行速度为v 1＝100 m/s ，如图所示.
(1)求飞机投弹t s 后炸弹的水平位移和离地面的高度；
(2)如果飞机追击一辆速度为v 2＝20 m/s 同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g ＝10 m/s 2
)
解 (1)如图所示，建立平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为0 s ，在时刻t s 时其坐标为M (x ，y )，由于炸弹作平抛运动，依题意，
得⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝100t ，y ＝2 000－12gt 2，
即⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－5t 2
， 令y ＝2 000－5t 2
＝0，得t ＝20(s )，
所以飞机投弹t s 炸弹的水平位移为100t m ，离地面的高度为(2 000－5t 2
)m ，其中，0≤t
≤20.
(2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车参考系.水平方向S 相对＝v
相对
t ，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s ＝(v 1－v 2)t ＝(100－20)×20＝1 600(m).
规律方法 本题通过点的坐标的参数方程利用运动学知识使问题得解.由于水平抛出的炸弹做平抛运动，可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，炸弹飞行的时间也就是它作自由落体运动所用的时间. 跟踪演练3 如果本例条件不变，求：
(1)炸弹投出机舱10 s 后这一时刻的水平位移和高度各是多少m?
(2)如果飞机迎击一辆速度为v 2＝20 m/s 相向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？
解 (1)将t ＝10代入⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－5t 2
，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1 000，
y ＝1 500， 所以炸弹投出机舱10 s 后这一时刻的水平位移和高度分别是1 000 m 和1 500 m. (2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系. 水平方向s
相对
＝v
相对
t ，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s ＝(v 1＋v 2)t ＝(100＋
20)×20＝2 400(m).
1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x 、y 间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来，对于曲线上的任一点也必然对应着参数相应的允许取值.
2.求曲线参数方程的主要步骤
第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.
第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定.
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.
1.下列方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝m (m 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝n (m ，n 为参数)；(3)⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2；(4)x ＋y ＝0中，参数方程的个数为( ) A.1 B.2 C.3
D.4
解析 由参数方程的概念知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m
y ＝m
是参数方程，故选A.
答案 A
2.当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( ) A.(2，3)
B.(1，5)
C.⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2
D.(2，0)
解析 当2cos θ＝2，即cos θ＝1，3sin θ＝0.∴过点(2，0). 答案 D
3.参数方程⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝t ＋1t ，
y ＝2(t 为参数)表示的曲线是( )
A.两条直线
B.一条射线
C.两条射线
D.双曲线
解析 当t ＞0时⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ＝2，是一条射线；当t ＜0时，⎩
⎪⎨⎪⎧x ≤－2，
y ＝2，也是一条射线，故选C. 答案 C
4.已知⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1
y ＝t 2
(t 为参数)，若y ＝1，则x ＝________. 解析 当y ＝1时，t 2
＝1，∴t ＝±1，当t ＝1时，x ＝2；当t ＝－1时，x ＝0.∴x 的值为2或0. 答案 2或0
5.已知直线y ＝x 与曲线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α，(α为参数)相交于两点A 和B ，求弦长|AB |.
解 由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y －2＝2sin α.∴(x －1)2＋(y －2)2
＝4，其圆心为(1，2)，半
径r ＝2，
则圆心(1，2)到直线y ＝x 的距离d ＝
|1－2|12
＋（－1）
2
＝2
2
. ∴|AB |＝2r 2－d 2
＝2
22
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫222
＝14.
一、基础达标
1.已知O 为原点，参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则|OA |＝( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 |OA |＝x 2
＋y 2
＝cos 2
θ＋sin 2
θ＝1，故选A. 答案 A 2.已知曲线C
的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，
y ＝2sin θ
(θ为参数)，曲线
C 不经过第二象限，则实
数a 的取值范围是( ) A.a ≥2 B.a ＞3 C.a ≥1
D.a ＜0
解析 ∵曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝2sin θ
(θ为参数)，∴化为普通方程为(x －a )2
＋
y 2＝4，表示圆心为(a ，0)，半径等于2的圆.
∵曲线C 不经过第二象限，则实数a 满足a ≥2，故选A. 答案 A
3.圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为( )
A.⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θ，
y ＝5＋2sin θ(0≤θ＜2π)
B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ＜2π)
C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ
(0≤θ＜π)
D.⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜2π) 解析 圆心在点C (a ，b )，半径为r
的圆的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，
y ＝b ＋r sin θ，(θ∈[0，2π)).
故圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，
y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜2π).
答案 D
4.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2
θ，
y ＝sin 2
θ
(θ为参数)化为普通方程为( ) A.y ＝x －2
B.y ＝x ＋2
C.y ＝x －2(2≤x ≤3)
D.y ＝x ＋2(0≤y ≤1)
解析 将参数方程中的θ消去，得y ＝x －2.又x ∈[2，3]. 答案 C
5.若点(－3，－33)在参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，
y ＝6sin θ(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.
解析 将点(－3，－33)的坐标代入参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝6sin θ(θ
为参数)得
⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－1
2，sin θ＝－3
2，解得θ＝4π
3＋2k π，k ∈Z . 答案
4π
3
＋2k π，k ∈Z 6.已知圆C
的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，
y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建
立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________.
解析 由圆C
的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，
y ＝1＋sin α.可求得其在直角坐标系下的方程为
x 2＋(y －1)2
＝1，由直线l 的极坐标方程ρsin θ＝1可求得其在直角坐标系下的方程为y ＝1，由
⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x 2＋（y －1）2＝1可解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝±1，
y ＝1.所以直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(－1，1)，(1，
1).
答案 (－1，1)，(1，1) 7.已知曲线C ：⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ
(θ为参数)，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求
实数a 的取值范围.
解 ∵⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，
∴x 2＋(y ＋1)2
＝1.
∵圆与直线有公共点，则d ＝|0－1＋a |2≤1，
解得1－2≤a ≤1＋ 2. 二、能力提升
8.若P (2，－1)为圆O ′：⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ
(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线l
的方程是( ) A.x －y －3＝0 B.x ＋2y ＝0 C.x ＋y －1＝0
D.2x －y －5＝0
解析 ∵圆心O ′(1，0)，∴k PO ′＝－1.∴k l ＝1. ∴直线l 方程为x －y －3＝0. 答案 A
9.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2
＋y 2
－x ＝0的参数方程为________.
解析 将x 2
＋y 2
－x ＝0配方，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122
＋y 2
＝14，∵圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cos
θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2
θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，
∴圆x 2
＋y 2
－x ＝0的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2
θ，
y ＝sin θcos θ(θ为参数).
答案 ⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2
θ，
y ＝sin θcos θ(θ为参数)
10.曲线⎩
⎪⎨
⎪
⎧x ＝1，y ＝sin t ＋1(t 为参数)与圆x 2＋y 2
＝4的交点坐标为________. 解析 ∵sin t ∈[－1，1]，∴y ∈[0，2].
∵方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，
y ＝sin t ＋1表示的曲线是线段x ＝1(0≤y ≤2).
令x ＝1，由x 2＋y 2＝4，得y 2
＝3， ∵0≤y ≤2，∴y ＝ 3. 答案 (1，3)
11.设点M (x ，y )在圆x 2
＋y 2
＝1上移动，求点P (x ＋y ，xy )的轨迹. 解 设点M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P (x ′，y ′).
则⎩
⎪⎨⎪⎧x ′＝cos θ＋sin θ， ①y ′＝cos θsin θ， ② ①2－2×②，得x ′2－2y ′＝1.即x ′2
＝2⎝
⎛⎭⎪⎫y ′＋12.
∴所求点P 的轨迹为抛物线x 2
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12的一部分⎝
⎛⎭⎪⎫|x |≤2，|y |≤12.
12.已知点M (x ，y )是圆x 2＋y 2
＋2x ＝0上的动点，若4x ＋3y －a ≤0恒成立，求实数a 的取值范围.
解 由x 2
＋y 2
＋2x ＝0，得(x ＋1)2
＋y 2
＝1，又点M 在圆上，∴x ＝－1＋cos θ，且y ＝sin θ(θ为参数)，
因此4x ＋3y ＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由 tan φ＝4
3确定)
∴4x ＋3y 的最大值为1.
若4x ＋3y －a ≤0恒成立，则a ≥(4x ＋3y )max ，
故实数a 的取值范围是[1，＋∞). 三、探究与创新
13.已知圆系方程为x 2
＋y 2
－2ax cos φ－2ay sin φ＝0(a ＞0，且为已知常数，φ为参数) (1)求圆心的轨迹方程；
(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值. (1)解 由已知圆的标准方程为：
(x －a cos φ)2
＋(y －a sin φ2
)＝a 2
(a ＞0). 设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝a cos φ，y ＝a sin φ
(φ为参数)，
消参数得圆心的轨迹方程为x 2
＋y 2
＝a 2
.
(2)证明 由方程⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
＋y 2
－2ax cos φ－2ay sin φ＝0
x 2＋y 2＝a 2
得公共弦的方程：2ax cos φ＋2ay sin φ＝a 2
，即x cos φ＋y sin φ－a
2
＝0，圆x 2＋y 2
＝
a 2的圆心到公共弦的距离d ＝a
2
为定值.
∴弦长l ＝2
a 2
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 22
＝3a (定值). 3 参数方程和普通方程的互化
[学习目标]
1.了解参数方程化为普通方程的意义.
2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.
3.能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题. [知识链接]
普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否唯一？
提示 不一定唯一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同. [预习导引]
参数方程与普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数而从参数
方程得到普通方程.
(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），
就是曲线的参数方程.在参数方程与
普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致.
要点一 把参数方程化为普通方程
例1 在方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ
y ＝b ＋t sin θ，(a ，b 为正常数)中，
(1)当t 为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？ (2)当t 为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？
解 方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ， ①
y ＝b ＋t sin θ， ②(a ，b 是正常数)，
(1)①×sin θ－②×cos θ得x sin θ－y cos θ－a sin θ＋b cos θ＝0. ∵cos θ、sin θ不同时为零，∴方程表示一条直线. (2)(i)当t 为非零常数时，
原方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x －a t ＝cos θ， ③
y －b t ＝sin θ. ④
③2
＋④2
得（x －a ）2
t 2＋（y －b ）
2
t
2
＝1， 即(x －a )2＋(y －b )2＝t 2
，它表示一个圆. (ii)当t ＝0时，表示点(a ，b ).
规律方法 1.消去参数的常用方法：将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形.另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，
如sin 2
α＋cos 2
α＝1，(e x ＋e －x )2－(e x －e －x )2
＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2
1＋k 22＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2k 1＋k 22
＝1等.2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取
值范围的影响.本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线.
跟踪演练1 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，
y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为________.
解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，
cos 2α＋sin 2
α＝1，
∴x 2＋(y －1)2
＝1. 答案 x 2
＋(y －1)2
＝1
要点二 把普通方程化成参数方程 例2 求方程4x 2
＋y 2
＝16的参数方程： (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；
(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？
解 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2
＋16sin 2
θ＝16，于是4x 2
＝16－16sin 2
θ＝16cos 2
θ，∴x ＝±2cos θ. ∴4x 2
＋y 2
＝16的参数方程是
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ和⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos θ，
y ＝4sin θ(θ为参数) (2)将y ＝t 代入椭圆方程4x 2＋y 2＝16，得4x 2＋t 2
＝16， 则x 2
＝16－t 2
4.∴x ＝±16－t 2
2
.
因此，椭圆4x 2＋y 2
＝16的参数方程是
⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝16－t 22y ＝t ，和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16－t 22，y ＝t
(t 为参数). 同理将x ＝2t 代入椭圆4x 2
＋y 2
＝16，得椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝41－t 2和⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－41－t 2
(t
为参数).
规律方法 1.将圆的普通方程化为参数方程 (1)圆x 2
＋y 2
＝r
2
的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，
y ＝r sin θ(θ为参数)；
(2)圆(x －a )2＋(y －b )2＝r
2
的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，
y ＝b ＋r sin θ(θ为参数).2.普通方程化为参
数方程关键是引入参数(例如x ＝f (t )，再计算y ＝g (t ))，并且要保证等价性.若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x ＝f (t )，y ＝g (t )，调整t 的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x ，y 的取值范围保持一致.
跟踪演练2 设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2
＋y 2
－4y ＝0的参数方程是________. 解析 把y ＝tx 代入x 2
＋y 2
－4y ＝0得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t
2
1＋t
2，∴参数方程为
⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝
4t
1＋t
2，y ＝4t 21＋t 2
.
(t 为参数).
答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2，
y ＝4t 21＋t 2
.
(t 为参数)
要点三 参数方程的应用
例3 已知x 、y 满足x 2
＋(y －1)2
＝1，求： (1)3x ＋4y 的最大值和最小值； (2)(x －3)2
＋(y ＋3)2
的最大值和最小值. 解 由圆的普通方程x 2
＋(y －1)2
＝1
得圆的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ.(θ∈[0，2π)).
(1)3x ＋4y ＝3cos θ＋4sin θ＋4＝4＋5sin(θ＋φ)， 其中tan φ＝3
4
，且φ的终边过点(4，3).
∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9， ∴3x ＋4y 的最大值为9，最小值为－1.
(2)(x －3)2
＋(y ＋3)2
＝(cos θ－3)2
＋(sin θ＋4)2
＝26＋8sin θ－6cos θ＝26＋10sin(θ＋φ). 其中tan φ＝－3
4
.且φ的终边过点(4，－3).
∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10，∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36， 所以(x －3)2
＋(y ＋3)2
的最大值为36，最小值为16.
规律方法 1.运用参数思想解题的关键在于参数的选择.选择参数时，应注意所选择的参
数易于与两个坐标产生联系.由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数.2.解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题.3.注意运用三角恒等式求最值：
a sin θ＋
b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ).
其中tan φ＝b a
(a ≠0)，且φ的终边过点(a ，b ).
跟踪演练3 如图，已知点P 是圆x 2
＋y 2
＝16上的一个动点，定点A (12，0)，当点P 在圆上运动时，利用参数方程求线段PA 的中点M 的轨迹.
解 因为圆x
2
＋y 2
＝16的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，
y ＝4sin θ(θ为参数)，
所以可设点P (4cos θ，4sin θ)，设点M (x ，y )，由线段中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ＋12
2
，y ＝4sin θ
2
(θ为参数)，即点M 的轨迹的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋6，
y ＝2sin θ
(θ为参数)，所以点M 的轨迹是以点(6，0)为圆心、2为半径的圆.
1.参数方程和普通方程的互化
参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型.
由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.
2.同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率.求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形.
3.参数方程与普通方程的等价性
把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.
1.与普通方程x 2
＋y －1＝0等价的参数方程为(t 为参数)( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2t
B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t
y ＝sin 2t C.⎩⎨⎧x ＝1－t
y ＝t
D.⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1－tan 2t 解析 A 化为普通方程为x 2
＋y －1＝0，x ∈[－1，1]，y ∈[0，1].B 化为普通方程为x 2
＋y －1＝0，x ∈[－1，1]，y ∈[0，1].C 化为普通方程为x 2
＋y －1＝0，x ∈[0，＋∞)，y ∈(－∞，1].D 化为普通方程为x 2
＋y －1＝0，x ∈R ，y ∈R . 答案 D
2.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t
，y ＝t 2
＋1
t
2
(t 为参数)化为普通方程为________.
解析 由x ＝t ＋1t 得x 2＝t 2＋1t 2＋2，又y ＝t 2＋1t 2，∴x 2＝y ＋2.∵t 2
＋1t
2≥2，∴y ≥2.
答案 x 2
－y ＝2(y ≥2)
3.参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，
y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程是________.
解析 y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2
θ＝1＋2sin θcos θ＝1＋
x ，又x ＝sin 2θ∈[－1，1]，∴曲线的普通方程是y 2＝x ＋1(－1≤x ≤1).
答案 y 2
＝x ＋1(－1≤x ≤1) 4.已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，
y ＝at
2
(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5，4)在该曲线
上.
(1)求常数a ；
(2)求曲线C 的普通方程.
解 (1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩
⎪⎨⎪⎧t ＝2，
a ＝1，所以a ＝1.
(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2
，
由第一个方程，得t ＝
x －1
2
，代入第二
个方程，得y ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x －122
，即(x －1)2＝4y 为所求
.
一、基础达标
1.曲线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )
A.x ＝1－y 2
B.y ＝1－x 2
C.y ＝±1－x 2
D.x 2
＋y 2
＝1
解析 由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 答案 A
2.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，
y ＝2sin θ
(θ为参数)，则直线l 的
倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是( ) A.π
4，(1，0) B.π
4，(－1，0) C.3π
4
，(1，0) D.3π
4
，(－1，0) 解析 直线消去参数得直线方程为y ＝－x ，所以斜率k ＝－1即倾斜角为3π
4.圆的标准方程
为(x －1)2
＋y 2
＝4，圆心坐标为(1，0). 答案 C
3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 2
1＋t
2，y ＝2t
1＋t
2
(t 为参数)化为普通方程为( )
A.x 2
＋y 2
＝1
B.x 2
＋y 2
＝1去掉(0，1)点 C.x 2
＋y 2
＝1去掉(1，0)点 D.x 2
＋y 2
＝1去掉(－1，0)点
解析 x 2
＋y 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2
1＋t 22＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2t 1＋t 22
＝1，又∵x ＝－1时，1－t 2＝－(1＋t 2)不成立，故去掉
点(－1，0). 答案 D
4.若x ，y 满足x 2
＋y 2
＝1，则x ＋3y 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3
D.4
解析 由于圆x 2
＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，
(θ为参数)，则x ＋3y ＝
3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，故x ＋3y 的最大值为2.故选B. 答案 B
5.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方
程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t 2
，
y ＝t 3
(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析 由ρcos θ＝4，知x ＝4.
又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2
，y ＝t 3
，
∴x 3＝y 2
(x ≥0). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x 3＝y 2
，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝8或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4，
y ＝－8. ∴|AB |＝（4－4）2＋（8＋8）2
＝16. 答案 16
6.在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的
正半轴建立平面坐标系，圆C 2的参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，
y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相
切，则实数a ＝________.
解析 圆C 1的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2
＋(y －2)2
＝8，圆心为(2，2)，半径长为22，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2外切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32或|C 1C 2|＝|a |－22＝32⇒a ＝±2或a ＝±5 2. 答案 ±2或±5 2
7.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －
1
t
，y ＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ＋1t ，(t 为参数，t ＞0).求曲线C 的普通方程.
解 由x ＝t －
1
t
两边平方得x 2
＝t ＋1t
－2，
又y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，则t ＋1t ＝y 3(y ≥6). 代入x 2＝t ＋1t －2，得x 2
＝y 3－2.
∴3x 2
－y ＋6＝0(y ≥6).
故曲线C 的普通方程为3x 2
－y ＋6＝0(y ≥6). 二、能力提升
8.已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，
y ＝1＋3sin θ
(θ为参数)，以
Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长
为( ) A. 2 B.2 2 C.3 2
D.4 2
解析 圆C 的参数方程为⎩⎨
⎧x ＝3＋3cos θ
y ＝1＋3sin θ
的圆心为(3，1)，半径为3，直线普通方程为
ρ⎝
⎛⎭⎪⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝
|（3）2
－1|
3＋1
＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2
＝
232
－12
＝4 2. 答案 D
9.过原点作倾斜角为θ的直线与圆⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，
y ＝2sin α相切，则θ＝________.
解析 直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2
＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±3
3
，∴θ＝π6或5π
6
.
答案
π6或5π6
10.在直角坐标系xOy
中，已知曲线C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，
y ＝1－2t (t 为参数)与曲线
C 2：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ
y ＝3cos θ(θ
为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.
解析 曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 2
9＝1，直线2x ＋y ＝3与x
轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，0，故曲线x 2
a ＋y 2
9＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32). 答案 3
2
11.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知直线
l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫
233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨
⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ
(θ为参数).
(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系.
解 (1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝
⎛⎭⎪⎫
0，233.又P 为线段MN 的中点，
从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
1，
33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝
⎛⎭⎪⎫
0，233，
所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，
圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝3
2
＜r ，故直线l 与圆C 相交.
12.已知曲线C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，
y ＝sin θ(θ
为参数)，曲线C 2
：⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝2
2
t －2，
y ＝22
t
(t 为参数).
(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；
(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C ′1，C ′2.写出C ′1，
C ′2的参数方程.C ′1与C ′2公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由.
解 (1)C 1是圆，C 2是直线.C 1的普通方程为x 2
＋y 2
＝1，
圆心C 1(0，0)，半径r ＝1.
C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1，
所以C 2与C 1只有一个公共点.
(2)压缩后的参数方程分别为C ′1：⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝cos θ，
y ＝12
sin θ(θ
为参数)，C ′2
：⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝2
2
t －2，y ＝24
t (t
为参数)，
化为普通方程为C ′1：x 2＋4y 2
＝1，C ′2：y ＝12x ＋22，
联立消元得2x 2
＋22x ＋1＝0， 其判别式Δ＝(22)2
－4×2×1＝0，
所以压缩后的直线C ′2与椭圆C ′1仍然只有一个公共点，和C 1与C 2公共点的个数相同. 三、探究与创新
13.已知曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π).
解 (1)将⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t 消去参数t ，
化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2
＝25， 即C 1：x 2
＋y 2
－8x －10y ＋16＝0，将⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ
代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得，ρ2
－
8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，
∴C 1的极坐标方程为ρ2
－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0； (2)C 2的普通方程为x 2
＋y 2－2y ＝0，
由⎩⎪⎨⎪⎧x 2
＋y 2
－8x －10y ＋16＝0，
x 2＋y 2
－2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.
∴C 1与C 2的交点的极坐标分别为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2. 二 圆锥曲线的参数方程
[学习目标]
1.掌握椭圆的参数方程及应用.
2.了解双曲线、抛物线的参数方程.
3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题. [知识链接]
1.椭圆的参数方程中，参数φ是OM 的旋转角吗？
提示 椭圆的参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，
y ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，
它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角. 2.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？ 提示 sec φ＝
1cos φ，其中φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠32
π. 3.类比y 2
＝2px (p ＞0)，你能得到x 2
＝2py (p ＞0)的参数方程吗？ 提示 ⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt
2
(p ＞0，t 为参数，t ∈R .)
[预习导引] 1.椭圆的参数方程
2.双曲线的参数方程
3.抛物线的参数方程
(1)抛物线y 2
＝2px 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2
，y ＝2pt (t ∈R ，t 为参数).
(2)参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.
要点一 椭圆参数方程的应用 例1 已知A 、B 分别是椭圆
x 2
36
＋y 2
9
＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 重心G 的轨迹的普通方程.
解 由题意知A (6，0)，B (0，3).由于动点C 在椭圆上运动，故可设
动点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标为(x ，y )，由三角形重心的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3
，y ＝0＋3＋3sin θ3
(θ为参数)，即⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ.
故重心G 的轨迹的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数).
规律方法 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.
跟踪演练1 已知曲线C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：x 264＋y 2
9＝1.
(1)化C 1为普通方程，C 2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？
(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π
2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x －2y －7
＝0距离的最小值.
解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，得⎩
⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3. ∴曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2
＝1，
C 1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆.
曲线C 2：x 264＋y 2
9＝1表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. 其参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ，
(θ为参数)
(2)依题设，当t ＝π
2时，P (－4，4)；
且Q (8cos θ，3sin θ)，
故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ. 又C 3为直线x －2y －7＝0，
M 到C 3的距离d ＝
5
5
|4cos θ－3sin θ－13| ＝
5
5
|5cos(θ＋φ)－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－3
5
时，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫其中φ由sin φ＝35，cos φ＝45确定，cos(θ＋φ)＝1，d 取得最小值855.
要点二 双曲线参数方程的应用
例2 求证：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值.
证明 由双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0，设双曲线上任
一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，
则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|
b 2＋（－a ）2
＝|a 2b 2
（sec 2
φ－tan 2
φ）|a 2＋b 2＝a 2b
2
a 2＋b
2(定值).
规律方法 在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2
φ－tan 2
φ＝1的应用.
跟踪演练2 如图，设P 为等轴双曲线x 2
－y 2
＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2
.
证明 设P (sec φ，tan φ)，∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝（sec φ＋2）2
＋tan 2
φ ＝2sec 2
φ＋22sec φ＋1， |PF 2|＝（sec φ－2）2
＋tan 2
φ
＝2sec 2
φ－22sec φ＋1，
|PF 1|·|PF 2|＝（2sec 2
φ＋1）2
－8sec 2
φ＝2sec 2
φ－1. ∵|OP |2
＝sec 2
φ＋tan 2
φ＝2sec 2
φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2
. 要点三 抛物线参数方程的应用
例3 设抛物线y 2
＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程.
解 设P 点的坐标为(2pt 2
，2pt )(t 为参数)， 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1t
x ，
QF 的方程为y ＝－2t ⎝
⎛⎭
⎪⎫x －p 2，
它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝1
t
x
y ＝－2t ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －p 2确定，
两式相乘，消去t ，得y 2
＝－2x ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
x －p 2，
∴点M 的轨迹方程为2x 2
－px ＋y 2
＝0(x ≠0).
当t ＝0时，M (0，0)满足题意，且适合方程2x 2
－px ＋y 2
＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2
－px ＋y 2
＝0.
规律方法 1.抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2
，y ＝2pt (t 为参数)，参数t 为任意实
数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.2.用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程.
跟踪演练3 已知抛物线的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2
，
y ＝2pt (t 为参数)，其中p ＞0，焦点为F ，准线
为l .
过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________. 解析 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2
＝2px ，所以y 2
M ＝6p ，所以
E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±6p ，
F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0，所以p 2
＋3＝p 2＋6p ，
所以p 2
＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去).
答案 2
1.圆的参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，
y ＝r sin θ中的参数θ
是半径OM 的旋转角，椭圆参数方程
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，
y ＝b sin φ中的参数φ是椭圆上点M 的离心角. 2.椭圆（x －m ）2a 2＋（y －n ）
2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋a cos φ，y ＝n ＋b sin φ(φ为参数).
3.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数cot φ、sec φ、csc φ的意义分别为cot φ＝
1tan φ，sec φ＝1cos φ，csc φ＝1sin φ
. 4.抛物线y 2
＝2px
的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2
，y ＝2pt
(t 为参数)，由于y x ＝1
t ，因此
t 的几何意义是抛物
线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.
5.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.
1.参数方程⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝e t
＋e －t
，y ＝2（e t －e －t
）(t 为参数)的普通方程是( ) A.抛物线 B.一条直线 C.椭圆
D.双曲线
解析 由参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＝2e t
＋2e －t
，y ＝2（e t －e －t
）平方相减可得4x 2－y 2
＝16，即x 24－y 216＝1，故答案为D. 答案 D
2.椭圆⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos φ，
y ＝3sin φ(φ为参数)的焦点坐标为( )
A.(0，0)，(0，－8)
B.(0，0)，(－8，0)
C.(0，0)，(0，8)
D.(0，0)，(8，0)
解析 利用平方关系化为普通方程：（x －4）2
25＋y
2
9＝1.
∴焦点(0，0)，(8，0). 答案 D
3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，
y ＝2＋sin α(α为参数)表示的普通方程是________.
解析 因x 2
＝1＋sin α，y 2
＝2＋sin α，所以y 2
－x 2
＝1，又因x ＝sin
α2＋cos α
2
＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2＋π4，所以答案为y 2－x 2
＝1(|x |≤2且y ≥1). 答案 y 2
－x 2
＝1(|x |≤2且y ≥1)
4.点P (1，0)到曲线⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝t 2
，y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )
A.0
B.1
C. 2
D.2
解析 d 2
＝(t 2
－1)2
＋4t 2
＝(t 2
＋1)2
.∵t ∈R ，∴d 2
min ＝1，∴d min ＝1. 答案 B
5.已知点P 是椭圆x 24＋y 2
＝1上任意一点，求点P 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离的最大值. 解 因为P 为椭圆x 2
4＋y 2
＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π).
又直线l ：x ＋2y ＝0. 因此点P 到直线l 的距离
d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22
＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π45.又θ∈[0，2π)，∴d max ＝225＝2105， 即点P 到直线e ：x ＋2y ＝0的距离的最大值为210
5
.
一、基础达标
1.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，
y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程为( )。