2-4极限运算法则

( A B) 0.
(2)成立.
f ( x) A A A B A B A 0. g( x) B B B B(B )
又 0, B 0, 0, 当0 x x0 时,
B , B B B 1 B 1 B
2
22
B(B ) 1 B2 , 故 2
三、求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3 x 5) lim x2 lim(3x) lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x3 1 x2 3x 5
1
o
y x2 1 x
例8
求
lim
x
2e x 5e x
3 4
.
分析：
2e x 5e x
3 4
2u 3 , u ex . 5u 4
解 因为 lim e x , 所以做换元u ex，可得 x
2e x 3
lim
x
5e x
4
u ex lim 2u 3 2 .
u 5u 4
5
例
lim
与已知矛盾，
故假设错误．
二、极限运算法则
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
第四节 极限的运算法则
一、无穷小的运算性质 二、极限运算法则 三、求极限方法举例 四、小结
一、无穷小的运算性质
性质1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无 穷小.
例 当x 0时, x与sin x都是无穷小量,
所以,当x 0时, x sin x是无穷小量.
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1 B(B
)
2 B2
,
有界，
(3)成立.
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
lim x 3 lim 1
x2
x2
lim( x 2 3x 5)
23 1 3
7. 3
x2
小结: 1. 设 f ( x) a0 x n a1 x n1 an ,则有
lim
x x0
f
(
x)
a0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
x x0
x)n1
an
a0 x0n
a1
x n1 0
an
f ( x0 ).
2. 设
f (x)
P( Q(
x x
) )
,
且Q(
x0
)
0,
则有
lim P( x)
lim f ( x) x x0
x x0
lim Q( x)
x x0
P(x0 ) Q( x0 )
f ( x0 ).
若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
例2
求
lim
x1
x
2
4x 1 2x
3
.
解 lim( x 2 2x 3) 0, 商的法则不能用 x1
[ f ( x) g( x)] ( A B) ( A )(B ) AB
( A B) 0.
(2)成立.
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
证 lim f ( x) A, lim g( x) B. f ( x) A , g( x) B . 其中 0, 0. 由无穷小运算法则,得
[ f ( x) g( x)] ( A B) 0. (1)成立.
[ f ( x) g( x)] ( A B) ( A )(B ) AB
x 2x 1
6. lim(2 x3 x 1) x
x2 1
7.
lim
x
2x2
x
1
1 1
4.lim x 2 2
x0
x
x2 x
8.
lim
x
2
x4
3
x2
1
5. 无穷大; 6.无穷大; 7. 1/2; 8. 0;
例5
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无穷小之和． 先变形再求极限.
2、
1 lim( x1 1 x
3 1 x3
)
____-_1_____ .
3、
lim(1
1 )(2
1
1 ) ___2_______.
x
x
x2 x
4、 lim (n 1)(n 2)(n 3) ____1_/5_____.
n
5n3
5、 lim x 2 sin 1 _____0_____.
x0
x
e
cos x x e
x
0
例9 求lim（ n 2 n 1) n
解 原式 lim n 2 n 1
n
1
lim ( n 2 n 1)( n 2 n 1)
n
n2 n1
lim n 2 (n 1) n n 2 n 1
3
lim
0
n n 2 n 1
三、小结
作业：习题2：8
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1
n(n 1)
lim 2
n
n2
1 lim (1 n 2
1) n
1. 2
例6 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,
x
而sin x是有界函数.
lim sin x 0. x x
y sin x x
例7
设
f (x)
x2 1
( x 1)( x 1)
lim
x1
x2
2x
3
lim
x1
(x
3)( x
1)
lim x 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
例4
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大.( 型 )
先用x3去除分子分母，分出无穷小，再求极限.
1 x,
x
2
1,
x 0,求 lim f ( x). x 0 x0
解 x 0是函数的分段点,两个单侧极限为
lim f ( x) lim (1 x) 1,
x0
x0
lim f ( x) lim ( x2 1) 1,
x0
x0
左右极限存在且相等,
故 lim f ( x) 1. x0
y y 1 x
1.极限的四则运算法及其推论; 2.极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限； f.极限换元公式； g.有理化方法
一、填空题:
练习题
1、 lim x 3 3 ___-_5______. x2 x 3
例如, n 时, 1 是无穷小， n
但 n 个 1 之和为1不是无穷小. n
性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
例 lim sin x lim( 1 sin x) 0 .
x x
x x
无穷小量
有界函数
有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0.
g(x) B
[ f ( x) g( x)] ( A B) 0. (1)成立.
h0
h
3、 lim( 1 3 ) x1 1 x 1 x 3
思考题
在某个过程中，若 f ( x) 有极限，g( x) 无极限，那么f ( x) g( x)是否有极限？为
什么？
思考题解答
没有极限．
假设 f ( x) g( x) 有极限， f ( x)有极限，
由极限运算法则可知：
g( x) f ( x) g( x) f ( x) 必有极限，
, 当n m,
无穷小分出法:以分子分母中自变量的最高次幂 除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
课堂练习
求下列极限 1. 38; 2. 2/3; 3. -1/3; 4. -1/4;
1.lim(3 x2 7 x 10) x3
x1
2. lim x1
x2
x
1
x1
3.
lim
x 1
x2
x
2
x2 5. lim
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
lim
x
2 7
3
x 4
x
5 x3 1 x3
2. 7
(无穷小因子分出法)
小结:当a0 0,b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 xm b0 xn
a1 b1
x m 1 x n1
am bn
a0 0b,0
,
当n m, 当n m,
二、极限运算法则
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
证 lim f ( x) A, lim g( x) B. f ( x) A , g( x) B . 其中 0, 0. 由无穷小运算法则,得
又lim(4x 1) 3 0, x1
lim x2 2x 3 0 0.
x1 4x 1
3
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1
lim
x1
x2
2x
3
.
例3
求
lim
x 1
x2
x2 1 2x
3
.
解 x 1时,分子,分母的极限都是零. ( 0 型 ) 0
先约去不为零的无穷小因子 x 1后再求极限.
x
6、
lim
x0
4x4 2x2 3x2 2x
x
__1_/2_______ .
3
30
7、
(2 x 3)20 (3 x 2)30
lim
x
(2 x 1)50
_____2_____ .
8、
lim(1
n
1 2
1 4
...
1 2n
)
____2______
.
9、 lim ( x h)2 x2 ______2_x___ .