从函数观点看一元二次不等式(课件)(苏教版2019必修第一册)

又二次函数
y＝2x2＋7x＋3
的图象开口向上，所以原不等式的解集为
x
|
x
1 2
或x
3
.
(2)原不等式可化为
2x
9 2
2
=0，所以原不等式的解集为
x
|
x
9 4
.
(3)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0，因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根，又二
次函数 y＝2x2－3x＋2 的图象开口向上，所以原不等式的解集为 R.
式与相应函数、方程的联系
方程的联系
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知识回顾 一、一元二次不等式
1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a? 0)．(2)ax2＋bx＋c=0(a? 0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a? 0)．(4)ax2＋bx＋c=0(a? 0)． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合， 称为这个一元二次不等式的解集
有两个相等的实数根 x1＝x2＝－2ba
的步骤 得等的集
y＞0
不式解
y＜0
{x|x＜x1_或 x＞x2} {x|x1＜x＜x2}
xx≠－2ba
∅
Δ＜0 没有 实数根
R ∅
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三、一元二次不等式 1.不等式 x2－y2>0 是一元二次不等式吗？ 2.类比“方程 x2＝1 的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”． 不等式 x2>1 的解集及其含义是什么？ 3.若一元二次不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R，则实数 a 应满足什么条件？
数学（苏教版2019）
必修第一册
第3章 不等式
3.3 从函数观点看一元二次不等式
学习目标
课程标准
重难点
1. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等
式的过程，了解其意义；
1．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集
2. 会解一元二次不等式．
合表示一元二次不等式的解集
3. 借助二次函数图象，了解一元二次不等 2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、
讲授新课
【方法总结】解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为 0，使二次项系数为正. （2）判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. （3）求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. （4）画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. （5）写解集.根据图象写出不等式的解集.
3.结合二次函数图象可知，若一元二次不等式
ax2＋x－1>0
的解集为
R，则
a 0, 1 4a
0,
解得
a
，所
以不存在 a 使不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R.
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知识点一 一元二次不等式的解法
【例 1】解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x=2； (3)4x2－4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.
法一：aaxx＋ ＋bd＞≥00≤0 或caxx＋＋db＜≤00≥0 法二：ax＋bcx＋d≥0≤0
cx＋d≠0
先移项通分转化为上述两种形式
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2．(1)不等式的c>0
a＝0
b＝0，c>0
a>0
a? 0
Δ<0
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数
若 ax2＋bx＋c=k 恒成立? ymax=k
y＝ax2＋bx＋c
若 ax2＋bx＋c=k 恒成立? ymin=k
ax2＋bx＋c<0 b＝0，c<0 a<0
Δ<0
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【答案提示】三、1.此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． 2.不等式 x2>1 的解集为{x|x<－1 或 x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均 使不等式成立．
3 3 .作出函数 y＝3x2－6x＋2 的图象， 3
如图②，由图可得原不等式的解集为
x
|
x
3
3
3 或x 3 3
3
.
(3)∵方程 4x2－4x＋1＝0 有两个相等的实根 x1＝x2＝ 1 .作出函数 y＝4x2－4x＋1 2
的图象如图③.由图可得原不等式的解集为
x
|
x
1 2
.
(4)原不等式可化为 x2－6x＋10<0，∵Δ＝36－40＝－4<0，
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知识点二、二次函数图象、方程及不等式的关系 设 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式 Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
解不等 式 y＞0 或 y＜0
求方程 y＝0 的解
有两个不相等的实数根 x1，x2(x1＜x2)
画函数 y＝ax2＋bx＋c(a ＞0)的图象
∴方程 x2－6x＋10＝0 无实根，∴原不等式的解集为 .
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【跟踪训练】解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；(2)－4x2＋18x－ 81 =0；(3)－2x2＋3x－2<0. 4
【解析】 (1)因为 Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程 2x2＋7x＋3＝0 有两个不等实根 x1＝－3，x2＝－ 1 . 2
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知识点二 含有参数的一元二次不等式的解法
【例 2】(1) 设 a∈R，解关于 x 的不等式 2x2＋ax＋2>0； （2）设 m∈R，解关于 x 的不等式 m2x2＋2mx－3<0. 【解析】（1）Δ＝a2－16，下面分情况讨论：①当 Δ<0，即－4<a<4 时，方程 2x2＋ax＋2＝0 无实根， 所以原不等式的解集为 R.②当 Δ≥0，即 a≥4 或 a≤－4 时，方程 2x2＋ax＋2＝0 的两个根为
四、不等式解法 1．分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式
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类型
同解不等式
acxx＋＋db＞0(＜0) (其中 a，b，c，d 为常数)
法一：acxx＋＋db＞＞00＜0 或acxx＋＋db＜＜00＞0
法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)
ax＋b cx＋d≥0(≤0)
acxx＋＋db＞k<≥kk(其中 k 为非零实数) ≤k
【解析】(1)方程 2x2＋5x－3＝0 的两实根为 x1＝－3，x2＝ 1 ，作出函数 y＝2x2＋5x－3 的图象，如图①. 2
由图可得原不等式的解集为
x
|
3
x
1 2
.
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(2)原不等式等价于 3x2－6x＋2=0.Δ＝36－4×3×2＝12>0，解方程 3x2－6x＋2＝0，得 x1＝ 3 3 ，x2＝ 3