最新-2018届高考数学理一轮复习 25 指数与指数函数课件 新人教A版 精品

[解] (1)当 x<0 时，f(x)＝0； 当 x≥0 时，f(x)＝2x－21x. 由条件可知 2x－21x＝2， 即 22x－2·2x－1＝0，解得 2x＝1± 2. ∵2x>0，∴x＝log2(1＋ 2)．
(2)当 t∈[1,2]时，2t(22t－212t)＋m(2t－21t)≥0， 即 m(22t－1)≥－(24t－1)． ∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)． ∵t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]， 故 m 的取值范围是[－5，＋∞)．
解析：分别作出曲线和直线的图象，通过图象的交点个数来判断 参数的取值范围．
曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如右图所示，由图象可得|y|＝2x ＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
答案：[－1,1]
热点之三 指数函数的性质及应用 对指数函数的直接考查并不多，多的是考查指数函数型的复合函 数，考查这类复合函数的定义域、值域、单调性，或者涉及指数式的 二次函数的定义域、值域、单调性，此类问题一般较复杂，解决问题 过程中注意知识的迁移，关键还是指数函数性质的应用及有关指数幂 的运算．
5 ． 函 数 y ＝ ax ＋ 2009 ＋ 2010(a>0 且 a≠1) 的 图 象 恒 过 定 点 __________．
解析：∵y＝ax(a>0，且a≠1)恒过定点(0,1)， ∴y＝ax＋2009＋2010恒过定点(－2009,2011)． 答案：(－2009,2011)
热点之一 指数与指数运算 1．化简原则 (1)化负指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数； (4)注意运算的先后顺序． 2．结果要求 (1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示； (2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示； (3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负 指数幂．
(n>1
且 n∈N*)，记为n a，式子n a叫做 根式 ，其中 n 叫做 根指数 ， a 叫做 被开方数 ．
(1)当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个 正数 ，负数的 n 次 方根是一个 负数 ，零的 n 次方根是 零 ．
当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们的关系为互为
相反数，用符号表示为±n a.
A．2x
B．3x
C．(12)x
D．(13)x
解析：设f(x)＝ax，则g(x)＝ax－1，由g(x)图象过(2,2)点可知，a2－1 ＝2，∴a＝2.∴f(x)＝2x.
答案：A
3．设指数函数 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)，则下列等式不正确的 是( )
A．f(x＋y)＝f(x)·f(y) B．f[(xy)n]＝fn(x)·fn(y) C．f(x－y)＝ff((xy)) D．f(nx)＝fn(x)
热点之四 指数函数的综合应用 指数函数的综合应用主要是指与指数函数有关的复合函数或与指 数式有关的函数，常见的问题有： 1．解指数方程式、指数不等式． 2．利用指数函数图象、性质解决有关的综合问题． 3．利用指数函数求解有关参数取值的问题．
[例 4] 已知 f(x)＝a2－a 1(ax－a－x)(a>0 且 a≠1)． (1)判断 f(x)的奇偶性； (2)讨论 f(x)的单调性； (3)当 x∈[－1,1]时，f(x)≥b 恒成立．求 b 的取值范围． [思路探究] (1)首先看函数的定义域而后用奇偶性定义判 断； (2)单调性利用复合函数单调性易于判断，还可用导数解决； (3)恒成立问题关键是探求 f(x)的最小值．
A．2x2y
B．2xy
C．4x2y
D．－2x2y
解析：∵4
11Biblioteka 16x8y4＝(16x8y4)4＝[24(－x)8·(－y)4]4
1
1
1
＝24×4·(－x)8×4·(－y)4×4
＝2(－x)2(－y)＝－2x2y. 答案：D
2．将指数函数 f(x)的图象向右平移一个单位，得到如右图所
示的 g(x)的图象，则 f(x)＝( )
3．指数函数
(1)一般地，函数 y＝ax(a>0且a≠1)
自变量 ，函数的定义域为 R .
(2)指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
叫做指数函数，其中x是 0<a<1
图象
定义域 值域
性质
(－∞，＋∞)
(0，＋∞)
①过定点(0,1)
②当x>0时，y>1； ②当x>0时，0<y<1；
当x<0时，0<y<1
[课堂记录] (1)函数定义域为 R，关于原点对称． 又因为 f(－x)＝a2－a 1(a－x－ax)＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数． (2)当 a>1 时，a2－1>0， y＝ax 为增函数，y＝a－x 为减函数，
从而y＝ax－a－x为增函数， 所以f(x)为增函数． 当0<a<1时，a2－1<0， y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数． 所以f(x)为增函数． 故当a>0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．
[例1] 求值或化简：
[课堂记录]
[思维拓展] 指数式化简和求值分为两类：有条件的和无条件的， 无条件的指数式可直接化简，有条件的应把条件和结论相结合再进行 化简求值．
即时训练 化简下列各式：(其中各字母均为正数)
热点之二 指数函数的图象及应用 利用指数函数图象经过平移、对折、翻转等途径，作出指数型函 数图象，借助指数函数的性质解决问题，常见的问题有：利用变换后 的图象比较函数值的大小，确定最值或单调区间，有时给出函数图象 求参数的取值(或取值范围)．题型多为选择题、填空题，在综合题的分 析过程中，也常借助于函数图象．
解：(1)依题意，函数 f(x)的定义域为 R，
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴a·22－－x＋x＋a1－2＝－a·22x＋x＋a1－2，
∴2(a－1)(2x＋1)＝0，∴a＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝22xx－ ＋11， 设 x1<x2 且 x1，x2∈R， 则 f(x2)－f(x1)＝22xx22－ ＋11－22xx11＋－11 ＝(1－2x22＋1)－(1－2x12＋1) ＝(2x22(＋2x12)－(22xx1＋1) 1)>0， ∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在 R 上是增函数．
(3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数， ∴在区间[－1,1]上为增函数． 所以 f(－1)≤f(x)≤f(1)， ∴f(x)min＝f(－1)＝a2－a 1(a－1－a) ＝a2－a 1·1－a a2＝－1， ∴要使 f(x)≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需 b≤－1， 故 b 的取值范围是(－∞，－1]．
[例 2] 已知函数 y＝(13)|x＋1| (1)作出图象； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当 x 取什么值时函数有最值．
[思路探究]
[课堂记录] (1)由已知可得
y＝(13)|x＋1|＝(313x＋)x1＋1
(x≥－1) (x<－1)
，
其图象由两部分组成：
一部分是：y＝(13)x(x≥0)向1―个左―单平→位移
第五节 指数与指数函数
1.了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂 的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调 性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
1．根式的概念
一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n次方根
2．(2010·上海)若 x0 是方程12x＝x13 的解，则 x0 属于区间
()
A.23，1
B.12，32
C.13，12
D.0，13
解析：由 y＝12x 和 y＝x13 的图象可知，x0∈13，12，故选 C.
答案：C
3．(2010·重庆)函数 f(x)＝4x2＋x 1的图象(
)
A．关于原点对称
指数函数在新课标中占有十分重要的地位，因此高考对指数函数 的考查有升温趋势．重点是指数函数的图象与性质，以及指数函数的 实际应用问题，但幂的运算是解决与指数有关问题的基础，也要引起 重视．
[例 5] (2008·上海高考)已知函数 f(x)＝2x－21|x|. (1)若 f(x)＝2，求 x 的值； (2)若 2tf(2t)＋mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立，求实数 m 的取值 范围．
[例3] 已知2x2＋x≤()x－2 ，求函数y＝2x－2－x的值域． [思路探究] 先对2x2＋x≤()x－2 化简，根据指数函数的性质求出 函数的定义域，再根据函数的单调性求解． [课堂记录] ∵2x2＋x 2－2(x－2)，∴x2＋x≤4－2x， 即x2＋3x－4≤0，得－4≤x≤1. 又∵y＝2x－2－x在[－4,1]上为增函数， ∴2－4－24≤y≤2－2－1. 故所求函数y的值域是[－21565，32] ．
当x<0时，y>1
③在(－∞，＋∞) ③在(－∞，＋∞)上
上是增函数
是减函数
(3)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的 关系
如右图所示，a、b、c、d的大小关系为 0<c<d<1<a<b .
(4)指数函数y＝ax与y＝()x(a>0且a≠1)的图象关系为 关于y轴对称．
1．化简4 16x8y4(x<0，y<0)得( )
负数无(填“有”“无”)偶次方根．
(2)两个重要公式：
①n
a，n为奇数， an＝|a|＝a－，aa，≥a0<，0，
n为偶数.
②(n a)n＝ a (其中n a有意义)． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂的表示： ①正数的正分数指数幂是
②正数的负分数指数幂是
③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质： ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
y＝(13)x＋1(x≥－1)；
另一部分是：y＝3x(x<0)向1―个左―单平→位移y＝3x＋1(x<－1)． 图象如下图：
(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在(－1， ＋∞)上是减函数． (3)由图象知当 x＝－1 时，函数有最大值 1，无最小值．
即时训练 若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取 值范围是________．
1．(2010·广东)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为 R，则( )
A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
解析：∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)， ∴f(x)为偶函数， 而g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数． 答案：B
B．关于直线 y＝x 对称
即时训练 已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在区间[－1,1] 上的最大值为14，求实数a的值．
解：f(x)＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2， ∵x∈[－1,1]， (1)当 0<a<1 时，a≤ax≤1a， ∴当 ax＝1a时，f(x)取得最大值．
∴(1a＋1)2－2＝14， ∴1a＝3 或1a＝－5(舍去)，∴a＝13. (2)当 a>1 时，1a≤ax≤a， ∴当 ax＝a 时，f(x)取得最大值． ∴(a＋1)2－2＝14，∴a＝3 或 a＝－5(舍去)． 综上可知，实数 a 的值为13或 3.
[思维拓展] 本节内容在高考中的重点是指数函数的图象、性质 及简单的应用，但幂的运算是解决与指数有关问题的基础，也要引起 重视，另外分类讨论思想也是考查的另一重点．
即时训练
设函数 f(x)＝a·22x＋x＋a1－2为奇函数．求：
(1)实数 a 的值；
(2)用定义法判断 f(x)在其定义域上的单调性．
答案：B
4．函数f(x)＝3－x－1的定义域、值域是( ) A．定义域是R，值域是R B．定义域是R，值域是(0，＋∞) C．定义域是R，值域是(－1，＋∞) D．以上都不对 解析：∵y＝3－x＝(13)x，其定义域为 R，值域为(0，＋∞)， ∴f(x)＝3－x－1 的定义域为 R，值域为(－1，＋∞)． 答案：C