2.2.1 基本不等式 课件(28张)

【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1
无最大值
x
【思维导引】注意基本不等式成立的条件,以及等号成立的条件.
【类题通法】应用基本不等式时的三个关注点
【定向训练】 给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使 b＋a ≥2成
ab
立的条件有 ( )
a
若a=4,b=16,则 ab a＋b ,故C错;由基本不等式可知D项正确.
2
2.若a>0,b>0,a+2b=5,则ab的最大值为 ( )
A．25 B. 25 C. 25 D. 25
2
4
8
【解析】选D.a>0,b>0,a+2b=5,则ab= 1 a·2b≤ 1 ( a＋2b )2＝25，当且仅当
xy
【解析】因为x,y为正实数,所以(x+y) ( 1＋=34) + ( y≥＋43+x 2) . 3
xy
xy
当且仅当 y＝3பைடு நூலகம்x，x=2( -1)3,y=2(3- )时取3 “=”.
xy
又x+y=4,所以1＋3 1＋ 3，的故最1＋小3值为1+ .
3
xy
2
xy
2
5.已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证: ( 1－1)( 1－1)( 1－1) >8.
2.2 基本不等式 第1课时 基本不等式
必备知识生成
【情境探究】 问题1.若a,b∈R,则代数式a2+b2与2ab的关系如何? 提示:因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,所以对∀a,b∈R,a2+b2≥2ab. 问题2.上述结论中,“=”何时成立? 提示:对于(a-b)2,当a=b时,(a-b)2=0,所以当a=b时,a2+b2=2ab,等号成立. 问题3.若a>0,b>0,把a看作( a )2,把b看作( b )2,那么a+b与2 ab 的关系如何? 提示:a+b-2 ab =( a )2+( b )2-2 ab =( a - b )2≥0,所以a+b≥2 ab .
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.当 b，a 均为正数时, b＋a ≥2,故只需a,b同号即可,所以①
ab
ab
③④均可以.
探究点二 基本不等式的简单应用 【典例2】(1)已知m=a+ 1 (a>2),n=2-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是
a－2
________.
(2)若0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b,2 ab ,2ab,a2+b2中最大的一个是________. 【思维导引】利用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”
正数a,b的几何平均数.
(2)基本不等式:如果a,b是正数,那么
ab ≤
a＋b 2
,当且仅当_a_=_b_时取“=”.
(3)变形:ab≤ (a＋b)2 a2＋b2 ,a+b≥2 ab (其中a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立).
2
2
3.最值:设x,y为正实数
s2
(1)若x+y=s(和s为定值),则当_x_=_y_时,积xy有最_大__值,且这个值为__4__.
问题4.问题3的结论中,等号成立的条件是什么? 提示:对于( a - b )2≥0,当 a = b ,即a=b时,等号成立,此时a+b=2 ab .
【知识生成】
1.重要不等式
当a,b是任意实数时,有a2+b2≥2ab,当且仅当_a_=_b_时,等号成立.
2.基本不等式
a＋b
(1)有关概念:当a,b均为正数时,把___2__称为正数a,b的算术平均数,把 ab 称为
2
22
8
a= 5 ,b= 5 时取等号.
2
4
3.若a>1,则a+ 1 的最小值是 ( )
a－1
A.2
B.a
C. 2 a
D.3
a－1
【解析】选D.因为a>1,所以a-1>0,所以a+
1
a－1
=a-1+ 1 +1≥
a－1
2
(a－1+) 11
a－1
=3.
当且仅当a-1= 1 即a=2时取等号.
a－1
4.已知x,y为正实数,且x+y=4,求 1＋ 3 的最小值.
2
所以 a2＋b2＋ b2＋c2＋[(ca2＋+ba2)+ (b2+c)+(c+a)],
2
即 a2＋b2＋ b2＋c2＋(ac+2＋ba+2c),当2且仅当a=b=c时,等号成立.
探究点三 利用基本不等式证明不等式
【典例3】已知a,b,c均为正实数.求证: 2b＋3c－a a＋3c－2b a＋2b－3c 3.
a
2b
3c
【思维导引】对不等式左边变形,使其能利用基本不等式.
【类题通法】利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理, 经过逐步地逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”, 逐步推向 “未知”. (2)注意事项: ①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立; ②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用; ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型再使用.
(2)若xy=p(积p为定值),则当_x_=_y_时,和x+y有最_小__值,且这个值为_2__p_.
4.利用基本不等式求最值的基本条件:一_正__,二_定__,三_相__等__.
关键能力探究
探究点一 对基本不等式的理解
【典例1】下列结论正确的是 ( )
A.若x∈R,且x≠0,则 4 +x≥4
x
B.当x>0时, x＋ 1 ≥2
xyz
“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,
和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.
【类题通法】利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积),同时要注意结 合函数的性质(单调性). (2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a>0,b>0.