2024全国高考真题数学汇编：直线与圆锥曲线的位置关系

2024全国高考真题数学汇编直线与圆锥曲线的位置关系
一、多选题
1．
（2024全国高考真题）抛物线C ：24y x 的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y ⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）
A ．l 与A 相切
B ．当P ，A ，B 三点共线时，||PQ
C ．当||2PB 时，PA AB
D ．满足||||PA PB 的点P 有且仅有2个二、填空题
2．
（2024北京高考真题）若直线 3y k x 与双曲线2
214
x
y 只有一个公共点，则k 的一个取值为
．
三、解答题
3．
（2024北京高考真题）已知椭圆E ： 22
2210x y a b a b
，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形
是边长为2的正方形.过点 0,t t 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和 0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．
4．
（2024全国高考真题）已知(0,3)A 和33,2P 为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
上两点.(1)求C 的离心率;
(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．
5．
（2024上海高考真题）已知双曲线2
2
2Γ:1,(0),y x b b
左右顶点分别为12,A A ，过点 2,0M 的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.
(1)若离心率2e 时，求b 的值．
(2)若2b MA P
△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P
，求b 的取值范围．
参考答案
1．ABD
【分析】A 选项，抛物线准线为=1x ，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB 先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k 是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF ，于是问题转化成PA PF 的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24y x 的准线为=1x ，
A 的圆心(0,4)到直线=1x 的距离显然是1，等于圆的半径，
故准线l 和A 相切，A 选项正确；
B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ，则P 的纵坐标4P y ，
由2
4P
P y x ，得到4P x ，故(4,4)P ，
此时切线长PQ ，B 选项正确；
C 选项，当2PB 时，1P x ，此时2
44P P y x ，故(1,2)P 或(1,2)P ，
当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B ，42
201
PA k ，4220(1)AB k
，不满足1PA AB k k ；
当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B ，4(2)
601
PA k ，4(2)60(1)AB k
，不满足1PA AB k k ；
于是PA AB 不成立，C 选项错误；
D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF ，这里(1,0)F ，
于是PA PB 时P 点的存在性问题转化成PA PF 时P 点的存在性问题，
(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22
，AF 中垂线的斜率为114AF k
，于是AF 的中垂线方程为：215
8
x y
，与抛物线24y x 联立可得216300y y ，2164301360 ，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个P 点，使得PA PF ，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）
设2,4t P t
，由PB l 可得 1,B t ，又(0,4)A ，又PA PB ，
214
t ，整理得216300t t ，
2164301360 ，则关于t 的方程有两个解，
即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：
ABD
2．1
2（或12
，答案不唯一）
【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立 22
143x y y k x
，化简并整理得： 2222
14243640k x k x k ，
由题意得2140k 或 2
222Δ244364140k k k ，
解得12k 或无解，即12
k ，经检验，符合题意.故答案为：
12
（或1
2
，答案不唯一）.
3．(1)2221,422
x y e
(2)2
t 【分析】（1
）由题意得b c a ，由此即可得解；
（2
）设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222
424,1221kt t x x x x k k ，而 121112
:y y AD y x x y x x ，令0x ，即可得解.【详解】（1
）由题意b c
，从而2a ，所以椭圆方程为22142x y
，离心率为2
e
；（2）直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，
从而设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立22
142
x y y kx t
，化简并整理得
222
124240k x ktx t ，由题意 222222
Δ1682128420k t k t k t ，即,k t 应满足22420k t ，
所以212122
2
424
,1221
kt t x x x x k k ，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设 22,D x y ，所以 12
1112
:y y AD y x x y x x
，在直线AD 方程中令0x ，得 2
1221121212211212124222
14C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt ，
所以2t ，
此时k 应满足222424200k t k k
，即k
应满足2k
或2k ，
综上所述，2t
满足题意，此时2
k
或2k .
4．(1)1
2
(2)直线l 的方程为3260x y 或20x y .
【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；
（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设 00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx ，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3
:(3)2
PB y k x
，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12
表达面积即可.
【详解】（1）由题意得2239941b a b
，解得22912b a ，
所以1
2
e .
（2）法一：
3
312032AP
k
，则直线AP 的方程为1
32
y x ，即260x y ，
AP 1）知22:1129x y C ，设点B 到直线AP 的距离为
d
，则
d
则将直线AP 沿着与
AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ，
6C 或18C ，当6C 时，联立221129260x y x y
，解得03x y 或3
32x y ，
即 0,3B 或33,2
，
当 0,3B 时，此时32
l k
，直线l 的方程为3
32y x ，即3260x y ，
当33,2B
时，此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，
当18C 时，联立22
11292180x y x y
得22271170y y ，
227421172070 ，此时该直线与椭圆无交点.
综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线
AP 的距离d
设 00,B x y
，则2200
125
51129x y
，解得00332x y 或0003x y ，即 0,3B 或33,2
，以下同法一.
法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP
的距离d
设
,3sin B ，其中 0,2
联立22cos sin 1
，解得cos 21sin 2
或cos 0sin 1
，即 0,3B 或33,2
，以下同法一；
法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时 0,3B ，
1
6392
PAB S ，符合题意，此时32l k ，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，
当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx ，
联立椭圆方程有223
1129
y kx x y
，则
22
43240k x kx ，其中AP k k ，即12k ，
解得0x 或22443
k
x k
，0
k ，12k ，令22443k x k ，则22
129
43k y k ，则22224129,4343k k B k k
同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP
的距离d
，解得3
2k =，
此时33,2B
，则得到此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，
综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .
法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A
到PB 距离3d ，
此时19
33922
ABP S 不满足条件.
当l 的斜率存在时，设3
:(3)2
PB y k x
，令 1122,,,P x y B x y ，22
3(3)21129
y k x x y
，消y 可得 2222
4324123636270k x k k x k k ，
2
222Δ24124433636270k k
k k k ，且AP k k ，即1
2
k ，
21222
122241243
,36362743k k x x k PB k k x x k
，
A 到直线PB
距离
192
PAB d S
，12k
或32，均满足题意，1:2l y x 或3
32
y x ，即3260x y 或20x y .法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A
到PB 距离3d ，
此时19
33922
ABP S 不满足条件.
当直线l 斜率存在时，设3
:(2
l y k x
，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x ，则30,32Q k
，
联立223323436
y kx k x y
，则有
222
3348336362702k x k k x k k ，
2
2
23348336362702k x
k k x k k
，
其中
2
2
223Δ8343436362702k k k k k
，且12k ，
则2222
36362712129
3,3434B B k k k k x x k k
，则2
11312183922234P B k S AQ x x k k
，解的12
k 或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x
或3
32
y x ，即3260x y 或20x y .
5．
(1)b
(2) 2,P
(3)
【分析】（1）根据离心率公式计算即可；（2）分三角形三边分别为底讨论即可；
（3）设直线:2l x my ，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【详解】（1）由题意得21
c c
e a
，则2c
，b （2
）当b 时，双曲线2
2
Γ:18
3
y x ，其中 2,0M ， 21,0A ，因为2MA P △为等腰三角形，则
①当以2MA 为底时，显然点P 在直线1
2
x 上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去；
②当以2A P 为底时，23MP MA 设 ,P x y ，则2
222318
(2)9y x x y ,
联立解得2311x y
或2311x y
10x y ，因为点P 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知2MP MA ，矛盾，舍去）；
③当以MP 为底时，223A P MA ，设 00,P x y ，其中000,0x y ，则有 22
002200
19183x y y x
，解得002x y
，即 2,P ．
综上所述： 2,P .
（3）由题知 121,0,1,0A A ，
当直线l 的斜率为0时，此时120A R A P
，不合题意，则0l k ，
则设直线:2l x my ，
设点 1122,,,P x y Q x y ，根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ，根据双曲线对称性知 22,R x y ，
联立有2
2221
x my y x b
222221430b m y b my b ，显然二次项系数2210b m ，
其中 2
2222422Δ44134120mb b m b b m b ，
2122241
b m
y y b m ①，2122231b y y b m ②
，
1222111,,1,A R x y A P x y
，
则 122112111A R A P x x y y
，因为 1122,,,P x y Q x y 在直线l 上，
则112x my ，222x my ，
即 2112331my my y y ，即 2
121213100y y m y y m ，
将①②代入有 222
2222341310011
b b m
m m b m b m ，
即 22222
31341010
b m m b m b m 化简得2223100b m b ，所以2210
3m b
,代入到2210b m ,得221031b b ,所以23b ,且221030m b
，解得2103b ，又因为0b ，则2
1003
b ，综上知， 2
100,33,3b
，
b
．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设:2l x my ，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.。