【易错题】高一数学上期中第一次模拟试题附答案(1)

【易错题】高一数学上期中第一次模拟试题附答案(1)
一、选择题
1．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）
B ．（﹣∞，2]
C ．（2，+∞）
D ．[2，+∞）
2．三个数0.32，20.3，0.32log 的大小关系为（ ）.
A ．20.3
0.3log 20.32<< B ．0.3
20.3log 22
0.3<<
C ．20.3
0.30.3log 22<<
D ．20.3
0.30.32log 2<<
3．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
4．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x
）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5
B ．4.5
C ．3.5
D ．2.5
6．设函数22,()6,x x x a
f x ax x a
⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）
A ．[)2,+∞
B ．[]0,3
C ．[]2,3
D ．[]
2,4
7．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log a
b 的大小关系为（ ）
A ．1log log b
a
b a
a b a b >>>
B ．1log log a
b
b a
b a b a >>>
C ．1log log b a
b a
a a
b b >>>
D ．1log log a b
b a
a b a b >>>
8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]
0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）
A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
9．函数2
()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞
D ．(4,)+∞
10．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ） A ．3(3,)2
-- B ．3(3,)2
-
C ．3(1,)2
D ．3(,3)2
11．已知函数
在
上单调递减，则实数
a 的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
12．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．方程组20
40
x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________.
14．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x x
f x a a R =+⋅∈，
则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．
15．若函数|1|
12x y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是__________．
16．2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的
2
3,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13
. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数） 17．若关于的方程
有三个不相等的实数根，则实数的值为_______.
18．已知函数42
()(0)f x x ax bx c c =+++<，若函数是偶函数，且4
((0))f f c c =+，
则函数()f x 的零点共有________个.
19．若关于 x 的方程2420x x a ---= 在区间 (1, 4) 内有解，则实数 a 的取值范围是_____．
20．函数2()log 1f x x =-________．
三、解答题
21．已知2256x ≤且21log 2x ≥
，求函数22
()log 2
2
x x
f x =⋅的最大值和最小值． 22．已知幂函数2
242
()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2x
g x k =-；
（1）求m 的值；
（2）当[1,2]x ∈时，记()f x 、()g x 的值域分别是A 、B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取
23．已知函数()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪
==⎨⎪+<⎩
是奇函数．
（1）求实数m 的值；
（2）若函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增，求实数a 的取值范围. 24．已知函数()2x f x =，1()22
x
g x =+．
（1）求函数()g x 的值域；
（2）求满足方程()()0f x g x -=的x 的值．
25．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x （x N *∈）件.当20x ≤时，年销售总收人为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收人为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元.(年利润=年销售总收入一年总投资) (1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；
(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?
26．已知()221g x x ax =-+在区间[]13， 上的值域为[]
0,4。

(1)求实数a 的值； (2)若不等式()2
4
0x
x
g k -⋅≥ 当[)x 1,∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围。

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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 试题分析：当
时，，此时
成立，当
时，，当时，，即
，当
时，
，当
时，
恒成立，所以a 的取值范围为
，故选B.
考点：集合的关系
2．A
解析：A 【解析】
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】
∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log 0.32＜0， ∴20.3＞0.32＞log 0.32． 故选A ． 【点睛】
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
化简cos cos a A b B =得到A B =或2
A B π
+=，再判断充分必要性.
【详解】
cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=
故22A B A B =∴=或222
A B A B π
π=-∴+=
，ABC ∆为等腰或者直角三角形.
所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选B 【点睛】
本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2
A B π
+=是解题的关键，漏解是容易发
生的错误.
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】
如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .
【点睛】
本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】 设t=f （x ）-e x ，
则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，
即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
画出函数2
2y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】
画出函数22y x x =--的图象如下图所示，
结合图象可得，要使函数()22,,
6,,
x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，
需满足22
226a a a a ≥⎧
⎨--≥-⎩
，解得24x ≤≤． 所以实数a 取值范围是[]
2,4． 故选D ． 【点睛】
解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．
7．D
解析：D 【解析】
因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以1
1a
>,1log 0a b <.
综上1log log a
b
b a
a b a b >>>；故选D.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】
∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）；
∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），
2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫
⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,故选C. 【点睛】
本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.
9．D
解析：D 【解析】
由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，
∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，
故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D.
点睛：形如()()
y f g x =的函数为()y g x =,()
y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()
y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()
y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.
简称为“同增异减”.
10．D
解析：D 【解析】
试题分析：集合()(){}
{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合
，所以
3|32A B x x ⎧⎫
⋂=<<⎨⎬⎩⎭
,故选D.
考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.
11．C
解析：C
【分析】
由函数单调性的定义，若函数在上单调递减，可以得到函数在每一个子区
间上都是单调递减的，且当时，
，求解即可．
【详解】 若函数
在
上单调递减，则
，解得
. 故选C. 【点睛】
本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小，故解答本题的关键是
的最小值大于等于
的最大值． 12．D
解析：D 【解析】
试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为
，所以排除
选项；当
时，
有一零点，
设为
，当
时，
为减函数，当
时，
为增函数．故选D
二、填空题
13．【解析】【分析】解方程组求出结果即可得答案【详解】由解得或代入解得或所以方程组的解组成的集合为故答案为【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题需要注意的问题是解是二维的再者就是需要写成集合的形式属于 解析：()(){}2,2,2,2--
【解析】 【分析】 解方程组2
40
x y x +=⎧⎨-=⎩，求出结果即可得答案. 【详解】
由240x -=，解得2x =或2x =-，代入0x y +=，
解得22x y =⎧⎨=-⎩或22x y =-⎧⎨=⎩
，
所以方程组2040
x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为{}(2,2),(2,2)--，
故答案为{}(2,2),(2,2)--.
该题考查的是有关方程组解集的问题，需要注意的问题是解是二维的，再者就是需要写成集合的形式，属于简单题目.
14．f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【解析】【分析】先根据计算再设代入函数利用函数的奇偶性得到答案【详解】定义在﹣33上的奇函数f （x ）已知当x ∈03时f （x ）＝3x+a4x （a ∈R ）当x ＝0时f （0）＝0解得
解析：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x
【解析】 【分析】
先根据()00f =计算1a =-，再设30x ≤≤﹣ ，代入函数利用函数的奇偶性得到答案. 【详解】
定义在[﹣3，3]上的奇函数f （x ），已知当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x +a 4x （a ∈R ）， 当x ＝0时，f （0）＝0，解得1+a ＝0，所以a ＝﹣1． 故当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x ﹣4x ．
当﹣3≤x ≤0时，0≤﹣x ≤3，所以f （﹣x ）＝3﹣x ﹣4﹣x ，
由于函数为奇函数，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x . 故答案为：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，属于常考题型.
15．【解析】【分析】由可得出设函数将问题转化为函数与函数的图象有交点利用数形结合思想可求出实数的取值范围【详解】由可得出设函数则直线与函数的图象有交点作出函数与函数的图象如下图所示由图象可知则解得因此实 解析：[)1,0-
【解析】 【分析】
由|1|
102x y m -⎛⎫=+= ⎪
⎝⎭
可得出112x
m -⎛⎫
-= ⎪
⎝⎭，设函数()112x
g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，将问题转化为函数
y m =-与函数()y g x =的图象有交点，利用数形结合思想可求出实数m 的取值范围.
【详解】
由|1|
102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
可得出112x
m -⎛⎫
-= ⎪
⎝⎭
，设函数()112x
g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
则直线y m =-与函数()y g x =的图象有交点，
作出函数()1
11,1
22,1x x x g x x --⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩
与函数y m =-的图象如下图所示，
由图象可知()01g x <≤，则01m <-≤，解得10m -≤<. 因此，实数m 的取值范围是[)1,0-. 故答案为：[)1,0-. 【点睛】
本题考查利用函数有零点求参数的取值范围，在含单参数的函数零点问题的求解中，一般转化为参数直线与函数图象有交点来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
16．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是
解析：68 【解析】
由题意得，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅，经过25天后，气球体积变为原来的23
， 即25252233k
k a e
a e --⋅=
⇒=，则225ln 3
k -=， 设t 天后体积变为原来的
13
，即13kt V a e a -=⋅=，即13kt
e -=，则1ln 3kt -=
两式相除可得
2ln
2531ln
3
k kt -=-，即2lg
25lg 2lg30.3010.4771
30.3681lg30.4771lg 3t --===≈--， 所以68t ≈天
点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题，考查了指数运算的综合应用，求解本题的关键是先待定t 的值，建立方程，在比较已知条件，得出关于t 的方程，求解t 的值，本题解法比较巧妙，充分考虑了题设条件的特征，对观察判断能力要求较高，解题时根据题设条件选择恰当的方法可以降低运算量，试题有一定的难度，属于中档试题.
17．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3
解析：3 【解析】 令
，则由题意可得函数
与函数
的图象有三个公共点．
画出函数的图象如图所示，
结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则
．
答案：3 18．2【解析】因为是偶函数则解得又所以故令所以故有2个零点点睛：本题涉及函数零点方程图像等概念和知识综合性较强属于中档题一般讨论函数零点个数问题都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题本题 解析：2
【解析】
因为()42
(0)f x x ax bx c c =+++<是偶函数，则()()f x f x -=，解得0b =，又()()4240()f f f c c ac c c c ==++=+，所以0a =，故4()f x x c =+，令
4()0f x x c =+=，40x c =->，所以4x c =-2个零点.
点睛：本题涉及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于中档题.一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑方程来解决，转化为方程根的个数，同时注意偶函数性质在本题中的应用.
19．-6-
2)【解析】【分析】转化成f(x)=与有交点再利用二次函数的图像求解【详解】由题得令f(x)=所以所以故答案为-6-
2)【点睛】本题主要考查二次方程的有解问题考查二次函数的图像和性质意在考查学
解析：[-6,-2)
【解析】
【分析】
转化成f(x)=242x x --与y a =有交点, 再利用二次函数的图像求解.
【详解】
由题得242x x a --=，令f(x)=()2
42,1,4x x x --∈, 所以()()[)2242266,2f x x x x =--=--∈--，
所以[
)6,2a ∈--
故答案为[-6,-2)
【点睛】
本题主要考查二次方程的有解问题，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.
20．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题
解析：[2，+∞）
【解析】
分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为
[2,)+∞.
点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.
三、解答题
21．最小值为14-
，最大值为2. 【解析】
【分析】 由已知条件化简得
21log 32x ≤≤，然后化简()f x 求出函数的最值 【详解】
由2256x ≤得8x ≤，2log 3x ≤即21log 32
x ≤≤ ()()()222231log 1log 2log 24f x x x x ⎛⎫=-⋅-=-- ⎪⎝
⎭. 当23log ,2x =
()min 14f x =-，当2log 3,x = ()max 2f x =． 【点睛】
熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，将其转化为二次函数的值域问题，较为基础．
22．(1) 0 ; (2) [0,1]
【解析】
【分析】
(1)根据幂函数的定义有2(=11)m -，求出m 的值，然后再根据单调性确定出m 的值.
(2)根据函数()f x 、()g x 的单调性分别求出其值域，再由A B A ⋃=得B A ⊆，再求k 的取值范围.
【详解】
(1) 函数2242()(1)m m f x m x -+=-为幂函数，
则2(=11)m -，解得：0m =或2m =.
当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，满足条件.
当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，不满足条件.
综上所述0m =.
(2)由(1)可知, 2()f x x =,则()f x 、()g x 在[1,2]单调递增,
所以()f x 在[1,2]上的值域[1,4]A =,()g x 在[1,2]的值域[2,4]B k k =--.
因为A B A ⋃=,即B A ⊆,
所以2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10k k
≥⎧⎨≤⎩，所以01k ≤≤. 所以实数k 的取值范围是[0,1].
【点睛】
本题考查幂函数的概念，函数值域和根据集合的包含关系求参数的范围,属于基础题.
23．（1）2；（2）(]1,3.
【解析】
【分析】
（1）设0x <，可得0x ->，求出()f x -的表达式，利用奇函数的定义可得出函数()y f x =在0x <时的解析式，由此可求出实数m 的值；
（2）作出函数()y f x =的图象，可得出函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，于是可得出[][]
1,21,1a --⊆-，进而得出关于实数a 的不等式组，解出即可.
【详解】 （1）()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩
Q 为奇函数， 当0x <时，0x ->，则()()()2
222f x x x x x -=--+⨯-=--，
则()()22f x f x x x =--=+，2m ∴=； （2）由（1）可得()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩
，作出函数()y f x =如下图所示：
由图象可知，函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，
由题意可得[][]1,21,1a --⊆-，则121a -<-≤，解得13a <?.
因此，实数a 的取值范围是(]1,3.
【点睛】
本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题.
24．（1）(2,3]；（2）2log (12)x =．
【解析】
试题分析：（1）化简函数的解析为||||11()2()222x x g x =+=+，根据||10()12
x <≤，即可求解函数的值域；（2）由()()0f x g x -=，得||12202x x -
-=，整理得到2(2)2210x x -⋅-=，即可求解方程的解．
试题解析：（1）||||11()2()222
x x g x =+=+， 因为||0x ≥，所以||10()12x <≤，即2()3g x <≤，故()g x 的值域是(2,3]．
（2）由()()0f x g x -=，得||
12202x x --=， 当0x ≤时，显然不满足方程，即只有0x >时满足12202x x
--=，整理得2(2)2210x x -⋅-=，
2(21)2x -=，故212x =±
因为20x >，所以212x =2log (12)x =．
考点：指数函数的图象与性质．
25．（1）232100,020160,20
x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩（x N *∈）；（2）当年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，分当20x ≤时和当20x >时两种情况，分别求出年利润的表达式，综合可得答案；
（2）根据（1）中函数的解析式，求出最大值点和最大值即可．
【详解】
（1）由题意得：当20x ≤时，()223310032100y x x x x x =---=-+-， 当20x >时，260100160y x x =--=-，
故232100,020160,20
x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩（x N *∈）； （2）当020x <≤时，()2
23210016156y x x x =-+-=--+，
当16x =时，156max y =，
而当20x >时，160140x -<，
故当年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元.
【点睛】
本题主要考查函数模型及最值的求法，正确建立函数关系是解题的关键，属于常考题. 26．（1）1a =；（2）1-4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦
，. 【解析】
【分析】
(1)分类讨论二次函数的轴和区间的关系，分别讨论函数的单调性，进而得到函数的最值；（2）由已知得()22221?40x x x k -⨯+-≥在[)1,x ∈+∞上恒成立⇔
2112122x x k ⎛⎫⎛⎫≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在[)1,x ∈+∞上恒成立，令12x t =，且10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则上式2121,0,2k t t t ⎛⎤⇔≤-+∈ ⎥⎝⎦
恒成立，根据二次函数的性质求最值即可. 【详解】
（1）()()221g x x a a =-+-
当1a <时，()g x 在[]
1,3上单调递增 ()()min 1220g x g a ∴==-=，即1a =，与1a <矛盾。

故舍去。

当13a ≤≤时，()()2
min 10g x g a a ==-=，即1a =±，故1a =
此时()()21g x x =-，满足[]1,3x ∈时其函数值域为[]0,4。

当3a >时，()g x 在[]
1,3上单调递减 ()()min 31060g x g a ==-=，即53a =，舍去。

综上所述：1a =。

（2）由已知得()22221?40x
x x k -⨯+-≥在[)1,x ∈+∞上恒成立 ⇔ 2112122x x k ⎛⎫⎛⎫≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在[)1,x ∈+∞上恒成立 令12x t =，且10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
，则上式⇔ 2121,0,2k t t t ⎛⎤≤-+∈ ⎥⎝⎦
恒成立。

记()221h t t t =-+ 10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦Q 时()h t 单调递减，()min 1124
h t h ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭ 故14
k ≤ 所以k 的取值范围为。

【点睛】
这个题目考查了二次函数在小区间上的最值问题，一般转化为轴动区间定或者轴定区间动的问题，分类讨论函数的单调性，进而得到最值；也考查到恒成立求参的问题，一般采用变量分离的方法，转化为最值问题.。