课件6：3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表

读
基本初等函数的导数公式:
序号
y=f(x)
y'=f'(x)
1
y=C
y'=0
2
y=xn
y'=nxn-1,n 为自然数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
y=xμ(x>0,μ≠0)
y'=μxμ-1,μ 为有理数
4
y=ax(a>0,a≠1)
y'=axln a
5
y=ex
y'=ex
6
y=logax(a>0,a≠1,x>0)
y'=x a
7
直线 l 的方程.
【解析】由直线l与直线3x-y+2=0平行,可得kl=3,设切
点为(a,b),则y'|x=a=3a2=3,可得a,即可求出b,从而可求出
切线方程.
解:设切点为(a,b).
因为 y'=3x2,
所以 kl=y'|x=a=3a2.
又因为直线 l 与直线 3x-y+2=0 平行,
所以 3a2=3,所以 a=±1.
式求导,应注意将所给函数关系式转化为能直接应用公式
的形式.
解:(1)y'=7x6;
3
3 1
2,所以 y'= 2
3
= 2 ;
(2)因为 y=x =
2
1
(3)y'=
;
ln3


(4)因为 y=2sin2·cos2=sin x,所以 y'=cos x;
1 -2
2
-3
(5)因为 y= 2=x ,所以 y'=-2x =- 3.
转化为可以直接应用公式的基本初等函数形式,如 y=
就可以直接使用幂函数的求导公式求导.
5
3可以写成
3
5
y= 等,
例 1： 求下列函数的导数:
(1)y=x7; (2)y=x ; (3)y=log3x;


1
(4)y=2sin2 ·cos2 ; (5)y= 2 .
思路分析:对于基本初等函数的求导,直接利用导数公
课堂检测
【解析】因为(cos x)'=-sin x,(sin x)'=cos x,(
所以 A,B,D 均不正确.
而
1

1
'=(x-1)'=-x-1-1=-2,故 C 正确.
【答案】C
1
1 1-1
)'=( 2 )'= 2
2
=
1
,
2
2π
2.若 y=cos ,则 y'=(
3
3
A.- 2
1
B.-2
)
C.0
【解析】常数函数的导数为0.
【答案】C
1
D.2
3.曲线 y=xn 在 x=2 处的导数为 12,则 n=
【解析】因为y'=nxn-1,
所以y'|x=2=n·2n-1=12,
所以n=3.
【答案】3
.
4.以曲线 y=ex 上的点 P(0,1)为切点的切线方程
为
.
【答案】y=x+1
5.已知直线 l 与直线 3x-y+2=0 平行,且与曲线 y=x3 相切,求
求点 P 到直线 y＝x 的最短距离．
解：根据题意得，平行于直线 y＝x 的直线与曲线 y＝ex 相切的
切点为 P，该切点即为与 y＝x 距离最近的点，如图，即求在曲线 y
＝ex 上斜率为 1 的切线，由导数的几何意义求解．
令 P(x0，y0)，
∵y′＝(ex)′＝ex，
∴由题意得 e x ＝1，得 x0＝0，
当 a=1 时,b=1,
此时直线 l 的方程为 y-1=3(x-1),
即 3x-y-2=0;
当 a=-1 时,b=-1,
此时直线 l 的方程为 y+1=3(x+1),
即 3x-y+2=0,
因为该直线为已知直线,故舍去.
所以直线 l 的方程为 3x-y-2=0.

∵y′＝(x2)′＝2x，∴k2＝2.
∴曲线 y＝x2 在(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，
即 y＝2x－1.
y＝－x＋2 与 y＝2x－1 和 x
1

轴的交点分别为(2,0)，2，0.



1 3
1
∴所求面积 S＝2×1×2－2＝4.


例 3：设点 P 是 y＝ex 上任意一点，
生归纳类比的能力．
●重点、难点
重点：利用导数公式，求简单函数的导数．
难点：对导数公式的理解与记忆．
在基本初等函数的求导公式中，对数函数与指数
函数的求导公式比较难记忆，要区分公式的结构
特征，找出它们之间的差异去记忆．
课
标 1.会用导数的定义求几个函数的导数．(难点)
解 2．会利用导数公式表解决一些简单的问题．(重点)
3.2.1 常数与幂函数的导数
3.2.2 导数公式表
●三维目标
1.知识与技能
能够用导数的定义求几个常用函数的导数，会利
用它们解决简单的问题．
2．过程与方法
使学生掌握由定义求导数的三个步骤，推导四种
常见函数的导数公式．
3．情感、态度与价值观
通过本节的学习进一步体会导数与其他知识之
间的联系，提高数学的应用意识，注意培养学
0
代入 y＝ex 得 y0＝1，即 P(0,1)．
2
利用点到直线的距离公式得点 P 到直线 y＝x 最短距离为 2 .
课堂检测
1.下列结论正确的是( )
A.若 y=cos x,则 y'=sin x
B.若 y=sin x,则 y'=-cos x
1
1
C.若 y= ,则 y'=- 2



D.若 y= ,则 y'= 2
y=ln x
y'=x
8
y=sin x
y'=cos x
9
y=cos x
y'=-sin x
1
1
利用导数公式求函数的导数
利用导数定义求导是求导数的基本方法,但过于繁琐,通常若所求函数
符合求导公式,则利用导数公式求导数可简化求导过程,但需要准确记忆公
式,恰当选择公式;对于不能直接用公式的类型,关键是将其进行适当变形,


1
例 2：求曲线 y＝x 和 y＝x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所
围成的三角形的面积．
1
y＝x
解：由
解得交点为(1,1)．
y＝x2，
1
1


∵y′＝ x ′＝－x2，∴k1＝－1，

1
∴曲线 y＝ 在(1,1)处的切线方程为 y－1＝－x＋1，
x
即 y＝－x＋2.