1.4全称量词与存在量词

§1.4 全称量词与存在量词
教材导读
1、全称量词和全称命题
（1）短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示，常见的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”等。

（2）含有 的命题，叫做全称命题。

（3）全称命题：“对M 中任意一个x,有p(x)成立”，可用符号简记为 。

2、存在量词和物称命题 （1）短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”等。

（2）含有 命题，叫做物称命题。

（3）特称命题：“存在M 中的一个0x ，有p(0x )成立”，可用符号简记为 。

3.含有一个量词的命题的否定
（1）全称命题p:),(,x p M x ∈∀它的否定
p ⌝： 。

（2）特称命题p:),(,00x p M x ∈∃它的否定
p ⌝： 。

对点讲练
题型一 全称名题与特称命题的辨析 【例1】判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号表示。

（1）对任意实数;1cos sin ,2
2=+ααα有 （2）存在一条直线，其斜率不存在； （3）所有的实数a,b,方程ax+b=0恰有唯一解；
（4）存在实数x,使得
1
12
+-x x ＝2.
【练习1】判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题？
（1）有的向量方向不定；（2）负数没有对数；
（3）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除。

题型二 全称命题与特称命题的真假 【例2】判断下列命题的真假。

（1）;02,2>+∈∀x R x （2）三角形内角和为180º；（3）;1,2
00<∈∃x Z x （4）存在一个四边形不是平行四边形。

【练习2】指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假。

（1）若a>0,且1≠a ，则对任意实数x,;0>x a (2)对任意实数,,21x x 若21x x <，则;tan tan 21x x <
（3）x T x R T sin )sin(,00=+∈∃使；
（4）.01,2
00<+∈∃x R T 使
题型三 含有一个量词的命题的否定
【例3】写出下列命题的否定，并判断其真假。

（1）有些质数是奇数；
（2）所有二次函数的图象都开口向上。

（3）;5.2
00=∈∃x Q x （4）不论m 取何实数，
方程022
=-+m x x 都是实数根。

【练习3】写出下列特称命题的否定。

（1）p:,10>∃x 使;03202
0=--x x
（2）p:若,,102N n n a n ∈∃+-=则使
.0<n S （3）p:a,b 是异面直线，,
,b B a A ∈∈∃使AB ⊥a,AB ⊥b.
课时作业
一、选择题
1、下列命题不是“3,2
00>∈∃x R x ”的表述
方法的是（ ）
A. 有一个3,2
00>∈x R x 使
B. 有些3,200>∈x R x 使
C. 任选一个3,2
00>∈x R x 使
D. 至少有一个3,200>∈x R x 使
2.下列语句不是全称命题的是
A.任何一个实数乘以零都等于零。

B.自然数都是正整数
C. 高二（1）班绝大多数同学是团员。

D. 每一个向量都有大小 3.若函数)()(2
R a x
a x x f ∈+=,则下列结论
正确的是
A.),0()(,+∞∈∀在x f R a 上是增函数
B. ),0()(,+∞∈∀在x f R a 上是减函数
C. )(,x f R a ∈∃是偶函数
D. )(,x f R a ∈∃是奇函数 4、a 和b 都不是偶数”的否定形式是
A.a 和b 至少有一个是偶数
B. a 和b 至多有一个是偶数
C.a 是偶数，b 不是偶数
D.a 和b 都是偶数
5、命题“某些平行四边形是矩形”的否定命题是
A.某些平行四边形不是矩形
B.任何平行四边形是矩形
C.每一个平行四边形都不是矩形
D.以上都不对 6、下列命题正确的是
A.对所有的正实数t,t 为正且t <t
B.存在实数0x ,使04300=--x x
C.不存在实数x ，使x<4且02452=-+x x
D.存在实数0x ，使得110≤+x 且42
0>x
二、填空题
7、将下列命题用含有“"∀或“∃”和符号语言表示
（1）任意一个整数都是有理数， （2）实数的绝对值不小于0,
（3）存在一个实数0x ，使,013
=+x 8、 写出命题：“对任意实数m,关于x 的方程
02
=++m x x 有实根”的否定为：
三、解答题
9、写出下列命题的否定，并判断其真假
（1）q:存在一个实数0x ，使得01020≤++x x
（2）r:等圆的面积相等，周长相等； （3）s:对任意角α，都有1cos sin 2
2=+αα
10、给出两个命题： 命题甲：关于
x 的不等式
0)1(2
2
≤+-+a
x a x 的解集为∅，
命题乙：函数x
a a y )2(2
-=为增函数。

分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围。

（1）甲、乙至少有一个是真命题； （2）甲、乙中有且只有一个是真命题。