黑龙江省虎林市2017届高三摸底考试最后冲刺数学理试题

2017届黑龙江省虎林市高三全市联合模拟考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知i 是虚数单位，复数z 满足()11z i i -=+，则z 的共轭复数是 A. 1 B. -1 C. i D.i -
2.集合{}113M x x =<+≤，{}
2230N x x x =-->，则()()R R C M C N 等于（ ）
A.[]
(]1,02,3-
B.()()1,02,3-
C.(][)1,02,3-
D.()1,3-
3.若221x
y
+=，则x y +的取值范围是
A. []0,2
B. []2,0-
C. [)2,-+∞
D.(],2-∞-
4.一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{}n a ，若38a =，且1a ，3a ，7a 成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（ ）
A.13，12
B.13，13
C.12，13
D.13，14
5.如图所示，这是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A.28π+
B.88π+
C.48π+
D.68π+
6.函数()21,1
3,1
x x x f x x +<⎧=⎨≥⎩，则满足()()()3f m f f m =的实数m 的取值范围是（ ）
A.(]
1,02⎧⎫-∞-⎨⎬⎩⎭
B.[]0,1
C.[)
10,2⎧⎫+∞-⎨⎬⎩⎭
D.[)1,+∞
7.某公司将5名员工分配至3个不同的部门，每个部门至少分配一名员工，其中甲、乙两名员工必须分配在同一个部门的不同分配方法数为（ ） A.24
B.30
C.36
D.42
8.执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2.5，则输出的P 值为（ ）
A.6
B.7
C.8
D.9
9.设实数x ，y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪
+->⎨⎪≥≥⎩
，若x ，y 为整数，则34x y +的最小值为（ ）
A.14
B.16
C.17
D.19
10.已知三角形ABC △的三边长构成公差为2
个三角形的周长为（ ） A.15
B.18
C.21
D.24
11.以O 为中心，1F ，2F 为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足1222MF MO MF =
=，则该椭圆的离心率为（ ）
12.设函数()22,0
log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，
且1234x x x x <<<，则()3122
34
1
x x x x x ++的取值范围是（ ） A.()3,-+∞
B.(),3-∞
C.[)3,3-
D.(]3,3-
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量()()1,2,4,3a b ==，且()
a ta
b ⊥+，则实数t = . 14.若直线10x ay +-=与2430x y -+=垂直，则二项式5
21ax x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中x 的系数
为 ．
15.. 2017年1月27日，哈尔滨地铁3号线一期开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街。

每人只能去一个地方，哈西站一定要有人去，则不同的游览方案为 .
16.若数列{}n a ()
2*3n n n N +∈…，则
12
231
n a a a n +++=+… ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知函数()sin 2cos 26f x x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭.
（1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知()f A =2a =，3
B π
=， 求ABC △的面积.
18.在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，AB =12AA =，D 为1AA 的中点，
BD 与1AB 交于点O ，CO ⊥侧面11ABB A .
（1）证明： 1CD AB ⊥；
（2）若OC OA =，求直线1C D 与平面ABC 所成角的正弦值.
19.对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这
M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图
如下：
（1）求出表中M 、p 及图中a 的值； （2）试估计他们参加社区服务的平均次数；
（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至少1人参加社区服务次数在区间[)20,25内的概率.
20.定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的，如图，椭圆1C 与椭圆2
C 是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点，椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的长轴长是4，
椭圆()22
222:10y x C m n m n
+=>>，短轴长是1，点1F ，2F 分别是椭圆1C 的左焦点与右焦点.
（1）求椭圆1C ，2C 的方程；
（2）过1F 的直线交椭圆2C 于点M ，N ，求2F MN △面积的最大值. 21.已知函数()2ln 21f x x x ax =+-+（a 为常数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若对任意的(a ∈，都存在(]00,1x ∈使得不等式()()
20ln f x a m a a +>-成立，求实数m 的取值范围.
22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为sin x y α
α
⎧=⎪⎨
=⎪⎩（α为参数）.
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴
正半轴为极轴）中，点P 的极坐标34π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，判断点P 与直线l 的位置关系；
（2）设点Q 为曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值. 23.已知函数()1f x x x a =-++，()1
32
g x x =
+. （1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；
（2）若1a >-，且当[],1x a ∈-时，不等式()()f x g x ≤有解，求实数a 的取值范围.
2017届黑龙江省虎林市高三全市联合模拟考试
数学（理）试题答案
一、选择题
1-5:BADBB 6-10:CCBBA 11、12：CD
二、填空题
13.-2 14.7 15.8 16.226n n +
三、解答题
17.解：（1）()sin 2cos 2sin 2cos cos 2sin cos 2666f x x x x x x πππ⎛
⎫=++-++ ⎪⎝
⎭
312cos2sin 222x x x x ⎫=
+⎪⎪⎭
23x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
令522223212312
k x k k x k πππ
πππ
ππππ-
+≤+
≤
+⇒-
+≤+≤+，k Z ∈.
()f x 的单调递增区间为：5,1212k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈. （2）由(
)f A =
，1sin 232A π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，又203A π<<，52333A πππ<+<， 因此523
6
A π
π+
=
，解得：4A π=.
由正弦定理sin sin a B
A B
=
，得b =， 又由4
A π
=
，3
B π
=
可得：sin C =
.
故1sin 2ABC S ab C =
=△18.证明：（1）由题意可知，在Rt ABD △
中，tan AD ABD AB ∠=
=， 在1Rt ABB △
中，11tan AB AB B BB ∠==， 又因为0ABD <∠，12
AB B π
∠<
，所以1ABD AB B ∠=∠，
所以1112
ABD BAB AB B BAB π
∠+∠=∠+∠=
，
所以1AB BD ⊥，
又CO ⊥侧面11ABB A ，且1AB ⊂侧面11ABB A ，∴1AB CO ⊥， 又BD 与CO 交于点O ，所以1AB ⊥平面CBD ， 又因为BC ⊂平面CBD ，所以1BC AB ⊥.
解：（2）如图所示，以O 为原点，分别以OD ，1OB ，OC 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
则0,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，00B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，
，C ⎛ ⎝⎭
，1B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，D ⎫⎪⎪⎝⎭.
又因为12CC AD =
，所以1C ⎝⎭
，
所以AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，AC ⎛= ⎝⎭
，13DC ⎛= ⎝⎭
， 设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =，
则由00AB n
AC n ⎧⋅=
⎪⎨⋅=⎪
⎩
，得00y y
⎧+=⎪⎪
=，
令y
z =，1x =，(1,2,n =是平面ABC 的一个法向量. 设直线1C D 与平面ABC 所成的角为α， 则11355sin DC n DC n
α⋅=
=
故直线1C D 与平面ABC
19.解：（1）由题可知
100.25M =,25n M =，n p M =，2
0.05M
=.
又10252m M +++=，
解得40M =，0.625n =，3m =. 0.075p =.
则[)15,20组的频率与组距之比a 为0.125. （2）参加社区服务的平均次数为：
101513525453552137
17242402402408
+⨯+⨯+⨯+⨯=≈次. （3）在样本中，处于[)20,25内的人数为3，可分别记为A ，B ，C ， 处于[)25,30内的人数为2，可分别记为a ，b ， 从该5名学生中取出2人的取法有：
(),A a ，(),A b ，(),B a ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，(),A B ，(),A C ，(),B C ，(),a b 共10种.
至少1人在[)20,25内的情况共有9种，
∴至少1人参加社区服务次数在区间[)20,25内的概率为
9
10
. 20.解：（1）设椭圆1C 的半焦距为c ，椭圆2C 的半焦距为'c ，由已知2a =，b m =，12
n =， ∵椭圆1C 与椭圆2C 的离心率相等，即
'
c c a m
=，
∴
b n
a m
=，即21bm b an ===，∴1b m ==， ∴椭圆1C 的方程为22
14
x y +=，椭圆2C 的方程是22114
x y +=； （2）显然直线的斜率不为0
，故可设直线的方程为x my =
联立：2241
x my y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
(2
2410y my +--=，即(
)
2214110m y +-+=，
∴()
222192441416440m m m ∆=-+=->，设()11,M x y ，()22,N x y ，
则12y y +=122
1114y y m
=+
，∴MN =， 2F MN △的高即为点2F 到直线l
：0x my -
的距离h =
=
，
∴2F MN △
的面积12S MN h ===，
≥
，即
m =时，
∴12S ≤
=
，即2F MN △的面积的最大值为12
. 21.解：函数()2ln 21f x x x ax =+-+（a 为常数）
（1）()21221
'22x ax f x x a x x -+=+-=，0x >，
①当0a ≤时，()'0f x >成立，
若()'0f x ≥，则22210x ax -+≥，248a ∆=-，
当a ≤≤()'0f x ≥恒成立，
所以当a ≤()f x 在()0,+∞上单调递增.
②当a
∵2
22100x ax -+≥
，x >
0x <<
2
22100x ax -+<
x <<，
∴()f x
在⎛ ⎝⎭
，⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
上单调递增，
在⎝⎭
单调递减. （2
）∵(a ∈，
1
220x a x
+->， ∴()'0f x >，()f x 在(]0,1单调递增，
()()max 122f x f a ==-，
存在(]00,1x ∈使得不等式()()
20ln f x a m a a +>-成立，
即()
222ln a a m a a -+>-，
∵任意的(a ∈， ∴20a a -<， 即2
2ln a
m a a a >
+
-恒成立， 令()2
2ln a
g a a a a
=+-， ∵2
22ln a a
m a a -+>
-恒成立，最后化简为
()()()()
()()
()
22
2
2221ln 23121ln 1'a a a a a a a g a a a a a ---+--+=
=
--，
∵任意的(a ∈，
()()
()
2
221ln 10a a a a a --+>-，
∴()2
2ln a
g a a a a
=
+-
，(a ∈是增函数， ∴(
)
(
22g x g
<=
，
∴实数m
的取值范围是(
22
m ≥
.
22.解：（1
）把极坐标系下的点34P π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭化为直角坐标，得()2,2P -.
因为点P 的直角坐标()2,2-满足直线l 的方程40x y -+=， 所以点P 在直线l .
（2）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q
的坐标为)
,sin αα，
从而点Q 到直线l
的距离为
2cos 46d παπα⎛
⎫++ ⎪⎛⎫==++ ⎪⎝
⎭
由此得，当cos 16πα⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭时，d
23.解：（1）当2a =-时，
()32,1121,1223,2x x f x x x x x x -<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩
，
∴()()f x g x <等价于113232x x x <⎧⎪⎨-<+⎪⎩或121132
x x ≤≤⎧⎪⎨<+⎪⎩或212332x x x >⎧⎪⎨-<+⎪⎩， 解得01x <<或12x ≤≤或24x <<，即04x <<. ∴不等式()()f x g x <的解集为{}04x x <<.
（2）∵[],1x a ∈-，∴()11f x x x a a =-++=+，
不等式()()max max
1132f x a g x x ⎛⎫=+≤=+ ⎪⎝⎭， ∴512a -<<，∴实数a 的取值范围是51,2⎛⎤- ⎥⎝
⎦.。