沽源县三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

沽源县三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知a ＞b ＞0，那么下列不等式成立的是（ ）
A ．﹣a ＞﹣b
B ．a+c ＜b+c
C ．（﹣a ）2＞（﹣b ）2
D ．
2． 函数f （x ）=sin ωx+acos ωx （a ＞0，ω＞0）在x=处取最小值﹣2，则ω的一个可能取值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．7
D ．9
3． 命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2＞bc 2则a ＞b ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4． 记集合{}
2
2
(,)1A x y x y =+?和集合{}(,)1,0,0B x y x y x y =+３
?表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，
若在区域Ω1内任取一点M （x ，y ），则点M 落在区域Ω2内的概率为（ ） A ．
12p B ．1p C ．2
p
D ．13p
【命题意图】本题考查线性规划、古典概型等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力． 5． 已知复数z 满足z •i=2﹣i ，i 为虚数单位，则z=（ ） A ．﹣1﹣2i B ．﹣1+2i
C ．1﹣2i
D ．1+2i
6． 已知函数f （x ）=sin 2（ωx ）﹣（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（ ）
A ．π
B ．
C ．
D ．
7． 函数
是（ ）
A ．最小正周期为2π的奇函数
B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
8． 抛物线x=﹣4y 2的准线方程为（ ）
A ．y=1
B ．y=
C ．x=1
D ．x=
9． 设P 是椭圆+
=1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于（ ）
A ．22
B ．21
C ．20
D ．13
10．阅读右图所示的程序框图，若8,10m n ==，则输出的S 的值等于（ ） A ．28 B ．36 C ．45 D ．120 11．
某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（ ） A ．80＋20π B ．40＋20π C ．60＋10π D ．80＋10π
12．如图，已知双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上一点，
直线PF 2交y 轴于点A ，△AF 1P 的内切圆切边PF 1于点Q ，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．y=±x
B ．y=±3x
C ．y=±x
D ．y=±x
二、填空题
13()23k x =-+有两个不等实根，则的取值范围是 ．
14．已知tan β=，tan （α﹣β）=，其中α，β均为锐角，则α= ．
15．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差是2，另一组数据1ax ，2ax ，3ax ，4ax ，5ax （0a >）
的标准差是a = ．
16．台风“海马”以25km/h的速度向正北方向移动，观测站位于海上的A点，早上9点观测，台风中心位于其东南方向的B点；早上10点观测，台风中心位于其南偏东75°方向上的C点，这时观测站与台风中心的距离AC等于km．
17．已知x是400和1600的等差中项，则x=．
18．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为．
三、解答题
19．已知m≥0，函数f（x）=2|x﹣1|﹣|2x+m|的最大值为3．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若实数a，b，c满足a﹣2b+c=m，求a2+b2+c2的最小值．
20．已知一个几何体的三视图如图所示．
（Ⅰ）求此几何体的表面积；
（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．
21．已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．
22．已知复数z的共轭复数是，且复数z满足：|z﹣1|=1，z≠0，且z在复平面上对应的点在直线y=x上．求z及z的值．
23．已知函数f （x ）=2cos 2ωx+2sin ωxcos ωx ﹣1，且f （x ）的周期为2．
（Ⅰ）当时，求f （x ）的最值；
（Ⅱ）若，求
的值．
24．（本小题满分12分） 已知函数21
()x f x x +=
，数列{}n a 满足：12a =，11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭
（N n *∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
【命题意图】本题主要考查等差数列的概念，通项公式的求法，裂项求和公式，以及运算求解能力.
沽源县三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）2＞（﹣b）2，
故选C．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．
2．【答案】C
【解析】解：∵函数f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）在
x=处取最小值﹣2，
∴
sin
+acos=
﹣=﹣2，∴
a=，∴f（x）=sinω
x+cosωx=2sin（ω
x+）．
再根据f
（）=2sin （
+）=﹣2
，可得
+=2kπ
+，k∈Z，∴ω=12k+7，∴k=0时，ω=7，
则ω的可能值为7，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
3．【答案】C
【解析】解：命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b”为真命题；
故其逆否命题也为真命题；
其逆命题为“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”在c=0时不成立，故为假命题
故其否命题也为假命题
故原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2个
故选C
【点评】本题考查的知识点是四种命题的真假判断，不等式的基本性质，其中熟练掌握互为逆否的两个命题真假性相同，是解答的关键．
4．【答案】A
【解析】画出可行域，如图所示，Ω1表示以原点为圆心，1为半径的圆及其内部，Ω2表示OAB
D及其内部，
由几何概型得点M落在区域Ω2内的概率为
1
1
2
P==
p2p
，故选A.
5． 【答案】A
【解析】解：由z •i=2﹣i 得，，
故选A
6．
【答案】D
【解析】
解：由函数f （x ）=sin 2
（
ωx ）﹣=﹣cos2ωx （ω＞0
）的周期为
=π，可得ω=1，
故f （x ）=﹣
cos2x ．
若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（
a ＞0），可得y=﹣cos2（x ﹣a
）=﹣
cos
（2x ﹣2a ）的图象； 再根据所得图象关于原点对称，可得2a=k π+
，a=
+
，k ∈Z ．
则实数a 的最小值为．
故选：D
【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、
余弦函数的奇偶性，属于基础题．
7
． 【答案】B
【解析】
解：因为
=
=cos （2x+
）=﹣sin2x ．
所以函数的周期为：
=π．
因为f （﹣x ）=﹣sin （﹣2x ）=sin2x=﹣f （x ），所以函数是奇函数．
故选B ．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数的基本性质，考查计算能力．
8． 【答案】D
【解析】解：抛物线x=﹣4y 2
即为
y 2=﹣x ，
可得准线方程为x=．
故选：D ．
9． 【答案】A
【解析】解：∵P 是椭圆
+
=1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，|PF 1|等于4，
∴|PF 2|=2×13﹣|PF 1|=26﹣4=22．
故选：A ．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆定义的应用．
10．【答案】C
【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．12
1123
m
n n n n n m S C m
---+=
⋅⋅⋅⋅
=，当8,10m n ==时，82101045m n C C C ===，选C ．
11．【答案】
【解析】解析：选D.该几何体是在一个长方体的上面放置了半个圆柱．
依题意得（2r ×2r ＋1
2πr 2）×2＋5×2r ×2＋5×2r ＋πr ×5＝92＋14π，
即（8＋π）r 2＋（30＋5π）r －（92＋14π）＝0， 即（r －2）[（8＋π）r ＋46＋7π]＝0， ∴r ＝2，
∴该几何体的体积为（4×4＋1
2π×22）×5＝80＋10π.
12．【答案】D
【解析】解：设内切圆与AP 切于点M ，与AF 1切于点N ， |PF 1|=m ，|QF 1|=n ，
由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，即有m ﹣（n ﹣1）=2a ，① 由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF 1|=|QF 1|=n ，|MP|=|PQ|=1，
|MF 2|=|NF 1|=n ， 即有m ﹣1=n ，② 由①②解得a=1， 由|F 1F 2|=4，则c=2，
b=
=，
由双曲线
﹣
=1的渐近线方程为y=
±x ，
即有渐近线方程为
y=x ．
故选D ．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查切线的性质，运用对称性和双曲线的定义是解题的关键．
二、填空题
13．【答案】53,124⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】
试题分析：
作出函数y =
()23y k x =-+的图象，
如图所示，
函数y =的图象是一个半圆，直线()23y k x =-+的图象恒过定点()2,3，结合图象，可知，当过点()2,0-时，303
224
k -=
=+，当直线()23y k x =-+
2=，解得512k =，所以实数的取值范围是53,124⎛⎤
⎥⎝⎦
.111]
考点：直线与圆的位置关系的应用．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键.
14．【答案】 ．
【解析】解：∵tan β=，α，β均为锐角，
∴tan （α﹣β）==
=，解得：tan α=1，
∴α=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了两角差的正切公式，掌握公式是关键，属于基础题．
15．【答案】2 【解析】
试题分析：第一组数据平均数为2)()()()()(,2524232221=-+-+-+-+-∴x x x x x x x x x x x ，
22222212345()()()()()8,4,2ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax a a -+-+-+-+-=∴=∴=．
考点：方差；标准差．
16．【答案】 25
【解析】解：由题意，∠ABC=135°，∠A=75°﹣45°=30°，BC=25km ， 由正弦定理可得AC==25
km ，
故答案为：25
．
【点评】本题考查三角形的实际应用，转化思想的应用，利用正弦定理解答本题是关键．
17．【答案】 1000 ．
【解析】解：∵x 是400和1600的等差中项，
∴x=
=1000．
故答案为：1000．
18．【答案】．
【解析】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角
设边长为1，则B
E=B1F=，EF=
1
∴cos∠EB1F=，
故答案为
【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）=2|x﹣1|﹣|2x+m|=|2x﹣2|﹣|2x+m|≤|（2x﹣2）﹣（2x+m）|=|m+2|
∵m≥0，∴f（x）≤|m+2|=m+2，当x=1时取等号，
∴f（x）max=m+2，又f（x）的最大值为3，∴m+2=3，即m=1．
（Ⅱ）根据柯西不等式得：（a2+b2+c2）[12+（﹣2）2+12]≥（a﹣2b+c）2，
∵a﹣2b+c=m=1，∴，
当，即时取等号，∴a2+b2+c2的最小值为．
【点评】本题考查绝对值不等式、柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2、4，
其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S圆锥侧=×2π×2×2=4π；
S圆柱侧=2π×2×4=16π；
S圆柱底=π×22=4π．
∴几何体的表面积S=20π+4π；
（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图：
则AB===2，
∴以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2．
21．【答案】
【解析】解：（1）由a n+1=，可得a2==，
a3===，
a4===．
（2）猜测a n=（n∈N*）．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=a1=a，
右边==a，猜测成立．
②假设当n=k（k∈N*）时猜测成立，
即a k=．
则当n=k+1时，a k+1==
==
．
故当n=k+1时，猜测也成立．
由①，②可知，对任意n∈N*都有a n=成立．
22．【答案】
【解析】解：∵z在复平面上对应的点在直线y=x上且z≠0，
∴设z=a+ai，（a≠0），
∵|z﹣1|=1，
∴|a﹣1+ai|=1，
即=1，
则2a2﹣2a+1=1，
即a2﹣a=0，解得a=0（舍）或a=1，
即z=1+i，=1﹣i，
则z=（1+i）（1﹣i）=2．
【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义利用待定系数法是解决本题的关键．23．【答案】
【解析】（本题满分为13分）
解：（Ⅰ）∵=，…
∵T=2，∴，…
∴，…
∵，
∴，
∴，…
∴，…
当时，f（x）有最小值，当时，f（x）有最大值2．…
（Ⅱ）由，
所以，
所以，…
而，…
所以，…
即
．…
24．【答案】
【解析】（1）∵211()2x f x x x +=
=+，∴11
()2n n n
a f a a +==+. 即12n n a a +-=，所以数列{}n a 是以首项为2，公差为2的等差数列， ∴1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=. （5分） （2）∵数列{}n a 是等差数列，
∴1()(22)(1)22
n n a a n n n
S n n ++===+， ∴1111(1)1
n S n n n n ==-
++. （8分） ∴1231111n n T S S S S =++++
11111111()()()()1223341
n n =-+-+-++-+ 111n =-+1
n n =+. （12分）。