大学物理：Chapter 5-4 能量按自由度分配的统计规律

平均动能：平均----统计的结果
3)由能均分原理可得平衡态下每个分子的平均总动能
K
t
r
s
kT t r s
2
4)关于振动自由度(分子中原子之间距离的变化）
每个振动自由度还具有kT/2的平均势能
5)一个分子的总平均能量
➢T低于几千K 振动自由度冻结 刚性
K
P
kT t r 2s
2
➢T低于几十K
验证麦克斯韦速率分布的实验装置及数据
例 就质量而言，空气是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar 三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩
尔质量为28.910-3kg，试计算1mol空气在标准状态下的内能。
解： 在空气中
N2质量 M 1 28.9 103 76% 22.1 103 kg
定义:速率在v附近单位速率区间内的分子数占总分子数 的百分比称为速率分布函数， 用f (v)表示.
f (v ) dN Ndv
dN/N表示单个分子速率取值在v～v＋dv 区间内的概率；
f(v)表示单个分子速率取值在速率v 附近单位速率间隔内的概率.
5.5.2 麦克斯韦速率分布律 1. 麦克斯韦速率分布函数
(2)分布函数存在一个极大值，与极大值对应的速率称为最 概然速率. 由求极值的条件 df (v ) 0 dv
可求得 vp
2kT 1.41 RT
m
M mol
(最概然速率)
(3)曲线直观地反映出温度和分子质量对速率分布的影响. 温度降低时, vp减小，曲线变得较为凸起; 分子质量减小时, vp增大，曲线变得较为平坦.
10.34%
0.0%
18.79
例如气体分子按速率的分布 ｛ΔNi ｝就是分子数按速率的分布
速率
v1 ～ v2 v2 ～ v3
…
vi ～ vi +Δv
…
分子数按
速率的分布
ΔN1
ΔN2
…
ΔNi
…
分子数比率按
速率的分布
ΔN1/N
ΔN2/N
…
ΔNi/N
…
5.5.1 速率分布函数 设一定量气体(总分子数为N)在给定的温度下处于平衡态， 把速率分成许多相等的区间，若速率分布在某一速率区间 v～v＋dv内的分子数为dN，则dN/N表示分布在这一速率 区间内的分子数占总分子数的百分比.
？？
1 2
mv
2 x
1 2
mv
2 y
1 2
mv
2 z
1 kT 2
每个平动自由度的平均平动动能为 kT 2
在温度为T 的平衡态下，物质(气体、液体和固体)分子的 每一个自由度都具有相同的平均动能，其值为
Ek
1 2
kT
这一结论称为能量按自由度均分定理，简称能量均分定理
➢ 说明
(1) 分子的平均总动能与自由度数有关，即 Ek i
1859年麦克斯韦从理论上导出平衡状态下理想气体分子的速率分布函数
f
(v
)
4π
m 2πkT
3 2
mv 2
e 2kT v
2（没考虑重力作用）
➢ 说明
(1)该函数给出的是一种统计平均结果.某一时刻某个分子的
速率有大有小，是偶然的.但对大量分子的总体而言，在
平衡态下，分子速率遵从麦克斯韦速率分布律.
(2) f (v)的物理意义是：速率v 附近单位速率区间内的分子数 占总分子数的百分比，且满足归一化条件.
y
O2y
x
(a)
(a) (b)
z
xy O y H O
x y x He O2 (a) (b)
O OHz
z O
xH
y 2O
H y
x
O2
y
x
H2O
(c) (b) (c)
z Hyx
OHy x
OO O z z
H
x
yx
yxH2O x y y
(c)
z yx
y
气体分子(a的) 自(a)由(a度)
(b) (b) (b)
(2) 理想气体的内能与气体分子的自由度数有关,与气体的摩 尔数有关.
(3) 气体的温度发生变化ΔT 时，气体的内能的改变量为 ΔE m i RΔT M mol 2
内能变化与过程无关，内能是气体宏观状态的单值函数， 简称为态函数.
例.下列各式的物理意义分别为:
(1) 1 kT
2
理想气体分子每一自由度的平均能量
§5.5 气体分子按速率分布的统计规律
主要内容：
1. 速率分布函数 2. 麦克斯韦速率分布律 3. 与分子速率有关的物理量的统计平均值 4. 麦克斯韦速率分布的实验验证
·问题的提出 气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过碰撞
不断地改变， 不可能逐个加以描述, 只能给出分子数按
速率的分布。
M mol
与分子速率 v 有关的任意力学量 g(v) 的统计平均值
g (v ) 0 g(v ) f (v )dv
例如： 1 mv 2 1 mv 2 f (v )dv
2
02
3.方均根速率
v 2
v
2
f
(v
)dv
3kT
0
m
v 2 3kT 1.73 RT
m
M mol
在相同条件(T、m 或Mmol相同)下: v p v v 2
vp 1.41
RT 1.41 M mol
8.31 300 393.55m / s 0.032
v 1.60 RT 1.60 8.31 300 446.59m / s
M mol
0.032
v2 1.73 RT 1.73 8.31 300 482.87m / s
M mol
0.032
可见在相同温度下: v 2＞v ＞v p
一般地，其平均值可 g(v) 0
以表示为
0 f (v)dv
解题思路
利用麦克斯韦速率分布律处理实际问题是本章的难点与重点，
正确理解和掌握速率分布函数与麦克斯韦分布律的物理意义
是关键.例如
f (v )dv dN N
表示平衡态下，处在速率间隔v～v＋dv 内的分子数占总分
子数的比率
Nf (v )dv dN
v1
速率在v1→v2内的分子数 dN f (v )dv N
讨 速率介于v1~v2之间的气体分子的平均速率的计算
论
v v1~v2
v2 vf (v)dv
v1
v2 f (v)dv
v1
v v1 ~v2
v2 vf (v)dv
v1
v
0 vf
(v )dv
vdN N
对于v的某个函数g(v)，
g(v) f (v)dv
·分布的概念 例如 某班大学物理期末考试成绩按分数段的分布情况
教学班代号：某班
人数：29
成绩等级
考
试 人数
成 绩
所占比例
平均值
90－100
（优秀） 13人
80－89
（良好） 10人
44.82%
34.48%
85.76
70－79
（中等） 3人
10.34%
标准差
60－69
（及格） 3人
＜60
（不及格） 0人
(2) 3 kT
2
理想气体分子的平均平动动能
(3) i kT
2
(4) i RT
2
自由度为i 的理想气体分子的平均动能 1mol理想气体的内能
(5) m i RT
M mol 2
m/M mol理想气体的内能
(6)
m M mol
i 2
R(T2
T1 )
m/M mol理想气体温度由T1变化到T2的 内能增量
0.007
1mol空气在标准状态下的内能
E
i1 2
n1 RT
i2 2
n2 RT
i3 2
n3 RT
1 2 ( i1n1 i2n2 i3n3 )RT
1 (5 0.789 5 0.208 3 0.007)8.31 273 2
5.68103 J
i tr 3
z
C(x, y,z)
y x 双原子分子
平动自由度t=3 转动自由度r=2
i tr 5
z
三原子分子
Байду номын сангаас
C(x, y,z)
y
平动自由度t=3 转动自由度r=3
i tr 6
x
常温下，分子的振动自由度可以不予考虑
z zz
z zz C CC
z zz
C
CC
zz
Hex
O
yx
OO
xHyex
N
v1
速率分布曲线下的总面积
o dv v p v1 v2 v
f (v )dv 1
(速率分布函数的归一化条件)
0
3. 麦克斯韦速率分布曲线的特征 (1)当v→0 和v→∞时， f(v)→0
f (v )
速率很大和很小的分子数占总
分子数的比率都很小，具有中
等速率的分子数占总分子数的
比率却很大.
o
vp
v
f (v)
T1 (T1<T2<T3) T2 T3
O
f (v)
m1
(m1>m2)
m2
vo
v
5.5.3 与分子速率有关的物理量的统计平均值
1. 最概然速率
vp
2kT 1.41 RT
m
M mol
2.平均速率
vNf (v )dv
v 0
vf (v )dv v
8RT 1.60
RT
N
0
M mol
表示平衡态下，处在速率间隔v～v＋dv 内的分子数
v2 Nf (v )dv v2 dN
v1
v1
表示平衡态下，处在速率间隔v1～v2内的分子数.
典型的问题有以下几类：
1. 根据麦克斯韦分布律求在某速率区间内的分子数.速率区 间很小时，可用
N
N
4π
m 2πkT
3
2
v
2
e
mv 2 2 kT
v
(c) (c) (c)
分子种类
平动自由度 t
单原子分子
3
刚性双原子分子
3
刚性三原子以上分子
3
转动自由度 r 0 2 3
总自由度 i＝t＋r 3 5 6
T1 kT 2
5.4.2 能量按自由度均分定理
一个分子的平均平动动能为
Ek
1 mv 2 2
3 kT 2
由于沿x, y, z三个方向运动的概率均等，有
转动自由度冻结 只有平动
6)刚性分子的平均能量只包括平均动能
K
1 kT t r i kT
2
2
5.4.3 理想气体的内能
气体的内能：包括气体中所有分子的热运动动能、分子内原子间 振动势能、分子间相互作用势能的总和.
理想气体的内能：气体内所有分子的动能和分子内原子间 振动势能的总和.
1mol刚性分子组成的理想气体的内能为
f (v)(10-3s/m)
2.0
v
1.0
vp
v2
0.0 0 200 400 600 800 1 000 1 200 v(m/s)
一般三种速率用途各不相同：讨论速率分布一般用v p 讨论分子的碰撞次数用 v
讨论分子的平均平动动能用 v 2
例.试计算27℃下的氧气分子的三种速率.
解: Mmol=0.032kg/mol，T=273+27=300K
(3)分布函数与物质的种类—分子质量、温度有关.
(4)分布函数仅适用于由大量分子构成并处于平衡状态的理想 气体系统.
2. 麦克斯韦速率分布曲线
函数曲线形象地反映了平衡态下理想气体分子按速率的分布情况.
曲线下的窄条面积元 dN f (v )dv N
在v1~v2区间的曲线下面积
f (v )
N v2 f (v )dv
摩尔数
n1
M1 M mol 1
22.1 28
0.789
O2质量 M 2 28.9 103 23% 6.65 103 kg
摩尔数
n2
M2 M mol 2
6.65 32
0.208
Ar质量 M 3 28.9 103 1% 0.289 103 kg
摩尔数
n3
M3 M mol 3
0.289 40
Emol
NA Ek
i 2
(
N
A
k
)T
i 2
RT
质量为m、摩尔质量为Mmol的理想气体的内能为
E m i RT M mol 2
应当指出，刚性分子模型只有在温度不太高（与室温相比）时与实际 气体较符合。温度较高时，必须考虑分子的振动自由度。
➢ 说明 (1) 对于一定质量为m的某种理想气体, 内能与温度成正比且 仅是温度的单值函数.
注意
气体分子的平均速率的数量级大概是102.
例.下列各式的物理意义分别为:
(1) f (v)dv 速率在v-v+dv内的分子数占总分子数的百分比
(2) Nf (v)dv 速率在v-v+dv内的分子数
v2
(3) f (v)dv 速率在v1→v2内的分子数占总分子数的百分比
v1
v2
(4) Nf (v)dv
(2) 单原子分子、刚性双原子分子、刚性多原子分子的平均 总动能分别为 3 kT , 5. kT , 6 kT
222
(3) 能量按自由度均分定理是大量分子无规则热运动的能量 所遵从的统计规律.
1)能量分配 没有占优势的自由度
注
2)注意相关“词”的物理含义
意
物质： 对象无限制 --- 普遍性的一面
平衡态： 对状态的限制
2. 已知速率分布函数，求与速率有关的任意物理量的统计
平均值
g(v) f (v)dv
g(v) 0
（注意区间）
0 f (v)dv
5.5.4 麦克斯韦速率分布的实验验证 麦克斯韦速率分布律1859年由麦克斯韦应用统计概念从
理论上导出，由于技术条件的限制，直到20世纪初才获得实 验验证.1920年，斯特恩（Stern O. 1888 ~ 1969）第一次用 实验证实了麦克斯韦速率分布的正确性.
§5.4 能量按自由度分配的统计规律
主要内容：
1. 分子的自由度 2. 能量按自由度均分定理 3. 理想气体的内能
5.4.1 分子的自由度
自由度：确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标 数目。
He
O2
H 2O
NH3
以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例
z
C(x, y,z)
y x
单原子分子
平动自由度t=3