坐标系与参数方程及答案

极坐标方程、参数方程
1.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C 的直角坐标方程为
2.在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 1的极坐
标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C 2的参数方程为 x =t 2,y =2 2t
(t 为参数),则C 1与C 2交点的直角坐标为.
3.在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x=-2,圆C 2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C 1,C 2的极坐标方程;
(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C 2与C 3的交点为M,N,求△C 2MN 的面积.
4. 在直角坐标系xOy 中,曲线C 1: x =t cos α,y =t sin α(t 为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半
轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2 3cos θ.
(1)求C 2与C 3交点的直角坐标;
(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B,求|AB|的最大值.
5. 在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为 x =3+12t ,
y = 32t (t 为参数).以原点为极点,x 轴正半轴为
极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2 3sin θ.
(1)写出☉C 的直角坐标方程;
(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.
极坐标方程、参数方程
1.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C 的直角坐标方程为
答案x 2+y 2-2y=0
2.在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 1的极坐
标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C 2的参数方程为 x =t 2,y =2 2t
(t 为参数),则C 1与C 2交点的直角坐标为.
答案(2,-4)
3.在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x=-2,圆C 2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C 1,C 2的极坐标方程;
(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C 2与C 3的交点为M,N,求△C 2MN 的面积.
析(1)因为x=ρcosθ,y=ρsin θ,所以C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C 2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(5分)
(2)将θ=π4代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3 2ρ+4=0,解得ρ1=2 2,ρ2= 2.故ρ1-ρ2= 2,即|MN|= 2.
由于C 2的半径为1,所以△C 2MN 的面积为12.(10分)
4. 在直角坐标系xOy 中,曲线C 1: x =t cos α,y =t sin α(t 为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半
轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2 3cos θ.
(1)求C 2与C 3交点的直角坐标;
(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B,求|AB|的最大值.
解析(1)曲线C
2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C
3
的直角坐标方程为x2+y2-23x=0.
联立x2+y2-2y=0,
x2+y2-23x=0,
解得
x=0,
y=0或
x=3
2
,
y=3
2
.
所以C
2与C
3
交点的直角坐标为(0,0)和3
2
,3
2
.
(2)曲线C
1
的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.
因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(23cos α,α).
所以|AB|=|2sin α-23cos α|=4sin α-π
3
.
当α=5π
6
时,|AB|取得最大值,最大值为4.
5. 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=3+1
2
t,
y=3
2
t
(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为
极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=23sin θ.
(1)写出☉C的直角坐标方程;
(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标. 解析(1)由ρ=23sin θ,得
ρ2=23ρsin θ,
从而有x2+y2=23y,
所以x2+(y-3)2=3.
(2)设P3+1
2t,3
2
t,又C(0,3),
则|PC|=3+1
2t
2
+3
2
t-3
2
= t2+12,
故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,P点的直角坐标为(3,0).。