衡阳市2018-2019学年八年级上期末数学试卷含答案解析

湖南省衡阳市2019-2019学年八年级（上）期末数学试卷(解析
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一、精心选一选，旗开得胜（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分.每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题设要求的，请把你认为符合题目要求的选项填在答题卷上相应题号下的方框内）
1．在实数、﹣3、0、、3.1415、π、、、2.123122312233…（不循环）中，无理数的个数为（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．9的算术平方根是（）
A．3 B．±3 C．﹣3 D．
3．下列运算正确的是（）
A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2b3）3=a5b6D．（a2）3=a6
4．如图所示，在下列条件中，不能判断△ABD≌△BAC的条件是（）
A．∠D=∠C，∠BAD=∠ABC B．∠BAD=∠ABC，∠ABD=∠BAC
C．BD=AC，∠BAD=∠ABC D．AD=BC，BD=AC
5．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（）A．8、15、17 B．7、24、25 C．3、4、5 D．2、3、4
6．若（x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为（）
A．8 B．﹣8 C．0 D．8或﹣8
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）
A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BC
C．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点
8．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB作法的合理顺序是（）
①作射线OC；②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；
③分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①
9．下列命题是真命题的是（）
A．如果|a|=1，那么a=1
B．三个内角分别对应相等的两个三角形全等
C．如果a是有理数，那么a是实数
D．两边一角对应相等的两个三角形全等
10．如图所示的扇形图是对某班学生知道父母生日情况的调查，A表示只知道父亲生日，B表示只知道母亲生日，C表示知道父母两人的生日，D表示都不知道，若该班有40名学生，则只知道母亲生日的人数有（）人．
A．25% B．10 C．22 D．25
二、细心填一填，一锤定音（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分）11．因式分解：m2﹣mn=．
12．如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是（添加一个条件即可）．
13．如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．
14．若x m=3，x n=2，则x m+n=．
15．在Rt△ABC中，∠B=90°，若AB=3，BC=4，则斜边AC上的高BD=．16．已知：y=，则x的取值范围是．
17．一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是．18．已知：x+=3，则x2+=．
三、用心做一做，慧眼识金（本大题共4道小题，每小题6分，满分24分）19．（6分）计算：﹣+2．
20．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣（x+1）（x﹣1），其中x=1．21．（6分）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．
求证：AB=AC．
22．（6分）已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED，求证：AC=CD．
四、综合用一用，马到成功（本大题共2道小题，每小题7分，满分14分）23．（7分）在世界环境日到来之际，希望中学开展了“环境与人类生存”主题研讨活动，活动之一是对我们的生存环境进行社会调查，并对学生的调查报告进行评比．初三•三班将本班50篇学生调查报告得分进行整理（成绩均为整数），列出了频率分布表，并画出了频率分布直方图（部分）如下：
分组频率
49.5～59.50.04
59.5～69.50.04
69.5～79.50.16
79.5～89.50.34
89.5～99.50.42
合计 1.00
根据以上信息回答下列问题：
（1）该班90分以上（含90分）的调查报告共有篇；
（2）该班被评为优秀等级（80分及80分以上）的调查报告占%；
（3）补全频率分布直方图．
24．（7分）如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、
A两点，且知AB=30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？
五、耐心解一解，再接再厉（本大题共1道小题，满分8分）
25．（8分）某学校的操场是一个长方形，长为2x米，宽比长少5米，实施“阳光体育”行动以后，学校为了扩大学生的活动场地，让学生能更好地进行体育活动，将操场的长和宽都增加4米．
（1）求操场原来的面积是多少平方米（用代数式表示）？
（2）若x=20，求操场面积增加后比原来多多少平方米？
六、探究试一试，超越自我（本大题共2道小题，每小题10分，满分20分）26．（10分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．（1）试说明AH=BH
（2）求证：BD=CG．
（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系．
27．（10分）如图所示，在长方形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q沿BC从点B开始向点C 以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6）．
（1）当PB=2厘米时，求点P移动多少秒？
（2）t为何值时，△PBQ为等腰直角三角形？
（3）求四边形PBQD的面积，并探究一个与计算结果有关的结论．
2019-2019学年湖南省衡阳市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选，旗开得胜（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分.每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题设要求的，请把你认为符合题目要求的选项填在答题卷上相应题号下的方框内）
1．在实数、﹣3、0、、3.1415、π、、、2.123122312233…（不循环）中，无理数的个数为（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】无理数．
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．
【解答】解：=﹣1，=12，
所给数据中无理数有：，π，，2.123122312233…（不循环）共4个．
故选C．
【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
2．9的算术平方根是（）
A．3 B．±3 C．﹣3 D．
【考点】算术平方根．
【分析】根据开方运算，可得一个正数的算术平方根．
【解答】解：9的算术平方根是3．
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根．
3．下列运算正确的是（）
A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2b3）3=a5b6D．（a2）3=a6
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、合并同类项进行计算即可．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项不能合并，故本选项错误；
B、应为a2•a3=a5，故本选项错误；
C、应为（a2b3）3=a6b9，故本选项错误；
D、（a2）3=a6，正确；
故选D．
【点评】本题主要考查了幂的乘方法则：底数不变指数相乘；同底数幂的乘法法则：底数不变指数相加；同类项的概念：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，不是同类项的一定不能合并．
4．如图所示，在下列条件中，不能判断△ABD≌△BAC的条件是（）
A．∠D=∠C，∠BAD=∠ABC B．∠BAD=∠ABC，∠ABD=∠BAC
C．BD=AC，∠BAD=∠ABC D．AD=BC，BD=AC
【考点】全等三角形的判定．
【分析】本题已知条件是两个三角形有一公共边，只要再加另外两边对应相等或有两角对应相等即可，如果所加条件是一边和一角对应相等，必须是这边和公共边的夹角对应相等，只有符合以上条件，才能根据三角形全等判定定理得出结论．【解答】解：A、符合AAS，能判断△ABD≌△BAC；
B、符合ASA，能判断△ABD≌△BAC；
C、符合SSA，不能判断△ABD≌△BAC；
D、符合SSS，能判断△ABD≌△BAC．
故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；三角形全等判定定理中，最易出错
的是“边角边”定理，这里强调的是夹角，不是任意一对角．
5．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（）A．8、15、17 B．7、24、25 C．3、4、5 D．2、3、4
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵82+152=172，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
B、∵72+242=252，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵32+42=52，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
6．若（x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为（）
A．8 B．﹣8 C．0 D．8或﹣8
【考点】多项式乘多项式．
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开式子，并合并，不含x的一次项就是含x项的系数等于0，求解即可．
【解答】解：∵（x+m）（x﹣8）=x2﹣8x+mx﹣8m=x2+（m﹣8）x﹣8m，
又结果中不含x的一次项，
∴m﹣8=0，
∴m=8．
故选：A．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则，根据不含某一项就是说这一项的系数等于0得出是解题关键．
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）
A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BC
C．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC与∠C的度数，又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可知BD平分∠ABC；可得△BCD的周长等于AB+BC，又可求得∠BDC的度数，求得AD=BD=BC，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C==72°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°=∠ABD，
∴BD平分∠ABC，故A正确；
∴△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB，故B正确；
∵∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC，故C正确；
∵BD＞CD，
∴AD＞CD，
∴点D不是线段AC的中点，故D错误．
故选D．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．
8．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB作法的合理顺序是（）
①作射线OC；②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；
③分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①
【考点】作图—基本作图．
【分析】找出依据即可依此画出．
【解答】解：角平分线的作法是：在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C；
作射线OC．
故其顺序为②③①．
故选C．
【点评】本题很简单，只要找出其作图依据便可解答．
9．下列命题是真命题的是（）
A．如果|a|=1，那么a=1
B．三个内角分别对应相等的两个三角形全等
C．如果a是有理数，那么a是实数
D．两边一角对应相等的两个三角形全等
【考点】命题与定理．
【分析】根据绝对值的性质，三角形全等的判定方法，对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、如果|a|=1，那么a=1，是假命题，应为：如果|a|=1，那么a=±1，故本选项错误；
B、三个内角分别对应相等的两个三角形全等，是假命题，故本选项错误；
C、如果a是有理数，那么a是实数，是真命题，故本选项正确；
D、两边一角对应相等的两个三角形全等，是假命题，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．如图所示的扇形图是对某班学生知道父母生日情况的调查，A表示只知道父亲生日，B表示只知道母亲生日，C表示知道父母两人的生日，D表示都不知道，若该班有40名学生，则只知道母亲生日的人数有（）人．
A．25% B．10 C．22 D．25
【考点】扇形统计图．
【分析】因为B表示只知道母亲生日，所以只知道母亲生日的人数所占百分比为25%，又因为该班有40名学生，则只知道母亲生日的人数可求．
【解答】解：∵只知道母亲生日的人数所占百分比为25%，
∴只知道母亲生日的人数为40×25%=10（人）．
故选B．
【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系．
二、细心填一填，一锤定音（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分）11．因式分解：m2﹣mn=m（m﹣n）．
【考点】因式分解-提公因式法．
【分析】提取公因式m，即可将此多项式因式分解．
【解答】解：m2﹣mn=m（m﹣n）．
故答案为：m（m﹣n）．
【点评】此题考查了提公因式分解因式的知识．此题比较简单，注意准确找到公因式是解此题的关键．
12．如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是∠B=∠C或AE=AD （添加一个条件即可）．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，则可以添加一个边从而利用SAS来判定其全等，或添加一个角从而利用AAS来判定其全等．
【解答】解：添加∠B=∠C或AE=AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD．故答案为：∠B=∠C或AE=AD．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
13．如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是8米．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【解答】解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
∴折断的部分长为=5，
∴折断前高度为5+3=8（米）．
故答案为8．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
14．若x m=3，x n=2，则x m+n=6．
【考点】同底数幂的乘法．
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可得答案．
【解答】解：x m•x n=x m+n=3×2=6，
故答案为：6．
【点评】本题考察了同底数幂的乘法，注意底数不变，指数相加．
15．在Rt△ABC中，∠B=90°，若AB=3，BC=4，则斜边AC上的高BD= 2.4．【考点】勾股定理．
【分析】根据勾股定理即可求AC的长度，根据面积法即可求BD的长度．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，若AB=3，BC=4，
AC==5，
△ABC的面积S=AB•BC=AC•BD
解得BD==2.4，
故答案为2.4．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中正确的计算AC的长是解题的关键．
16．已知：y=，则x的取值范围是x≥1．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
17．一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是17．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）若3为腰长，7为底边长，
由于3+3＜7，则三角形不存在；
（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为7+7+3=17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
18．已知：x+=3，则x2+=7．
【考点】完全平方公式．
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵x+=3，
∴（x+）2=x2+2+=9，
∴x2+=7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．
三、用心做一做，慧眼识金（本大题共4道小题，每小题6分，满分24分）19．计算：﹣+2．
【考点】实数的运算．
【分析】原式利用算术平方根、立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式=5﹣3+1=3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．先化简，再求值：（x+1）2﹣（x+1）（x﹣1），其中x=1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】先化简题目中的式子，然后将x=1代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（x+1）2﹣（x+1）（x﹣1）
=x2+2x+1﹣x2+1
=2x+2，
当x=1时，原式=2×1+2=4．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．
21．如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．
求证：AB=AC．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定．
【分析】根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠B，两直线平行，内错角相等可得∠2=∠C，从而得到∠B=∠C，然后根据等角对等边即可得证．
【解答】证明：∵AE平分∠DAC，
∴∠1=∠2，
∵AE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
22．已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED，求证：AC=CD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】由全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△CED，则该全等三角形的对应边相等，即AC=CD．
【解答】证明：如图，∵AB∥ED，
∴∠ABC=∠CED．
∵在△ABC与△CED中，，
∴△ABC≌△CED（SAS），
∴AC=CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．此题是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关线段相等的证明
四、综合用一用，马到成功（本大题共2道小题，每小题7分，满分14分）23．在世界环境日到来之际，希望中学开展了“环境与人类生存”主题研讨活动，
活动之一是对我们的生存环境进行社会调查，并对学生的调查报告进行评比．初三•三班将本班50篇学生调查报告得分进行整理（成绩均为整数），列出了频率分布表，并画出了频率分布直方图（部分）如下：
分组频率
49.5～59.50.04
59.5～69.50.04
69.5～79.50.16
79.5～89.50.34
89.5～99.50.42
合计 1.00
根据以上信息回答下列问题：
（1）该班90分以上（含90分）的调查报告共有21篇；
（2）该班被评为优秀等级（80分及80分以上）的调查报告占76%；
（3）补全频率分布直方图．
【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表．
【分析】（1）由频率分布表可知：该班90分以上（含90分）的调查报告的频率=0.42，则由总数=频数÷该组的频率可知：该班90分以上（含90分）的调查报告的频数=总数×该班90分以上（含90分）的调查报告的频数=50×0.42=21；（2）由频率分布表可知：80分及80分以上的调查报告的频率为0.34+0.42=0.76，则该班被评为优秀等级（80分及80分以上）的调查报告占0.76÷1=76%；（3）59.5﹣69.5段的频率为0.04，49.5﹣59.5段的频率也为0.04，则第一组和第二组小长方形的高是相等的；据此可以绘制直方图．
【解答】解：（1）该班90分以上（含90分）的调查报告的频率=0.42，
90分以上（含90分）的调查报告的频数=50×0.42=21；
（2）80分及80分以上的调查报告的频率为0.34+0.42=0.76，则该班被评为优秀等级（80分及80分以上）的调查报告占0.76÷1=76%；
（3）图如右边：
【点评】本题考查频率及频数的计算，记住公式：频率=频数÷总人数是解决本题的关键．同时还考查了动手绘制频率直方图的能力．
24．如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB=30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据题目提供的方位角判定AO⊥BO，然后根据甲轮船的速度和行驶时间求得OB的长，利用勾股定理求得OA的长，除以时间即得到乙轮船的行驶速度．
【解答】解：∵甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行，
∴AO⊥BO，
∵甲轮船以16海里/小时的速度航行了一个半小时，
∴OB=16×1.5=24海里，AB=30海里，
∴在Rt△AOB中，AO===18，
∴乙轮船航行的速度为：18÷1.5=12海里．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是根据题目提供的方位角判定直角三角形．
五、耐心解一解，再接再厉（本大题共1道小题，满分8分）
25．某学校的操场是一个长方形，长为2x米，宽比长少5米，实施“阳光体育”行动以后，学校为了扩大学生的活动场地，让学生能更好地进行体育活动，将操场的长和宽都增加4米．
（1）求操场原来的面积是多少平方米（用代数式表示）？
（2）若x=20，求操场面积增加后比原来多多少平方米？
【考点】列代数式；代数式求值．
【分析】（1）根据等式“操场原来的面积=操场的长×宽”列出代数式即可；（2）根据等式“操场增加的面积=（操场的原来的长+4）×（操场原来的宽+4）﹣操场原来的面积”列出代数式，再把x=20代入即可求出．
【解答】解：（1）根据题意得：操场原来的面积=2x（2x﹣5）；
（2）根据题意：操场增加的面积=（2x+4）（2x﹣5+4）﹣2x（2x﹣5）=16x﹣4；则x=20时，16x﹣4=316．
答：操场面积增加后比原来多316平方米．
【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
六、探究试一试，超越自我（本大题共2道小题，每小题10分，满分20分）26．（10分）（2019秋•衡阳期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H 点，交AE于G．
（1）试说明AH=BH
（2）求证：BD=CG．
（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一证明；
（2）证明△ACG≌△CBD，根据全等三角形的性质证明；
（3）证明△ACE≌△CBF即可．
【解答】证明：（1）∵AC=BC，CH⊥AB，
∴AH=BH；
（2）∵ABC为等腰直角三角形，CH⊥AB，
∴∠ACG=45°，
∵∠CAG+∠ACE=90°，∠BCF+∠ACE=90°，
∴∠CAG=∠BCF，
在△ACG和△CBD中，
，
∴△ACG≌△CBD（ASA），
∴BD=CG；
（3）AE=EF+BF，
理由如下：在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF，
∴AE=CF，CE=BF，
∴AE=CF=CE+EF=BF+EF．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
27．（10分）（2019秋•衡阳期末）如图所示，在长方形ABCD 中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以1厘米/秒的速度移动，点Q 沿BC 从点B 开始向点C 以2厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t ≤6）．
（1）当PB=2厘米时，求点P 移动多少秒？
（2）t 为何值时，△PBQ 为等腰直角三角形？
（3）求四边形PBQD 的面积，并探究一个与计算结果有关的结论．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由AB 、PB 的长可求得AP 的长，则可求得t 的值；
（2）根据等腰直角三角形的性质可求得PB=BQ ，则可得到关于t 的方程，可求得t 的值；
（3）可用t 分别表示出S △APD 、S △QCD ，再利用面积的和差可求得四边形PBQD 的面积，则可求得结论．
【解答】解：
（1）∵PB=2cm ，AB=6cm ，
∴AP=AB ﹣PB=6﹣2=4（秒），
即点P 移动4秒；
（2）∵△PBQ 为等腰直角三角形，
∴PB=BQ ，即6﹣t=2t ，解得t=2
∴当t 的值为2秒时，△PBQ 为等腰直角三角形；
（3）由题意可知AP=t ，AB=6，BQ=2t ，BC=12，
∴PB=6﹣t ，QC=12﹣2t ，CD=6，AD=12，
∴S △APD =AP•AD=t ×12=6t ，S △QCD =QC•CD=（12﹣2t ）6=36﹣6t ，
∴S 四边形PBQD =S 矩形ABCD ﹣S △APD ﹣S △QCD =72﹣6t ﹣（36﹣6t ）=36，
结论：不论P 、Q 怎样运动总有四边形PBQD 的面积等于长方形ABCD 面积的一
半．
【点评】本题为四边形的综合应用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、方程思想及转化思想．用t表示出相应线段的长度，化动为静是解决这类运动型问题的一般思想．本题考查知识点不是太多，难度不大．。