广东省广州市普通高中2017高考高三数学第一次模拟试题精选：圆锥曲线05 Word版含答案

圆锥曲线05
8、 如图，椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>> 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆
于
,A B 两点，2ABF ∆的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形． （1）求椭圆E 的方程；
（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．
试探究：① 以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系？
② 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？
若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）当三角形面积最大时，为正三角形，所以,,=,=A （0b ）a 2c 4a 8
2
2
=4,=3b ∴a ，椭圆E 的方程为22
+=143
x y
（2）①由2214
3y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得方程222
(43)84120k x kmx m +++-=
由直线与椭圆相切得2
2
0,0,430.m k m ≠∆=⇒-+=
求得43(,)k P m m -
，(4,4)Q k m +，PQ 中点到x 轴距离 22
3(2)22m d k m
=++ 2222212()(1)0(4302)2k
PQ d k m m k m
-=->-+=⇒≠。

所以圆与x 轴相交。

（2）②假设平面内存在定点M 满足条件，由对称性知点M 在x 轴上，设点M 坐标为
1(,0)M x ，1143
(,),(4,4)k MP x MQ x k m m m
=--=-+ 。

由0MP MQ ⋅=得2111(44)430k
x x x m
-+-+=
所以2
11144430x x x -=-+=，即11x =
所以定点为(1,0)M 。

9、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,)2-在椭圆C 上，点T
满足2OT OF =
（其中O 为坐标原点）, 过点F 作一斜率为(0)k k >的直线交椭圆
于P 、Q 两点(其中P 点在x 轴上方，Q 点在x 轴下方) .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若1k =，求PQT ∆的面积；
(3)设点P '为点P 关于x 轴的对称点，判断P Q '与QT 的位置关系，并说明理由
.
【答案】(1)由2222111
12a b a b
⎧-=⎪
⎨+=⎪⎩，得 …………………… ……………………..2分 a 2
=2,b 2
=1,
所以，椭圆方程为2
212
x y +=. …………… …………………..4分 (2)设PQ:y=x-1，由22
112
x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3y 2
+2y-1=0, ………..6分
解得： P(
41
,33),Q(0,-1)，由条件可知点(2,0)T , PQT S ∆=12|FT||y 1-y 2|=2
3
. ….. ……………10分
(3) 判断：P Q '与QT 共线. ….. …… …………11分 设1122(,),(,)P x y Q x y
则P '(x 1,-y 1)，P Q '=(x 2-x 1,y 2+y 1)，TQ =(x 2-2,y 2), …… ………..12分
由22
(1)12
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222
(12)4220k x k x k +-+-=. (13)
分
(x 2-x 1)y 2-(x 2-2)(y 1+y 2)=(x 2-x 1)k(x 2-1)-(x 2-2)(kx 1-k+kx 2-k)
=3k(x 1+x 2)-2kx 1x 2-4k=3k 2
2
412k k +-2k 222212k k -+-4k
=k(2222
1244
41212k k k k
---++)=0. ………..15分 所以，P Q '与QT 共线. …………… …………..16分
10、已知动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 的距离相等. 1.求动点A 的轨迹方程；
2.记点)0,2(-K ，若AF AK 2=，求△AFK 的面积.
【答案】（1）由题意可知，动点A 的轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x
设方程为px y 22
=，其中
22
=p
，即4=p ……2分 所以动点A 的轨迹方程为x y 82
=……2分
（2）过A 作l AB ⊥，垂足为B ,根据抛物线定义，可得||||AF AB =……2分
AF AK 2=，所以AFK ∆是等腰直角三角形
………2分 4||=KF …………2分
所以8442
1
=⨯⨯=∆AFK S …………2分
（第20题图）
11、已知椭圆:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别是()0,11-F 、()0,12F ，且焦距是
椭圆C 上一点P 到两焦点21F F 、距离的等差中项. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设经过点2F 的直线交椭圆C 于N M 、两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点
),0(0y Q ，求0y 的取值范围.
【答案】解：设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得 1c =. ………1分 由题意得 a c 24=，2=a
2223b a c =-=. ………4分
故椭圆C 的方程为 22
1
43x y +=. ………6分 （2）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =. ………7分
当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.
由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得
0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k . ………9分 设
1122(,),(,)
M x y N x y ，线段MN 的中点为
33(,)
Q x y ，
则 2122
834k x x k +=+. ………10分
所以
212324234x x k x k +==+，33
23(1)34k y k x k -=-=+. 线段MN 的垂直平分线方程为)434(14332
2
2k k x k k k y +--=++.
在上述方程中令0=x ，得
k k k k y 43
1
4320+=
+=
. ………12分
当0k <
时，34k k +≤-0k >
时，3
4k k +≥
所以00y ≤<
，或
00y <≤
. ………13分 综上，0
y
的取值范围是
[1212-
. ………14分。