椭圆几何性质2

∵||PPFF11||＝ ＋3|P|PFF2|2＝| 4
∴||PPFF12||＝ ＝31
∴P 到左准线距离 d＝|PeF1|＝6.
• 【答案】 6
练习．设椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率 e＝ 22，点 F2 到右准线 l 的距离为 2.求 a、 b 的值；
新知探究
若点F是定直线l外一定点，动点M到点F
的距离与它到直线l的距离之比等于常 数e(0＜e＜1)，则点M的轨迹是椭圆.
l M
H
F
第二定义
动画
新知探究
a2
直线 x c 叫做椭圆相应于焦
点F2(c，0)的准线，相应于焦点
F1(－c，0)的准线方程是 x a2
y
c
a2 x
c
F1 O F2
x a2 c
y
P
30°
2c
F1 (-c,0) o2c
F2
(c,0)
c
2c=3a/2
x
x=3a/2
六.课后练习
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和 焦距长成等差数列，求该椭圆的离心率.
2.设椭圆的两个焦点分别为F1和F2 ，过F2作椭圆
长轴的垂线交椭圆于点P，若为△F2PF1等腰直角
三角形，求椭圆的离心率.
3.已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一 点 ，且AF1⊥AF2，∠AF1F2=60°，求该椭圆的 离心率。
e c a
a2=b2+c2 (a b 0)
x2 y2 b2 a2 1(a b 0)
-a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
长半轴长为a,短半轴 长为b.(a>b)
+
y2 m9
率为1/2，求m的值.
=1的离心
3. 已知a2、c2直接求e2
4.已知a2、b2不算c直接求e
e2
c2 a2
e
1
b2 a2
题型二：方程法
例2.已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上 一点 ，且AF1⊥AF2 ，∠AF2 F1 =60°， 求该椭圆的离心率。
y
A
60°
F1(-c,0) o F2(c,0)
椭圆的简单几何性质2
标准方程 范围
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
-a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
对称性
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
顶点坐标 焦点坐标
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
半轴长
离心率
a、b、c的关 系
长半轴长为a,短半轴 长为b. (a>b)
a、b、c、e、 a2
c
几何意义：a-长半轴、b-短半轴、c-半焦距，e-离心率；
a2 c
-—准线
相互关系： c2 a2 b2
e c a
焦点总在长轴上!
2.基本点：顶点、焦点、中心
3.基本线: 对称轴（共两条线），准线
<例1> x2
y2
椭圆 100 + 36 =1 上一点P到
右准线的距离为10,则:点P到左焦点的
1.椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 e 2 ，长轴长为6，
3
则椭圆的方程 为（ ）
C
(A)
x2 y2 1
36 20
(C)
x2 y2 1 或
95
y2 x2 1
95
x2 y2
(B) 1
95
(D)
y2
x2
1或
x2
y2
1
36 20
36 20
2.若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等 差数列，则其离心率e=__________
1.知识点：求离心率的两种常规方法： （1）定义法:求a,c或a、c的关系； （2）方程法:根据题上的相等关系，构造关
于a,c的齐次式，解出e. 2.思想方法：
方程的思想，转化的思想
高考链接
（直20线ax122 2新+x=课by22标23 全 =a1国(a上卷>b一）>0点设)的，F1左△和、FF2右是2 P焦椭F点圆1是，底P为角 为30°的等腰三角形， 求该椭圆的离心率。
x
依据a,b,c,e的关系，构造关于a,c, 的齐次式，解出e即可，但要 注意椭圆离心率范围是0<e<1
高考链接
(2009·江西高考)过椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左焦
点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F2 为右焦点，若 ∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为 ( )
A.
2 2
B.
3 3
C.12
D.13
p
60°
F1
F2
x
三：向量法 之 垂直问题
(2010·武汉调研)如图 3，已知 A、B 两点分别是椭 圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点，而 F 是 椭圆 C 的右焦点，若A→B·B→F＝0，则椭圆 C 的离心率 e＝________.
变式训练
距离为( )
A.14 B.12 C.10 D.8
x2 y2
例 2 (2011·衡水中学调研卷)(1)椭圆4＋3＝1 的左、
右焦点是 F1、F2，P 是椭圆上一点， 若 |PF1| ＝ 3|PF2| ， 则 P 点 到 左 准 线 的 距 离 是
________．
【解析】 a＝2，b＝ 3，c＝1，e＝12
2
变式
已知F是椭圆3x2 4y2 12的左焦点，P是椭圆上动点 点A（1，1）是一定点 （1）求 PA 2 PF 的最小值
1.若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分, 则:离心率e=______
2离心率e= 2 ,且两准线间的距离为4的椭圆的 标准方程为_2___________
3.若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则:中心到准线
椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的三个顶点为B1
(0，-b)，B2 (0，b),A(a,0),焦点F(c,0)且
B1F⊥AB2,求该椭圆的离心率。
y
B2 (0，b)
A(a,0)
o F(c,0) x
B1 (0，-b)
练习 2 ：已知一椭圆的短轴 长与焦距长相等，求椭圆的 离心率。
五.小结
e c a
a2=b2+c2 (a b 0)
二.离心率的常见题型及解法
题型一：定义法
例1.已知椭圆方程为 x2 + y2 =1，
求椭圆的离心率； 16
8
y
P
a
F1(-c,0) o c F2(c,0)
x
1.直接算出a、c带公式求e
2.几何意义：e为∠OPF2的正弦值
变式训练1：
• 若椭圆
x2 9
的距离为( )
A. 8 5 B. 4 5 C. 8 3 D. 4 3
5
4.离心率e=
3
5
3
3
,一条准线方程为x=-
25
求标准方程
5
3
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
已知椭圆
x2 k 5
y2 （1 k k 1
4
1）的离心率e
1 2
，求k
的值
练习3：
F1、F2 是椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆 上存在点 P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围 是________．
例4：点M(x,y为 e＝ac，F2 到 l 的距离 d＝ac2－c，
所以由题设得acac＝2－2c2＝， 2， 解得 c＝ 2，a＝2. 由 b2＝a2－c2＝2，得 b＝ 2.
例3：
已知F是椭圆5x2 9 y2 45的左焦点，P是椭圆上动点 点A（1，1）是一定点 （1）求 PA 3 PF 的最小值
x
椭圆的准线与离心率
离心率：e c 离心率的范围： 0 e 1
a
椭圆的准线 ：x a2
c
相对应焦点F（c,0），准线是：x a2 c
L’
y
M
L
F’ o F
x
相对应焦点F（- c,0），准线是：x a2 c
思考:
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)又如何呢?
课堂小结
椭圆中的基本元素
1.基本量:
练习2：
已知椭圆 x2 y2 1的离心率 e 1 ，求k 的值
k 8 9
2
解：当椭圆的焦点在 x 轴上时，
a2 k 8 ，b2 9 ，得 c2 k 1．
由
e
1 2
，得：k
4
当椭圆的焦点在 y 轴上时，
a2 9 ，b2 k 8 ，得c2 1 k ．
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
迹的集合是：
P {M |
由此得 ：
MF d
c a
x c2 y2 c ,
a2 x
a
平方，化简得 ：
c
(a2 c2 )x2 a2 y2 a2(a2 c2 ). 令a2 c2 b2,可化得 :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0).
这是一个椭圆的标准方程，所以点M的 轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆。
线l:x = 25
M的轨迹。 4
的距离的比是常数 4 ，求点
l’
y5
l
(椭圆的第二定义)
M
准线方程：
x a2
c
F1 o
F
x
点M（x,y）与定点F（c,0）的距离 和它到定直线
l : x a2 的距离比是常数 c (a c 0). 求M点的轨迹。
c
a
解：如图，设d是点M到直线L的距离，根据题意，所求轨