2019届高考数学总复习 第九单元 解析几何 第59讲 双曲线检测

第59讲 双曲线
1．(2015·福建卷)若双曲线E ：x
2
9－y
2
16
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E
上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于(B)
A ．11
B ．9
C ．5
D ．3
由题意知a ＝3.由双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，所以|PF 2|
＝9.
2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5
2
，则C 的渐近线方程为(C)
A ．y ＝±14x
B ．y ＝±1
3x
C ．y ＝±1
2
x D ．y ＝±x
因为c a ＝
52，所以c ＝52a ，所以b ＝c 2－a 2
＝12
a . 而x 2a 2－y 2
b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b
a
x ， 所以所求的渐近线方程为y ＝±12
x .
3．(2017·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近
线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为(D)
A.x 24－y 212＝1
B.x 212－y 2
4＝1 C.x 2
3－y 2＝1 D ．x 2
－y 2
3
＝1 根据题意画出草图如图所示(不妨设点A 在渐近线y ＝b
a
x 上)．
由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2. 又点A 在双曲线的渐近线y ＝b a
x 上， 所以b a
＝tan 60°＝ 3.
又a 2
＋b 2
＝4，所以a ＝1，b ＝3， 所以双曲线的方程为x 2
－y 2
3
＝1.
4．(2017·新课标卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2
－y 2
3
＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与
x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为(D)
A.13
B.12
C.23
D.32
因为F 是双曲线C ：x 2
－y 2
3
＝1的右焦点，所以F (2,0)．
因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P
3
＝1，解得y P ＝±3，
所以P (2，±3)，|PF |＝3.
又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，
所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝3
2
.
5．(2016·北京卷)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦
点为(5，0)，则a ＝ 1 ，b ＝ 2 .
因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，即y ＝－2x ，所以b
a
＝
2.①
又双曲线的一个焦点为(5，0)，所以a 2＋b 2
＝5.② 由①②得a ＝1，b ＝2.
6．(2016·山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，
AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是 2 .
如图，由题意知|AB |＝2b
2a
，|BC |＝2c .
又2|AB |＝3|BC |，所以2×
2b
2
a
＝3×2c ，即2b 2
＝3ac ，
所以2(c 2
－a 2
)＝3ac ，两边同除以a 2
并整理，
得2e 2
－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．
7．已知点P 是双曲线x 24a 2－y 2
a
2＝1(a >0)上的一点，以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的
面积等于1，且∠F 1PF 2＝90°，求双曲线的方程．
根据题意有⎩⎪⎨⎪
⎧
||PF 1|－|PF 2||＝4a ， ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2， ②
由①2－②得|PF 1|·|PF 2|＝2(c 2－4a 2
)，
又c 2＝4a 2＋a 2＝5a 2
，
所以S △PF 1F 1＝12|PF 1|·|PF 2|＝a 2
＝1，
故所求双曲线方程为x 2
4
－y 2
＝1.
8．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2
2
－y 2
＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，
则y 0的取值范围是(A)
A ．(－33，33)
B ．(－36，3
6)
C ．(－223，223)
D ．(－233，233) 由题意知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，
x 2
2
－y 2
0＝1，
所以MF 1→·MF 2→
＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0) ＝x 20＋y 20－3＝3y 2
0－1<0，
解得－33<y 0<3
3
.
9．(2016·广州市综合测试(一))已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右
焦点为F ，点B (0，b )，且BA →·BF →
＝0，则双曲线C 的离心率为
5＋1
2
. 因为A (－a,0)，F (c,0)，B (0，b )， 所以BA →＝(－a ，－b )，BF →
＝(c ，－b )，
因为BA →·BF →＝0，所以－ac ＋b 2＝0，即c 2－a 2
－ac ＝0，
所以e 2
－e －1＝0，所以e ＝1＋52
(负值舍去)．
10．已知双曲线C 的中心在坐标原点O ，对称轴为坐标轴，点(－2,0)是它的一个焦点，
并且离心率为23
3
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)已知点M (0,1)，设P (x 0，y 0)是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点，求MP →·MQ →
的取值范围．
(1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，半焦距为c ，
则c ＝2，又由c a ＝233
，得a ＝3，b 2＝c 2－a 2
＝1，
故所求双曲线C 的方程为x 23
－y 2
＝1.
(2)依题意有：Q (－x 0，－y 0)，
所以MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →
＝(－x 0，－y 0－1)，
所以MP →·MQ →＝－x 20－y 20＋1，又x 203
－y 2
0＝1，
所以MP →·MQ →
＝－43x 20＋2，
由x 20
3
－y 20＝1可得，x 2
0≥3， 所以MP →·MQ →
＝－43
x 20＋2≤－2.
故MP →·MQ →
的取值范围是(－∞，－2]．。