二年级巧算速算

巧算速算
例1计算1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10．
分析：解题时我们可以从左往右逐步相加：
1＋2＝3 3＋3＝6 6＋4＝10
10＋5＝15 15＋6＝21 21＋7＝28
28＋8＝36 36＋9＝45 45＋10＝55
这种逐步相加非常麻烦，且容易出错；如果利用“凑十法”，计算简便得多．
解：
例2计算1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19．
分析：这是求1到19这10个单数的和，用凑整法计算可使计算过程简化．
解：
20+20+20+20+20＝100
例3计算2＋3＋15＋36＋27＋85＋64＋88．
分析：先观察加数的特点，然后用凑整的方法进行简便计算．
解：
30+90+100+100＝320
例4计算10－9＋8－7＋6－5＋4－3＋2－1．
分析：本题如果按常规计算的方法从左到右依次计算，同样可以得到结
果．但这样计算不仅速度慢，而且又容易错．这时，我们就可以考虑通过改变一下运算的顺序，以达到计算简便的目的．
解：10－9＋8－7＋6－5＋4－3＋2－1
＝(10－9)＋(8－7)＋(6－5)＋(4－3)＋(2－1)
＝1＋1＋1＋1＋1
＝5
例5计算：(1)43＋24＋17；(2)86＋35＋65
分析：观察加数的特点，把能够凑成整百的两个数相加，然后再加上第三个数，这样计算简便．
解：(1)43＋24＋57
＝(43＋57)＋24
＝100＋24
＝124
(2)86＋35＋65
＝86＋(35＋65)
＝86＋100
＝186
例6计算：(1)65＋28－45；(2)75－38＋25
分析：在只有加减运算的算式中，有时改变加、减运算的顺序，可以使计算简便．
解：(1)65＋28－45
＝65－45＋28
＝20＋28
＝48
(2)75－38＋25
＝75＋25－38
＝100－38
＝62
例7计算
1－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9－10＋11
解：这题只有加减运算，而且1－2不够减．我们可以采用带着加减号搬家的方法解决．要注意每个数自己的符号就是这个数前面的那个“＋”号或“－”号，搬家时要带着符号一起搬．
1－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9－10＋11
＝1＋3－2＋5－4＋7－6＋9－8＋11－10
＝1＋(3－2)＋(5－4)＋(7－6)＋(9－8)＋(11－10)〔先减后加〕
＝1＋1＋1＋1＋1＋1
＝6
在这道题的运算中，把“＋3”搬到“－2”的前面，把“＋5”搬到了“－4”的前面，……把“＋11”搬到了“－10”的前面，这就叫带着符号搬家．巧妙利用这种搬法，可以使计算简便．
摆一摆
例1(1)用三根火柴棒摆出一个三角形．
(2)用四根火柴棒摆出一个正方形．
(3)用六根火柴棒摆出一个长方形．
(4)用五根火柴棒摆出一个五边形．
(5)用六根火柴棒摆出一个六边形．
解：根据各图形的边数特点，可拼成下面图形：
例2用3根火柴棒可以摆出一个三角形．
(1)再加2根火柴棒，摆出两个三角形．
(2)再加2根，摆出3个三角形．
分析：摆一个三角形要用3根火柴棒，摆2个三角形要用6根，但现在只增加2根，却要摆出2个三角形，可见其中必有一根火柴棒是2个三角形共用的．
同样的道理，再加2根火柴棒(共7根)要摆成三个三角形，必须有2根是共用的．
解：根据题意，可分别作图如下：
例3用4根火柴棒可以摆出一个正方形，如下图所示．再加3根火柴棒，摆出2个正方形．
分析：摆一个正方形必须要4根火柴棒，按照这样，摆2个正方形就需要8根火柴棒．但是现在只给你增加3根火柴棒，却要摆出2个正方形，可见其中必有一根火柴棒是共用的．
解：如下图所示，摆出2个正方形．
例4蝇拍是用来打苍蝇的，可是小马虎却误打了一只蜜蜂，见下图，你能只移动3根火柴棒，从蝇拍中“救出”小蜜蜂吗？
分析：这只蝇拍是用5根火柴棒组成的．“只移动3根火柴棒”，就是有2根火柴棒不需要移动．
解：按下图所示，只移动3根火柴棒，可以从蝇拍中救出小蜜蜂．
例5下图是由8根火柴棒组成的向上飞的小燕子，请你移动3根火柴棒，使小燕子掉头向下飞．
分析：只要移动下面的2根和左边的1根．即把下面的2根移到上面，左边的1根移到右边．
解：按要求移的3根火柴棒，得下图：
例6下面的算式是错的，请你只移动一根火柴棒，使等号两边相等．
分析：怎样移动其中一根火柴棒，才能使左边等于1呢？我们可以从第二个“＋”里拿出一根火柴棒添在前面的两个1的前面或后面，使等式成立．解：
例7只移动一根火柴棒，使下面的等式成立．
分析：因为14＋7－4＝17，要使等号左边等于11，应当采用多减、少加的办法．通过改变运算符号就能达到多减少加的目的．我们可以从“＋”里拿出一根火柴棒放到“－”上．
解：
例8只移动一根火柴棒，使下面的等式成立．
分析：我们可以从等号右边的77中拿去一根火柴棒变成17，然后把这根火柴棒添加到右边的“－”号上变成“＋”；我们还可以拿掉左边“＋”号中的一根，使“＋”变成“－”，然后把这一根火柴棒放到“17”的十位的“1”上，变成“77”，使等式成立．
解：
例9只移动两根火柴棒，使下面的等式成立．
分析：等号右边是2，而左边中间的一个数是112，因此，必须把112变小．我们可以拿去112中的百位数字1，添加在第一个“－”上成为
接着，把左边的＋1改成－11就正好得到右边的2；或从＋1的“＋”中移去一根火柴棒放到等号右边2的前面，也可以使等号两边相等．解：有下面两个正确的算式：
植树锯木
例1把一根木头锯成5段，每锯一次要2分钟，一共要锯多少分钟？
分析：先看下面的示意图：
从图中可见，把一根木头锯成5段，实际只要锯4次，题中告诉我们每锯1次要2分钟，所以锯4次需要8分钟．
解法一：5－1＝4(次)
用加法算就是4个2相加：2＋2＋2＋2＝8(分)．
解法二：4个2相加可以用乘法算：2×4＝8(分)．
答：锯5段需要8分钟．
例2 同学们在一段马路的一边种树，从马路的一头到另一头共种了9棵，每两棵之间相距3米．问这段马路长多少米？
分析：先看下面的示意图：
从图中可以看出，9棵树之间有8个间隔，每个间隔长3米，8个间隔的长度就是这段马路的长度．
解法一：用加法计算：3＋3＋3＋3＋3＋3＋3＋3＝24(米)
解法二：用乘法计算：3×8＝24(米)
答：这段马路长24米．
例3一幢六层楼，小明从底楼跑到六楼一共用了45秒．平均每层楼用了多少秒？
分析：小明从底楼到六楼一共走了6－1＝5(层)，用了45秒，平均每跑一层楼用的时间是：45÷5＝9(秒)
解：6－1＝5(层)
45÷5＝9(秒)
答：平均每层楼用了9秒．
例4 10名男生排成一队，老师要求在每2名男生中间插进1名女生，问可插进多少名女生？
分析：可以按要求写出队伍的排列情况：
男女男女男女男女
男女男女男女男女
男女男
数一数，就可以知道一共插进9名女生．
我们可以这样想：10个男生之间有9个间隔，每个间隔插进一名女生，所以可以插进9名女生．
解：10－1＝9(名)
答：可以插进9名女生．
例5在圆形花坛上放了10盆鲜花，每两盆鲜花之间相隔1米．问这花坛一圈长多少米？
分析：先看下面的示意图(用“黑点”代表花盆)：
从图中不难看出，花盆的盆数和两花盆之间的间隔数相同，放了10盆，就有10个间隔，因为每个间隔1米，所以花坛的1圈长10米．解：1×10＝10(米)
答：这花坛一圈长10米．
例6 小朋友在一段马路的一边种树．每隔1米种一棵，共种了11棵，问这段马路有多长？
解：画示意图如下：
由图可见，这段马路的11棵树之间有10个“空”，也就是10个间隔．每个间隔长1米，10个间隔长10米．也就是说这段马路长10米．像这类问题一般叫做“植树问题”．可以得出一个公式：当两头都种树时：
例7 把一根粗细一样的木头锯成5段，需要4分钟．
①如果把这根木头锯成10段，需要几分钟？
②如果把这根木头锯成100段，需要几分钟？
解：画出示意图：
由图可见，把木头锯成5段，只需锯4次．
所以锯一次需1分钟．
①同样道理，把这根木头锯成10段，只需锯9次，所以需9分钟．
②同理，把这根木头锯成100段，只需锯99次，所以需99分钟．
例8 鼓楼的钟打点报时，5点钟打5下需要4秒钟．问中午12点时打12下需要几秒钟？
解：画示意图．钟打一下用一个点代表，打5下画5个点．
由图可见，钟打5下中间有4个时间间隔，4个间隔是4秒钟，每个间隔就是1秒钟．由此推理钟打12下时有12－1＝11个时间间隔，故用11秒钟.
四则运算
例1用五个2与加、减、乘、除四则运算符号结合起来，使下面的10个算式均成立：
22222＝1(1)
22222＝2(2)
22222＝3(3)
22222＝4(4)
22222＝5(5)
22222＝6(6)
22222＝7(7)
22222＝8(8)
22222＝9(9)
22222＝10(10)
这个问题主要用“凑”的思想，但不应该盲目的凑，每相邻两个数之间都有四种运算符号可填(加、减、乘、除)，在凑时，一边试，一边估计结果，不断调整．我们有：
2－2÷2＋2－2＝1
2＋2－2＋2－2＝2
2＋2÷2＋2－2＝3
2×2×2－2×2＝4
2－2÷2＋2＋2＝5
2＋2＋2＋2－2＝6
2＋2÷2＋2＋2＝7
2×2×2＋2－2＝8
2×2×2＋2÷2＝9
2＋2＋2＋2＋2＝10
例2将1、2、3、4、5、6、7、8这8个数字分别填入图中8个空格内，使图中的4边正好组成加、减、乘、除4道算式．
突破口是在做除法的第一行，在1～8中，只有五种可能：8÷4＝2，8÷2＝4；6÷3＝2；6÷2＝3；4÷2＝2．最后一个除式中出现两个2，应舍去．因此，只有4种可能情况，经过“凑”“试”有下面两个结果：
例3如图所示，在大方框内的各数中选出3个数填到左面的四道乘式中使四道乘式成立．
解
例4将1～9这9个数字分别填入下面算式的方格中，使每个等式都成立．
□＋□＝□(1)
□＋□＝□(2)
□×□＝□(3)
取三个数字试乘要比试加、试减的情况简单，所以，选(3)作突破口，它只有两种情形：2×4＝8，2×3＝6．
满足题目要求的解为：
例5 学校举办书法比赛，共有24名同学参加，按年级正好平均分成4组，学校给每组指定了一名组长，叫组长每人收5元报名费，收好后交到教导处，每个组交来报名费多少元？
书法比赛名单
第一组第二组第三组第四组
……………………
……………………
……………………
【解答】要求每组交多少元报名费，除了知道每人交5元，还要知道每个组有几名同学．根据一共有24名同学参加，正好平均分成4组，可以用除法计算出平均每组有几个人．
先求每组有几个人？
24÷4＝6(人)
再求每组收报名费多少元？
5×6＝30(元)
综合列式：
答：每组收报名费30元．
例6 学校举行广播操比赛，二年级选出一些选手参加，他们训练时排成6排，每排正好排6人，后来学校规定每个参赛队一律排成4排，那么二年级调整队伍，每排几人？(总人数不变)
【解答】学校规定每个参赛队一律排成4排，要知道每排几人，就要知道二年级参加比赛的一共有多少人．根据训练时排成6排，每排正好6人，可以用乘法计算出二年级参加比赛的一共有多少人．
二年级参赛的一共有多少人？
6×6＝36(人)
按学校规定排成4排．每排多少人？
36÷4＝9(人)
综合列式：
答：每排9人．
例7 小猴买来一批苹果，每筐装6千克，可以装7筐；现在只有6只筐，把苹果都装上，平均每筐多装多少千克？(用不同的方法解答)
【解答】这道题并不难，但要求能用不同的方法解答，怎样的解法最巧妙呢？
解法一：先算出这批苹果的总重量，再除以6，算出现在每筐装苹果多少千克，最后减去6，就可算出平均每筐多装多少千克．
解法二：可以先求出原来比现在多几个筐，再乘6，算出现在6个筐比原
来6个筐多装多少千克苹果，最后再除以6，就可算出平均每筐多装多少千克．
解法三：原来每筐装6千克，要装7筐．还是这么多的苹果，现在只有6
个筐，每筐肯定要装7千克，每筐就要多装1千克．
7－6=1(千克)
答：平均每筐多装1千克．
例8 已知：☆×3＋◇×2＝21，☆＋◇＝8，求：☆×◇＝？
【解答】这道趣味题可以用不同的方法解答．
解法一：从条件☆＋◇＝8出发，可以得到下面几组情况：
⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧352617536271◇＝☆＝，◇＝☆＝，◇＝
☆＝，◇＝☆＝，◇＝☆＝，◇＝☆＝ 把每组的两个数代入到☆×3＋◇×2＝21这道算式中一一试算，只有第
6组⎩⎨⎧3
5◇＝☆＝符合条件，因为216231535＝＋⨯⨯，所以☆×◇＝5×3＝15． 解法二：把☆×3＋◇×2＝21还原成☆＋☆＋☆＋◇＋◇＝21
把一个☆和一个◇看作一组，并用“8”代替，即
：
可得：☆＝21－8－8＝5，
再把☆＝5代入到☆＋◇＝8这道算式中，得：
◇＝8－5＝3
所以，☆×◇＝5×3＝15．
解法三：假设☆＝1，或2，或3，或4，或5，或6，或7，…去试算，只有当☆＝5时，5×3＋◇×2＝21，
◇×2＝21－15＝6
◇＝3
所以☆×◇＝5×3＝15．
例9 一副扑克牌有54张(包括大王和小王，)把“大王”和“小王”拿去，就剩下52张，每种花色只有13张．例如红桃♥的13张牌是：
从52张牌中任意抽出4张牌，运用这四个数和＋、－、×、÷、()都可以组成得数是24的算式．
如果小华在一次游戏时拿到的四张牌是：
那么小华可以组成怎样的算式呢？
【解答】小华组算式时用的四个数是：4、7、8、9，可以从结果是24出发，先运用四个数中的一个数，如用4，4×6＝24，还有7、8、9，这三个数怎样组成得“6”的算式呢？如用8，8×3＝24，还有4、7、9，这三个数怎样组成得“3”的算式呢？
方法一：9－8＝1，7－1＝6，6×4＝24
或7－(9－8)＝6，6×4＝24．
方法二：9－7＝2，8－2＝6，6×4＝24
或8－(9－7)＝6，6×4＝24．
方法三：8＋7＝15，15－9＝6，4×6＝24
或(8＋7－9)×4＝24．
方法四：7－4＝3，9÷3＝3，3×8＝24
或9÷(7－4)×8＝24．
例10 妈妈来到服装柜台买衣服．
妈妈买衣服的钱比40元多，但不超过50元，请问她买两种衣服各多少件？共有多少种不同的买法？
【解答】可以先考虑多买上衣，余下的钱再买短裤，每种买法算出的总价，要比40元多，但最多50元．
买5件上衣、1条短裤，共用：
9×5＋5×1＝50(元)
买4件上衣、2条短裤，共用：
9×4＋5×2＝46(元)
买3件上衣、3条短裤，共用：
9×3＋5×3＝42(元)
买3件上衣、4条短裤，共用：
9×3＋5×4＝47(元)
买2件上衣、5条短裤，共用：
9×2＋5×5＝43(元)
买2件上衣、6条短裤，共用：
9×2＋5×6＝48(元)
买1件上衣、7条短裤，共用：
9×1＋5×7=44(元)
买1件上衣、8条短裤，共用：
9×1＋5×8=49(元)
全买上衣5件，共用：
9×5=45(元)
全买短裤10条，共用：
5×10=50(元)
全买短裤9条，共用：
5×9=45(元)
口答：衣服件数从略，共有11种不同的买法．
简单数列
例1找出下面各数列的规律，并填空．
(1)1，2，3，4，5，□，□，8，9，10．
(2)1，3，5，7，9，□，□，15，17，19．
(3)2，4，6，8，10，□，□，16，18，20．
(4)1，4，7，10，□，□，19，22，25．
(5)5，10，15，20，□，□，35，40，45．
解：(1)是自然数列，它的规律是：后一个数比前一个数大1；空处依次填：
，．
(2)是奇数列，它的规律是：后一个数比前一个数大2；空处依次填：，
．
(3)是偶数列，它的规律是：后一个数比前一个数大2；空处依次填：，
．
(4)是等差数列，它的规律是：后一个数比前一个数大3；空处依次填：，
．
(5)是等差数列，它的规律是：后一个数比前一个数大5；空处依次填：，
．
注意：自然数列、奇数列、偶数列也是等差数列．
例2找出下面的数列的规律并填空．
1，1，2，3，5，8，13，□，□，55，89．
解：这叫斐波那契数列，从第三个数起，每个数都是它前面的两个数之和．这是个有重要用途的数列．8＋13＝21，13＋21＝34
．所以：空处依次填：，．
例3 找出下面数列的生成规律并填空．
1，2，4，8，16，□，□，128，256．
解：它叫等比数列，它的后一个数是前一个数的2倍．16×2＝32，32×2＝64，所以空处依次填：，．
例4 找出下面数列的规律，并填空．
1，2，4，7，11，□，□，29，37．
解：这数列规律是：后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，这些差是个自然数列：
例5 找出下面数列的规律，并填空：
1，3，7，15，31，□，□，255，511．
解：规律是：后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，差的变化规律是个等比数列，后一个差是前一个差的2倍．
另外，原数列的规律也可以这样看：后一个数等于前一个数乘以2再加1，
即
后一个数＝前一个数×2＋1．
例6 找出下面数列的生成规律，并填空．
1，4，9，16，25，□，□，64，81，100．
解：这是自然数平方数列，它的每一个数都是自然数的自乘积．如：1＝1×1，4＝2×2，9＝3×3，16＝4×4．25＝5×5，，，64＝8×8，81＝9×9，100＝10×10．
若写成下面对应起来的形式，就看得更清楚．
10081644936251694110987654321↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓自然数平方数列：：自然数列
例7 一辆公共汽车有78个座位，空车出发．第一站上1位乘客，第
二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，车上坐满乘客？(假定在坐满以前，无乘客下车，见表.
解：方法1
方法2：由上表可知，车上的人数是自1开始的连续自然数相加之和，到第几站后，就加到几，所以只要加到出现78时，就可知道是到多少站了．1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝78(人)
可见第12站以后，车上坐满乘客．
例8 如果第一个数是3，以后每隔6个数写出一个数，得到一列数：3，10，17，……，73．这里3叫第一项，10叫第二项，17叫第三项，试求73是第几项？
解：从第1项开始，把各项依次写出来，一直写到73出现为止(见表)．
可见73是第11项．
例9 一天，爸爸给小明买了一包糖，数一数刚好100块．爸爸灵机一动，又拿来了10个纸盒，接着说：“小明，现在你把糖往盒子里放，我要求你在第一个盒子里放2块，第二个盒子里放4块，第三个盒子里放8块，第四个盒子里放16块，……照这样一直放下去．要放满这10个盒，你说这100块糖够不够？”小朋友，请你帮小明想一想？
解：小朋友，你是不是以为100块糖肯定能够放满这10个纸盒的了！下面让我们算一算，看你想得对不对(见表)
放满10个盒所需要的糖块总数：
可见100块糖是远远不够的，还差1946块呢！这可能是你没有想到的吧！其实，数学中还有很多很多奇妙无比的故事呢．
例10 小明从1写到100，他共写了多少个数字“1”？
解：分类计算：
“1”出现在个位上的数有：
1，11，21，31，41，51，61，71，81，91共10个；
“l”出现在十位上的数有：
10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共10个；
“1”出现在百位上的数有：100共1个；
共计10＋10＋1＝21个．
例11 一本小人书共100页，排版时一个铅字只能排一位数字，请你算一下，排这本书的页码共用了多少个铅字？
解：分类计算：
从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9＝9(个)；
从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用2×90＝180(个)；
第100页，只1页共用3个铅字，所以排100页书的页码共用铅字的总数是：
9＋180＋3＝192(个)．
例12 把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字的和是多少？
解：(见图5－1)先按题要求，把1到100的一百个自然数全部写出来，再分类进行计算：
图5－1
如图5－1所示，宽竖条带中都是个位数字，共有10条，数字之和是：(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)×10
＝45×10
＝450．
窄竖条带中，每条都包含有一种十位数字，共有9条，数字之和是：
1×10＋2×10＋3×10＋4×10＋5×10＋6×10＋7×10＋8×10＋9×10 ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)×10
＝45×10
＝450．
另外100这个数的数字和是1＋0＋0＝1．
所以，这一百个自然数的数字总和是：
450＋450＋1＝901．
顺便提请同学们注意的是：一道数学题的解法往往不只一种，谁能寻找并发现出更简洁的解法来，往往标志着谁有更强的数学能力．比如说这道题就还有更简洁的解法，试试看，你能不能找出来.
抽屉原理
例1请你说明：5只鸽子飞进4个笼子中去，至少有一个笼子中要飞进1个以上的鸽子．
分析与解如果你已经懂得抽屉原理了，那么，这个问题很简单，你将笼子看作抽屉，将鸽子看作苹果，那么，这个问题就变成4个抽屉中要放5只苹果，因为5＞4，苹果数多于抽屉数，所以，至少有一个抽屉中，要放一个以上苹果．再换回题目的说法，就是必有一个笼子中至少要飞进两只鸽子．(当然，如果允许有的笼子不飞进鸽子，那么，有的笼子中可以飞进3只，4只甚至5只鸽子，题目的结论仍然是对的．)
例2一年级(2)班共有53位小朋友，他们年龄都相同，请你用抽屉原理说明，至少有2个小朋友出生在同一周．
分析与解因为每年共有52周，小朋友人数是53．而53＞52，根据抽屉原理，至少有两位小朋友出生在同一周．
开始理解抽屉原理时，可以这样仔细想一想：总共有52周，如果小朋友都出生在不同的周，那么，小朋友人数最多是52人，现在共有53人，说明第53位小朋友必与前52位小朋友中某一位出生在同一周．那么，就有2位小朋友同在这一周出生了．
例3用三种颜色给正方体涂色，请你证明：至少有两个面涂色相同．分析与解一个正方体共有6个面(如图)，将6个面看成6只苹果，三种颜色看成三个抽屉．6＞3，说明，苹果数多于抽屉数．根据抽屉原理，至少
在1个抽屉内装有1只以上的苹果，换句话说，至少有2个面涂用同一种颜色．
例4在20米长的水泥阳台上放12盆花，随便怎样摆放，至少有两盆花它们之间的距离小于2米．
分析与解第1盆花放在一个端点上，第2盆花放在距第l盆花恰为2米处(这是两盆花之间最近的距离了，再近就说明题目已经正确了——两盆花之间距离小于2米！)，第3盆花放在距离第2盆花的距离2米处，这样每隔2米放1盆花，直到阳台的另一个尽头，恰好放第11盆花．至此，阳台上的11盆花中任意两盆花之间的距离都按你的设想不小于2米放好了．现在考虑最后1盆花，它只能放在已放好的11盆花所留出的10个空档内了，这已说明必有两盆花之间的距离小于2米．题目的结论是正确的(见下面)．
例5学校里买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可以借阅其中两本，现有4位小朋友前来借阅，每人都借了2本．请问，你能保证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种吗？
分析与解下面按两本课外读物的种类来“制造”抽屉．这两本书的种类有
以下三种可能：，即有3个抽屉．我们将4位小朋友实际所借的两本书的种类看作苹果，因为有4位小朋友，所以有4个苹果．4＞3，根据抽屉原理，可以保证，至少有2位小朋友，他们所借阅的两本书属于同
类．
枚举法
例1如下图所示，已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形有多少种可能形状？哪种形状的长方形面积最大？(边长为1厘米的正方形的面积叫做1平方厘米)．
解：由于长方形的周长是20厘米，可知它的长与宽之和为10厘米．下
长(厘米) 9 8 7 6 5
宽(厘米) 1 2 3 4 5
(注意，正方形可以说成是长与宽相等的长方形)．
下面把5种长方形按实际尺寸大小一一画出来，见下面图(1)～(5)．
例2如下图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到C的最短长度为4厘米．问这样的最短路线共有多少条？请一一画出来．
解：将各种路线一一列出，可知共6条，见下图．
注意，如果题中不要求将路径一一画出，可采用如下图所示方法较为便捷．图中交点处的数字表示到达该点的路线条数．如O点处的数字2，表示由A到O有2条不同的路径，见上图中的(1)和(2)；又H点处的数字3的意义也如此，见上图中的(1)、(2)、(3)可知有3条路径可由A到H．仔细观察，可发现各交点处的数字之间的关系，如O点的2等于F点和E点的数字相加
之和，即1＋1＝2，又如，C点的6等于G点和H点的数字相加之和，即3＋3＝6．
例3在10和31之间有多少个数是3的倍数？
解：由尝试法可求出答案：
3×4＝123×5＝153×6＝183×7＝21
3×8＝243×9＝273×10＝30
可知满足条件的数是12、15、18、21、24、27和30共7个．
注意，倘若问10和1000之间有多少个数是3的倍数，则用上述一一列举的方法就显得太繁琐了，此时可采用下述方法：
10÷3＝3余1，可知10以内有3个数是3的倍数；
1000÷3＝333余1，可知1000以内有333个数是3的倍数：
333－3＝330，则知10～1000之内有330个数是3的倍数．
由上述这些例题可体会枚举法的优点和缺点及其适用范围．
例4两个整数之积为144，差为10，求这两个数？
例512枚硬币的总值是1元，其中只有5分和1角的两种，问每种硬币各多少个？
解：列举出两种硬币的可能搭配：
可见满足题目要求的搭配是：四个5分币，八个1角币．
例6 小虎给4个小朋友写信．由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了．4个好朋友收到的都是给别人的信．问小虎装错的情况共有多少种可能？
解：把4封信编号：1，2，3，4． 把小朋友编号，1友，2友，3友，4友．
并假定1号信是给1友写的，2号信是给2友写的，3号信是给3友的，4号信是给4友写的：再把各种可能的错装情况列成下表：
所以，共有9种可能．
说明：如第一种错收情况是1友得2号信，2友得了1号信，3友得了4号信，4友得了3号信．
一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，问： ①这个长方形的面积有( )种可能值.
②面积最大的长方形的长是( )米,宽是( )米.
等量代换.
例1 1只小狗的重量等于2只小兔的重量，4只小猫的重量等于2只小兔的重量，1只小狗重4千克，1只小猫重多少千克？
[完全解题]1只小狗的重量＝2只小兔的重量，
4只小猫的重量＝2只小兔的重量，
1只小狗的重量＝4只小猫的重量，
1只小猫的重量＝4÷4＝1(千克)．
答：1只小猫重1千克．
[知识点评]这是一个等量问题，主要是看它们的等量关系．
[方法点击]将相等的量列出来，然后对照上面依次推算就可以得出结果．例2如图，已知＝6千克，求＝？千克．
[完全解题]3个白球重：6×2＝12(千克)，每个白球重：12÷3＝4(千克)，所以阴影方格重4×4＝16(千克)．
[知识点评]同学们，请看下面这道题：“1只鸡的重量等于2只鸭的重量，1只鸭的重量等于2只鸽的重量．那么1只鸡的重量等于几只鸽子的重量呢？”这是一个简单的推理问题．这个专题就是要你想一想，理一理，进行简单的推理．在推理时，有时需要算一算，如本题用到千克数的乘除．
[方法点击]仔细读题，看看有哪些已知条件，再根据这些己知条件有条理、有次序地去想一想，并充分利用每次得出的结论，作为后一步推理的论据．
例3 △＋○＝12，△＝○＋○＋○．求△＝？○＝？
[完全解题]因为△＋○＝12，而△＝○＋○＋○，所以○＋○＋○＋○＝12．4个○是12，所以○＝12÷4＝3．
因为△＋○＝12，○＝3，所以△＝12－3＝9．
答：△＝9，○＝3．
[知识点评]应用等量代换原理，推导出所求问题的结果．
[方法点击]已知△＋○＝12，而△＝○＋○＋○，可以推算出○＋○＋○＋○＝12，○＝12÷4＝3，依次算出即可．
例4已知(□－△)×(□－△)＝81，△＝5，求□＝？
[完全解题]因为(□－△)×(□－△)＝81，所以□－△＝9．又因为△＝5，所以□＝9＋5，□＝14．
[知识点评]根据表内乘法口诀，同数相乘等于81可知是：9×9＝81．再根据□－△＝9，△＝5推算出结果．
[方法点击]关键是要把握□－△与□－△的积是同数相乘的积．
例51只白兔的重量等于2只松鼠的重量，1只松鼠的重量等于3只小鸡的重量，1只白兔的重量等于几只小鸡的重量？
[完全解题]1只白兔＝2只松鼠，1只松鼠＝3只小鸡，那么，2只松鼠＝6只小鸡．因为前面1只白兔＝2只松鼠，而2只松鼠＝6只小鸡，即1只白兔＝6只小鸡．
[知识点评]首先把等量列出来，找出相对应的即可．
[方法点击]首先把相对的等量列出来，弄清楚几等于几，就可以．例6三个相同的瓶子里放有石头，哪个瓶子里拿出的石头最大？
[完全解题]三个大小、形状相同的瓶子里盛有水并放有石头，水位不一样，但取出石头后，水位下降后都是一样高了，说明取出的石头越大，水位下降越多，所以右边这个瓶里的石头最大．
答：右边第1个瓶子里的石头最大．
[知识点评]在同一个杯里盛有水，放入或取出的石头大小不同，水位升降也不同，放入或取出的石头大，水位的升或降就多．水位在变化，但水的总量没有变，这些都是寻找变与不变的一些基本规律．
[方法点击]因为水的总量不变，放进去的物体体积越大，水位就会越高．例7三杯盐水一样咸，哪杯水里盐放得最多？。