2021年湖南省高考对口招生考试数学真题及参考答案

湖南省普通高等学校对口招生考试
数学
本试题卷涉及选取题、填空题和解答题三某些,共4页,时量120分钟,满分120分
一、选取题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出四个选项中,只有一项是符合题目规定)
1.已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},则A ∩B=（ ） A.{1,2,3,4,5,6} B.{2,3,4} C.{3,4} D.{1,2,5,6}
2. “92
=x ”是“3=x ”（ ） A.充分必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数x x y 22
-=单调增区间是（ ）
A.(-∞,1]
B. [1,+∞)
C.(-∞,2]
D.[0,+∞)
4.已知53
cos -=α，且α为第三象限角,则tan α=（ ）
A.3
4
B.43
C.
43- D.34
-
5.不等式112>-x 解集是（ ） A.{0|<x x } B.{1|>x x }
C.{10|<<x x }
D.{10|><x x x 或}
6.点M 在直线01243=-+y x 上，O 为坐标原点,则线段OM 长度最小值是（ ）
A. 3
B. 4
C. 2512
D. 5
12
7.已知向量a ，b 满足7=a ，12=b ,42-=•b a ,则向量a ,b
夹角为
（ ）
A. ︒30
B. 60°
C. 120°
D. 150°
8.下列命题中,错误．．是（ ） A. 平行于同一种平面两个平面平行 B. 平行于同一条直线两个平面平行 C. 一种平面与两个平行平面相交,交线平行
D. 一条直线与两个平行平面中一种相交,则必与另一种相交 9.已知︒=15sin a ，︒=100sin b ，︒=200sin c ,则c b a ,,大小关系为（ ）
A. c b a <<
B. b c a <<
C. a b c <<
D. b a c << 10.过点(1,1)直线与圆42
2
=+y x 相交于A ，B 两点,O 为坐标原点,则
OAB ∆面积最大值为（ ）
A. 2
B. 4
C. 3
D. 23
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
11. 某学校有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样办法,从该学校学生中抽取一种容量为45样本,则应抽取男生人数为 . 12. 函b x x f +=cos )((b 为常数)某些图像如图所示,则b = .
13.6)1(+x 展开式中5
x 系数为 (用数字作答)
14.已知向量a =(1,2),b =(3,4),c =(11,16),且c =a x +b y
,则=+y x .
15.如图,画一种边长为4正方形,再将这个正方形各边中点相连得到第2个正方形,依次类推,这样一共画了10个正方形.则第10个正方形面积为 .
三、解答题(本大题共7小题,其中第21，22小题为选做题.满分60分,解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节）
16.(本小题满分10分)
已知数列{n a }为等差数列,1a =1,3a =5， （Ⅰ）求数列{n a }通项公式；
（Ⅱ）设数列{n a }前n 项和为n S . 若n S =100，求n . 17.(本小题满分10分）
某种饮料共6瓶，其中有2瓶不合格,从中随机抽取2瓶检测.用ξ 表达取出饮料中不合格瓶数.求 (Ⅰ)随机变量ξ分布列； (Ⅱ)检测出有不合格饮料概率. 18.(本小题满分10分)
已知函数)3(log )(-=x x f a )1,0(≠>a a 且图像过点(5，1) (Ⅰ)求)(x f 解析式，并写出)(x f 定义域； (Ⅱ)若1)(<m f ,求m 取值范畴 19.(本小题满分10分)
如图,在三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥底面ABC ，BC AB AA ==1，
=∠ABC 90°,D 为AC 中点.
(I)证明:BD ⊥平面C C AA 11； (Ⅱ)求直线1BA 与平面C C AA 11所成角.
20.(本小题满分10分)
已知椭圆:
C 12
22
2=+
b
y a
x (0>>b a )焦点为1F (-1,0)、2F (1,0),点
A (0,1)在椭圆C 上.
(I) 求椭圆C 方程；
(II)
(Ⅱ)直线l 过点1F 且与1AF 垂直,l 与椭圆C 相交于M ，N 两
点,求MN 长.
选做题:请考生在第21，22题中选取一题作答.如果两题都做,则按所做第21
题计分,作答时,请写清题号.
21.(本小题满分10分) 如图,在四边形ABCD 中,
6==CD BC ，4=AB ,=∠BCD 120°, =∠ABC 75°,求四边形ABCD 面积.
22.(本小题满分10分)
某公司生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料可用限额如表所示.如果生产1吨甲产品可获利润4万元,生产1吨乙产品可获利润5万元.问:该公司如何规划生产,才干使公司每天获得利润最大?
参照答案
一、选取题：
1. C
2. B
3. B
4. A
5. D
6. D
7. C
8. B
9. D 10. A
二、填空题：
1
11. 25 12. 2 13. 6 14. 5 15.
32
三、解答题
16.解： （Ⅰ）数列{n a }为等差数列,1a =1,3a =5⇒公差d=21
31
5=-- 故12)1(21-=-+=n n a n
（Ⅱ）∵等差数列{n a }前n 项和为n S ，n S =100
)
(2
1n n a a n
S +=
∴100)121(2=-+n n
∴10=n 17.
解：（Ⅰ）ξ也许取值有0，1，2
P （0=ξ）=
5
2
26
2
24=⋅C C C P （1=ξ）=158
2
6
12
14=
⋅C C C
P （2=ξ）=
15
1
26
22
04=
⋅C C C
故随机变量ξ分布列是：
（Ⅱ）设事件
A 表达检测出全是合格饮料，则A 表达有不合格饮料
检测出全是全格饮料概率
=)(A P 5
2
26
02
24=
⋅C C C
故检测出有不合格饮料概率53521)(=-
=A P
18.
解：（Ⅰ）∵函数
)3(log )(-=x x f a )1,0(≠>a a 且图像过点(5，1)
∴12log =a ∴2=a
)3(log )(2-=x x f 故意义，则03>-x
∴ 3>x
函数
)3(log )(2-=x x f 定义域是),3(+∞
(Ⅱ)∵)3(log )(2-=x x f ，1)(<m f
∴
2log 1)3(log 22=<-m
∴23<-m ∴5<m
又)3(log )(2-=x x f 定义域是),3(+∞，即3>m
∴53<<m
m 取值范畴是（3，5）
19.
（Ⅰ）证明：∵在三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥底面ABC
∴1AA ⊥BD
又BC AB =，=∠ABC 90°,D 为AC 中点. ∴BD ⊥AC 而A AC AA = 1 ∴ BD ⊥平面C C AA 11
(Ⅱ)由（Ⅰ）可知：BD ⊥平面C C AA 11 连结
D A 1，则D BA 1∠是直线1BA 与平面C C AA 11所成角
在BD A Rt 1∆中，AB AC BD 2
221==
，AB B A 21= ∴
2
1sin 11==
∠B A BD D BA ∴
301=∠D BA
即直线1BA
与平面C C AA 11所成角是
30. 20.
解：（Ⅰ）∵椭圆:
C 12
22
2=+
b
y a
x (0>>b a )焦点为1F (-1,0)、
2F (1,0)
∴1=c
又点A (0,1)在椭圆C 上 ∴12
=b
∴
211222=+=+=c b a
∴椭圆C 方程是1
22
2=+y x
(Ⅱ)直线1AF 斜率11=AF k
而直线l 过点1F 且与
1AF 垂直 ∴直线l 斜率是1-=k 直线l 方程是1--=x y
由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=12
122y x x y 消去y 得：0432=+x x
设
),(11y x M ，),(22y x N ，则
3
4
21-=+x x ，021=⋅x x
34
4)(2122121=
-+=-x x x x x x
2
3
4
3421212=⨯=-+=x x k MN 即MN 长是23
4
21.
解：如图，连结BD 在BCD ∆中，6==CD BC ，
=∠BCD 120°，由余弦定理得：
BCD CD BC CD BC BD ∠⋅⋅-+=cos 2222 )21(6626622-⨯⨯⨯-+=
362⨯= 36=BD
四边形ABCD 面积ABCD S 四边形=ABD S ∆∆+BCD S =ABD BD BA BCD CD BC ∠⋅⋅+∠⋅⋅sin 2
1sin 21 =
45sin 36421120sin 6621⨯⨯+⨯⨯⨯ =2236421236621⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ =6639+
22.解：设公司每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，才干使公司获得利润z 最大，则y x z 54+=，x 、y 满足下列约束条件：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥12
238200y x y x y x
作出约束条件所示平
面区域，即可行域，如图中
阴影某些，四边形ABOC 作直线x y 54-=及其平行线
l ：554z x y +-=，直线l 表达斜率为54-，纵截距为5
z 平行直线
系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l 过点A 时，z 获得最大值，
由⎩⎨⎧=+=+122382y x y x 得)3,2(A ∴ 233524max =⨯+⨯=z 万元
即当公司每天生产甲产品2吨，乙产品3吨时，公司获得利润最大，最大利润为23万元.。