椭圆知识点复习总结

椭圆知识点总结复习
1. 椭圆的定义：
2. 椭圆的几何性质：
（1）例二：设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点P 作x 轴的垂线，恰好过椭圆的
一个焦点1F ，此时椭圆与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且A,B 两点所确定的直线AB
与OP 平行，求离心率e
2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200
221x y a b
+>；
（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220
220b y a x +＝1；
（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200
221x y a b
+<
3．直线与圆锥曲线的位置关系：（往往设而不求） （1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；
例三：:直线y ―kx ―1=0与椭圆22
15x y m
+
=恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；
例四：椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>与过点(2,0),(0,1)A B 的直线有且只有一个公共
点T ，且椭圆的离心率e =（1）求椭圆的方程 （2）设12,F F 分别为椭圆的左，右焦点，M 为线段2AF 的中点，求证：1ATM AFT ∠=∠ （3）求证：2
121
2
AT AF F =.
6、弦长公式：（直线与椭圆的交点坐标设而不求）
若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐
标，则AB ＝12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝
212
1
1y y k -+
，
（若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 12y -。

特别地，
焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将
焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

）
例七：已知椭圆C ：22
142
x y +
=和直线:l y x m =+交于,A B 两点，且4AB =，求直线的方程。

7、圆锥曲线的中点弦问题：（直线和椭圆的交点设而不求）
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆122
22=+b
y a x 中，
以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0
20
2y a x b ；
例八：如果椭圆22
1369
x y +
=弦被点A （4，2）平分，求这条弦所在的直线方程是（答：280x y +-=）；
例九：（2）已知直线y=－x+1与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>相交于A 、B 两
点，且线段AB 的中点在直线L ：x －2y=0；
例10：试确定m 的取值范围，使得椭圆13
42
2=+y x 上有不同的两点关于直
线m x y +=4对称（答：⎛ ⎝⎭
）
；
特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！。