排列数 课件 -2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
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有序，无变化就是无序.
m
符号 An 中的A是英文
arrangement(排列)
的第一个字母
排列数：
我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，
m
叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 An 表示.
m
n
A
取出元素数
元素总数
排列的第一个字母
m，n所满足的条件是：
(1) m∈N*，n∈N* ；
全排列数：
1. 全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同 元素的
一个全排列 .
全排列数为: Ann n( n 1)( n 2) 2 1 n！
2.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 n！表示, 即
Ann n !
规定：0 ! 1.
小结：
1. 排列数公式：A n( n 1)( n 2) ( n m 1). ( m , n N 且m n)
m
n
*
2. 全排列数: Ann n( n 1)( n 2) 2 1
3.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 n！表示, 即
∴不同的排法共有 A44 A31 A31 A33 78 种.
解2：甲站排头有 A44 种排法，乙站排尾有 A44 种排法.
3
但两种情况都包含了 “甲站排头, 且乙站排尾” 的情况，有A3 种排法.
5
4
3
∴ 不同的排法有 A5 2 A4 A3 78 种排法．
例题 证明：Anm mAnm 1 Anm1 .
解1：分两步完成：(特殊位置法)
(1) 从1到9这九个数中任选一个占据百位，有 A91 种方法.
(2) 从余下的9个数(包括数字0)中任选2个占据十位, 个位，有A92 种方法.
由分步计数原理可得，所求的三位数的个数为 A A 9 9 8 648.
1
9
2
9
解2：符合条件的三位数可以分三类：（特殊元素法）
从上述问题的解答过程可以看到，引入排列的概念，归纳出排列数公式，我们就
能便捷地求解“从个不同元素中取出( ≤ ��)个元素的所有排列数的个数”这类
特殊的计数问题.
变式1 用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是偶数?
解：(1) 0在个位的有 A92 个；
0
(2) 0在十位的有 A41 A81 个
Anm n( n 1)( n 2) ( n m 1). ( m , n N*且m n)
m
*
A
n
(
n
1)(
n
2)
(
n
m
1).
(
m
,
n
N
且m n )
排列数公式： n
排列数公式的特点：
1. 公式中是m个连续正整数的连乘积；
2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1).
、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc共12个，每一个都叫做
一个排列；共12个，12叫做从4个不同元素任取2个元素的排列数.
答案
“一个排列”不是数；“排列数”是一个自然数.
m
n
探究 从n个不同元素中取出m个元素的排列数 A (m≤n)是多少?
2
追问1: 如何求排列数 A n ？
第二步: 剩下的4人(含甲)中找2人排列, 有 A42种;
所以共有 A42
A41
48 种不同的排列方法.
巩固练习
练习4.从5人中选3人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？
解法三: (间接法)
先从5人中选3人排列, 有 A53种
2
然后计算甲站排头有 A4 种
所以共有 A53
A42
48种不同的排列方法.
Ann n !
规定：0 ! 1.
排列数公式的阶乘形式：
n!
A
.
( n m )!
m
n
3
解法3：从0—9这10个数字中选取3个的排列数为10
，其中0在百位上的排列数为29
，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的
3
个数为10
− 29 = 10 × 9 × 8 − 9 × 8 = 648.
对于例4这类计数问题，从不同的角度就有不同的解题方法.解法1根据百位数字
,另1名同学参加下午的活动,有几种不同的选法?
A 3 2 6.
2
3
问题2. 从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得
到多少个不同的三位数？
A43 4 3 2 24.
思考
排列与排列数相同吗？
如：问题1中从4个不同的元素a,b,c,d中任取2个元素的排列有ab、ac
6.2.2
排列数
复习引入
1.排列的定义：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺
序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
(arrangement).
2.排列问题的判断方法：
(1)元素的无重复性
(2)元素的有序性
判断的关键：变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是
n 132,则n _____ .
解：A n( n 1) 132,即n n 132 0,
2
n
2
解得n=12,或n 11 (舍去).
归纳公式
排列数公式的两种形式
m
*
1.排列数公式的连乘形式：An n( n 1)( n 2) ( n m 1). ( m , n N 且m n)
(5) 共有 A32 A33 36 种排法．
变式 5个人站成一排：
(6) 其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
解1：(6)可将问题分为两类：
① 甲站在排尾，其余的人可全排列，有 A44 种排法.
② 甲既不站在排尾也不站排头，乙不站排尾，其余的人可全排列，
有A31 A31 A33 种排法.
(2) m≤n .
例如，前面问题1是从3个不同元素中任取2个元素的排列为3×2＝6 ，
2
可记作：A3 3 2 6.
问题2是从4个不同元素中任取3个元素的排列数为4×3×2＝24 ，
3
可记作：A4 4 3 2 24.
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动
0
方法归纳
带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则
位置分析法
以位置为主，优
先考虑特殊位置
分步
元素分析法
以元素为主，优
先考虑特殊元素
先分类
后分步
直接法
先不考虑限制条件，计算出来所有排列数，
间接法
再从中减去全部不符合条件的排列数，从
而得出符合条件的排列数
巩固练习
练习4.从5人中选3人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？
n!
.
2.排列数公式的阶乘形式：A
( n m )!
排列数公式的选择
m
n
(1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数.
(2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等
式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算.
例4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数?
不能是0的要求，按分步乘法计数原理完成从10个数中取出3个数组成没有重复数字的
三位数这件事；解法2是以0是否出现以及出现的位置为标准，按分类加法计数原理完
成这件事；解法3是一种间接法，先求出从10个数中取出3个数的排列数，然后减去其
中百位是0的排列数(不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数.
；
(3) 没有0的有 A41 A82 个.
0
∴共有 A92 A41 A81 A41 A82 328 (个 ).
变式2 用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是奇数?
解：(1) 0在十位的有 A51 A81 个
；
(2) 没有0的有 A51 A82 个.
∴共有 A51 A81 A51 A82 320 (个 ).
3
A
追问2:பைடு நூலகம்如何求排列数 n ？
An2 可以按依次填2个空位得到：
An3 可以按依次填3个空位得到：
第1位
第2位
n种
A
2
n
(n-1)种
n(n 1)
m
n
第1位
第2位
第3位
n种
(n-1)种
(n-2)种
A
3
n
那么排列数 A 就可以按依次填m个空位得到：n
n(n 1)(n
2)
n 1 n 2 ··· n m? 1
n!
A
.
( n m )!
m
n
排列数公式
的阶乘形式
n!
.
(n m )!
排列数公式的应用：
连乘形式一般用于的计算，
阶乘形式用于化简或证明.
6
练习1 如果Anm 15 14 13 12 11 10,那么n _____
15 ,m ______
.
2
12
已知
A
练习2
A
m
An nn m .
An m
证明： A n( n 1)( n 2) ( n m 1)
m
n
排列数公式
的连乘形式
n
n
n m
n m
n( n 1)( n 2) ( n m 1)( n m ) 2 1 A
A
(n m ) 2 1
解：(1)由于没有条件限制，5个人可作全排列，所以不同的排法共有
A55 120 (种).
(2)由于甲的位置已确定，其余4人可任意排列，所以不同的排法有
A44 24 (种).
变式 5个人站成一排：
(l) 共有多少种不同的排法？
(2) 其中甲必须站在中间有多少种不同排法？
(3) 其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？
(4) 其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
(5) 其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法?
(6) 其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
解：(3) 共有 A22 A44 48 种排法.
(4) 共有 A33 A42 72 种排法 ；
或 A55 A22 A44 72 种排法.
典例分析
例1 计算：(1) A ；
3
7
(2) A ；
4
7
7
7
4
4
A
(3)
；
A
(4) A64 A22 .
3
解： (1) A7 7 6 5 210 ；
(2) A74 7 6 5 4 840 ；
A
3
7
A
A
7
7
4
4
7!
4!
7
7
4
4
A
7!
(3)
7 6 5 210 ；
变式 5个人站成一排：
(l) 共有多少种不同的排法？
(2) 其中甲必须站在中间有多少种不同排法？
(3) 其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？
(4) 其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
(5) 其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法?
(6) 其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
m 1
n
证明：A mA
m
n
n!
n!
m
( n m )!
( n m 1)!
( n m 1) n ! m n !
( n m 1)!
( n 1) n !
( n 1)!
Anm 1 .
( n m 1)! ( n m 1)!
∴Anm mAnm 1 Anm1 .
解法一: (特殊元素法)
第一类: 不选甲，则从剩下的4人中选3人排列，有 A43 种;
第二类: 选甲,先排甲有 A21 种，然后从剩下的4人中选2人
2
1
2
A
A
排列有A4 种，则共有 4
2 种;
所以共有 A43
A42
A21
48 种不同的排列方法.
解法二: (特殊位置法)
第一步: 从其余4位同学中找1人站排头, 有 A41 种;
(1) 每一位数字都不是0的三位数有 A93 个；
(2) 个位数字是0的三位数有 A92 个；
(3) 十位数字是0的三位数有A92 个.
由分类计数原理可得，所求的三位数的个数为 A93 A92 A92 648.
3
2
解3：（间接法） A10 A9 648.
例析
l
例4.用0—9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
A
4!
(4) A64 A22 6 5 4 3 2 1 6! 720 .
A
4
6
A
A
6
6
2
2
6
6
2
2
7
7
4
4
A
A
7!
4
2
6
4
；A6 A2 6! A6 ,即A6
. 观察这
思考 由例1可以看到，A
A
4!
A
两个结果，从中你发现它们的共性了吗？
3
7
n
m
符号 An 中的A是英文
arrangement(排列)
的第一个字母
排列数：
我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，
m
叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 An 表示.
m
n
A
取出元素数
元素总数
排列的第一个字母
m，n所满足的条件是：
(1) m∈N*，n∈N* ；
全排列数：
1. 全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同 元素的
一个全排列 .
全排列数为: Ann n( n 1)( n 2) 2 1 n！
2.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 n！表示, 即
Ann n !
规定：0 ! 1.
小结：
1. 排列数公式：A n( n 1)( n 2) ( n m 1). ( m , n N 且m n)
m
n
*
2. 全排列数: Ann n( n 1)( n 2) 2 1
3.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 n！表示, 即
∴不同的排法共有 A44 A31 A31 A33 78 种.
解2：甲站排头有 A44 种排法，乙站排尾有 A44 种排法.
3
但两种情况都包含了 “甲站排头, 且乙站排尾” 的情况，有A3 种排法.
5
4
3
∴ 不同的排法有 A5 2 A4 A3 78 种排法．
例题 证明：Anm mAnm 1 Anm1 .
解1：分两步完成：(特殊位置法)
(1) 从1到9这九个数中任选一个占据百位，有 A91 种方法.
(2) 从余下的9个数(包括数字0)中任选2个占据十位, 个位，有A92 种方法.
由分步计数原理可得，所求的三位数的个数为 A A 9 9 8 648.
1
9
2
9
解2：符合条件的三位数可以分三类：（特殊元素法）
从上述问题的解答过程可以看到，引入排列的概念，归纳出排列数公式，我们就
能便捷地求解“从个不同元素中取出( ≤ ��)个元素的所有排列数的个数”这类
特殊的计数问题.
变式1 用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是偶数?
解：(1) 0在个位的有 A92 个；
0
(2) 0在十位的有 A41 A81 个
Anm n( n 1)( n 2) ( n m 1). ( m , n N*且m n)
m
*
A
n
(
n
1)(
n
2)
(
n
m
1).
(
m
,
n
N
且m n )
排列数公式： n
排列数公式的特点：
1. 公式中是m个连续正整数的连乘积；
2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1).
、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc共12个，每一个都叫做
一个排列；共12个，12叫做从4个不同元素任取2个元素的排列数.
答案
“一个排列”不是数；“排列数”是一个自然数.
m
n
探究 从n个不同元素中取出m个元素的排列数 A (m≤n)是多少?
2
追问1: 如何求排列数 A n ？
第二步: 剩下的4人(含甲)中找2人排列, 有 A42种;
所以共有 A42
A41
48 种不同的排列方法.
巩固练习
练习4.从5人中选3人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？
解法三: (间接法)
先从5人中选3人排列, 有 A53种
2
然后计算甲站排头有 A4 种
所以共有 A53
A42
48种不同的排列方法.
Ann n !
规定：0 ! 1.
排列数公式的阶乘形式：
n!
A
.
( n m )!
m
n
3
解法3：从0—9这10个数字中选取3个的排列数为10
，其中0在百位上的排列数为29
，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的
3
个数为10
− 29 = 10 × 9 × 8 − 9 × 8 = 648.
对于例4这类计数问题，从不同的角度就有不同的解题方法.解法1根据百位数字
,另1名同学参加下午的活动,有几种不同的选法?
A 3 2 6.
2
3
问题2. 从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得
到多少个不同的三位数？
A43 4 3 2 24.
思考
排列与排列数相同吗？
如：问题1中从4个不同的元素a,b,c,d中任取2个元素的排列有ab、ac
6.2.2
排列数
复习引入
1.排列的定义：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺
序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
(arrangement).
2.排列问题的判断方法：
(1)元素的无重复性
(2)元素的有序性
判断的关键：变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是
n 132,则n _____ .
解：A n( n 1) 132,即n n 132 0,
2
n
2
解得n=12,或n 11 (舍去).
归纳公式
排列数公式的两种形式
m
*
1.排列数公式的连乘形式：An n( n 1)( n 2) ( n m 1). ( m , n N 且m n)
(5) 共有 A32 A33 36 种排法．
变式 5个人站成一排：
(6) 其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
解1：(6)可将问题分为两类：
① 甲站在排尾，其余的人可全排列，有 A44 种排法.
② 甲既不站在排尾也不站排头，乙不站排尾，其余的人可全排列，
有A31 A31 A33 种排法.
(2) m≤n .
例如，前面问题1是从3个不同元素中任取2个元素的排列为3×2＝6 ，
2
可记作：A3 3 2 6.
问题2是从4个不同元素中任取3个元素的排列数为4×3×2＝24 ，
3
可记作：A4 4 3 2 24.
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动
0
方法归纳
带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则
位置分析法
以位置为主，优
先考虑特殊位置
分步
元素分析法
以元素为主，优
先考虑特殊元素
先分类
后分步
直接法
先不考虑限制条件，计算出来所有排列数，
间接法
再从中减去全部不符合条件的排列数，从
而得出符合条件的排列数
巩固练习
练习4.从5人中选3人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？
n!
.
2.排列数公式的阶乘形式：A
( n m )!
排列数公式的选择
m
n
(1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数.
(2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等
式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算.
例4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数?
不能是0的要求，按分步乘法计数原理完成从10个数中取出3个数组成没有重复数字的
三位数这件事；解法2是以0是否出现以及出现的位置为标准，按分类加法计数原理完
成这件事；解法3是一种间接法，先求出从10个数中取出3个数的排列数，然后减去其
中百位是0的排列数(不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数.
；
(3) 没有0的有 A41 A82 个.
0
∴共有 A92 A41 A81 A41 A82 328 (个 ).
变式2 用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是奇数?
解：(1) 0在十位的有 A51 A81 个
；
(2) 没有0的有 A51 A82 个.
∴共有 A51 A81 A51 A82 320 (个 ).
3
A
追问2:பைடு நூலகம்如何求排列数 n ？
An2 可以按依次填2个空位得到：
An3 可以按依次填3个空位得到：
第1位
第2位
n种
A
2
n
(n-1)种
n(n 1)
m
n
第1位
第2位
第3位
n种
(n-1)种
(n-2)种
A
3
n
那么排列数 A 就可以按依次填m个空位得到：n
n(n 1)(n
2)
n 1 n 2 ··· n m? 1
n!
A
.
( n m )!
m
n
排列数公式
的阶乘形式
n!
.
(n m )!
排列数公式的应用：
连乘形式一般用于的计算，
阶乘形式用于化简或证明.
6
练习1 如果Anm 15 14 13 12 11 10,那么n _____
15 ,m ______
.
2
12
已知
A
练习2
A
m
An nn m .
An m
证明： A n( n 1)( n 2) ( n m 1)
m
n
排列数公式
的连乘形式
n
n
n m
n m
n( n 1)( n 2) ( n m 1)( n m ) 2 1 A
A
(n m ) 2 1
解：(1)由于没有条件限制，5个人可作全排列，所以不同的排法共有
A55 120 (种).
(2)由于甲的位置已确定，其余4人可任意排列，所以不同的排法有
A44 24 (种).
变式 5个人站成一排：
(l) 共有多少种不同的排法？
(2) 其中甲必须站在中间有多少种不同排法？
(3) 其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？
(4) 其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
(5) 其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法?
(6) 其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
解：(3) 共有 A22 A44 48 种排法.
(4) 共有 A33 A42 72 种排法 ；
或 A55 A22 A44 72 种排法.
典例分析
例1 计算：(1) A ；
3
7
(2) A ；
4
7
7
7
4
4
A
(3)
；
A
(4) A64 A22 .
3
解： (1) A7 7 6 5 210 ；
(2) A74 7 6 5 4 840 ；
A
3
7
A
A
7
7
4
4
7!
4!
7
7
4
4
A
7!
(3)
7 6 5 210 ；
变式 5个人站成一排：
(l) 共有多少种不同的排法？
(2) 其中甲必须站在中间有多少种不同排法？
(3) 其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？
(4) 其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
(5) 其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法?
(6) 其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
m 1
n
证明：A mA
m
n
n!
n!
m
( n m )!
( n m 1)!
( n m 1) n ! m n !
( n m 1)!
( n 1) n !
( n 1)!
Anm 1 .
( n m 1)! ( n m 1)!
∴Anm mAnm 1 Anm1 .
解法一: (特殊元素法)
第一类: 不选甲，则从剩下的4人中选3人排列，有 A43 种;
第二类: 选甲,先排甲有 A21 种，然后从剩下的4人中选2人
2
1
2
A
A
排列有A4 种，则共有 4
2 种;
所以共有 A43
A42
A21
48 种不同的排列方法.
解法二: (特殊位置法)
第一步: 从其余4位同学中找1人站排头, 有 A41 种;
(1) 每一位数字都不是0的三位数有 A93 个；
(2) 个位数字是0的三位数有 A92 个；
(3) 十位数字是0的三位数有A92 个.
由分类计数原理可得，所求的三位数的个数为 A93 A92 A92 648.
3
2
解3：（间接法） A10 A9 648.
例析
l
例4.用0—9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
A
4!
(4) A64 A22 6 5 4 3 2 1 6! 720 .
A
4
6
A
A
6
6
2
2
6
6
2
2
7
7
4
4
A
A
7!
4
2
6
4
；A6 A2 6! A6 ,即A6
. 观察这
思考 由例1可以看到，A
A
4!
A
两个结果，从中你发现它们的共性了吗？
3
7
n