2019届高考数学二轮复习高考大题专项练五解析几何B理

五解析几何(B)
1.(2018·上饶三模)已知椭圆C1;+y2=1(a>1)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M.
(1)求点M的轨迹C2的方程;
(2)当直线AB与椭圆C1相切,交C2于点A,B,当∠AOB=90°时,求AB的直线方程.
2.(2018·烟台模拟)已知动圆C与圆E;2+(y-1)2=外切,并与直线y=-相切.
(1)求动圆圆心C的轨迹Γ;
(2)若从点P(m,-4)作曲线Γ的两条切线,切点分别为A,B,求证;直线AB恒过定点.
3.(2018·商丘二模)已知抛物线C;y2=2p(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交C于A(1,y1),B(2,y2)两点,y1y2=-
4.
(1)求抛物线方程;
(2)点B在准线l上的投影为E,D是C上一点,且AD⊥EF,求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.
4.(2018·河南许昌质检)在平面直角坐标系Oy中,动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4.
(1)求动点M的轨迹Γ的方程;
(2)已知斜率为的直线l交Γ于不同的两点A,B,是否存在定点P,使得直线PA,PB的斜率的和恒等于0,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
1.解;(1)由e2===,得a=,c=1,
故F1(-1,0),F2(1,0),
依条件可知|MP|=|MF2|,
所以点M的轨迹是以l1为准线,F2为焦点的抛物线,
所以C2的方程为y2=4.
(2)显然当AB斜率不存在时,不符合条件.
当AB斜率存在时,设AB;y=+m,
由消y得(1+22)2+4m+2m2-2=0,
因为AB与C1相切,
所以Δ=162m2-4(1+22)(2m2-2)=0,
得m2=22+1>1,①
又由消y得22+(2m-4)+m2=0,
设A(1,y1),B(2,y2),则1+2=,12=,
且有得≠0,m<1,
因为OA⊥OB,
所以·=12+y1y2=(1+2)12+m(1+2)+m2=()2+4·=0,得m=-4,
联立①,得=±,
故直线AB的方程为y=±(-4).
2.(1)解;由题意知,圆E的圆心E(0,1),半径为.设动圆圆心C(,y),半径为r. 因为圆C与直线y=-相切,所以d=r,
即y+=r.①
因为圆C与圆E外切,所以|CE|=+r,
即=+r.②
联立①②,消去r,可得2=4y.
所以C点的轨迹Γ是以E(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线.
(2)证明;由已知直线AB的斜率一定存在.不妨设直线AB的方程为y=+b.
联立整理得2-4-4b=0,
其中Δ=16(2+b)>0,
设A(1,y1),B(2,y2),则1+2=4,12=-4b.①
由抛物线的方程可得y=2,所以y′=.
所以过A(1,y1)的抛物线的切线方程为
y-y1=1(-1),
又y1=,代入整理得y=1-.
因为切线过P(m,-4),代入整理得-2m1-16=0,
同理可得-2m2-16=0.
所以1,2为方程2-2m-16=0的两个根,所以1+2=2m,12=-16.②
由①②可得12=-4b=-16,1+2=4=2m.
所以b=4,=,AB的方程为y=+4.
当=0时,y=4,
所以直线AB恒过定点(0,4).
3.解;(1)依题意F(,0),
当直线AB的斜率不存在时,y1y2=-p2=-4,p=2,
当直线AB的斜率存在时,设AB;y=(-),
由化简得y2-y-p2=0,
由y1y2=-4得p2=4,p=2,
所以抛物线方程为y2=4.
(2)设D(0,y0),B(,t),则E(-1,t),
又由y1y2=-4,可得A(,-),
因为EF=-,AD⊥EF,所以AD=,
故直线AD;y+=(-),
即2-ty-4-=0,
由化简得y2-2ty-8-=0,
所以y1+y0=2t,y1y0=-8-.
所以|AD|=|y1-y0|
==, 设点B到直线AD的距离为d,则
d==,
所以S△ABD=|AD|·d=≥16,
当且仅当t4=16,即t=±2时取等号,
当t=2时,AD;-y-3=0,
当t=-2时,AD;+y-3=0.
4.解;(1)设动点M的坐标为(,y),
因为动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4,4>2,
根据椭圆的定义,知所求的动点M的轨迹Γ是以点(-1,0)与点(1,0)为焦点的椭圆. 所以解得
所以轨迹Γ的方程为+=1.
(2)假设存在定点P(0,y0),使得直线PA,PB的斜率的和为0.
设A(1,y1),B(2,y2),直线PA,PB的斜率分别为1,2.
斜率为的直线l的方程为y=+m(m∈R),
由
得2+m+m2-3=0,
所以Δ=m2-4(m2-3)=-3(m2-4)>0,
所以m2<4,解得-2<m<2.
又
所以y1+y2=(1+2)+2m=m,
因为1+2=+=0,
所以(y1-y0)(2-0)+(y2-y0)(1-0)=0,y12+y21+20y0-0(y1+y2)-y0(1+2)=0,
所以(1+m)2+(2+m)1+20y0-0×-y0(-m)=0.
所以12+m(1+2)+20y0+my0-0=0,
所以m(y0-0)+20y0-3=0对于-2<m<2恒成立,
所以
解得或
所以存在定点P,坐标为(1,)或(-1,-),使得直线PA,PB的斜率的和恒等于0.。