第3节 简谐运动的回复力和能量

第3节简谐运动的回复力和能量
一、简谐运动的回复力
阅读教材第10～11页，了解回复力的概念和特点，初步知道物体做简谐运动的动力学条件。

1.命名：回复力是根据力的(填“效果”或“性质”)命名的。

2.效果：把物体拉回到位置。

3.方向：总是与位移x的方向相反，即总是指向。

4.表达式：F＝，该式表明做简谐运动的物体的回复力与位移的关系，“－”表明回复力与位移的方向始终。

5.简谐运动的动力学定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成，并且总是指向，质点的运动就是简谐运动。

思考判断
(1)回复力的方向总是与位移的方向相反。

()
(2)回复力的方向总是与速度方向相反。

()
(3)回复力的方向总是与加速度的方向相反。

()
(4)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此加速度一定为零。

()
(5)回复力可以是一个力的分力，也可以是几个力的合力。

()
二、简谐运动的能量
阅读教材第11～12页，初步认识简谐运动过程中动能和势能的相互转化及总机械能的特点。

1.简谐运动的能量：指振动系统的机械能。

振动过程就是动能和势能相互转化的过程。

(1)在最大位移处，最大，最小为零。

(2)在平衡位置处，最大，最小。

2.决定能量大小的因素
(1)振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能越大，振动越强。

(2)在简谐运动中，振动系统的机械能，所以简谐运动是等幅振动，是一种理想化模型。

思考判断
(1)水平弹簧振子做简谐运动时机械能守恒。

()
(2)做简谐运动的物体在平衡位置处动能最大，在最大位移处动能最小。

()
(3)做简谐运动的物体能量变化的周期等于简谐运动的周期。

()
简谐运动的回复力
[要点归纳]
1.回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供，其表达式都可写成F＝－kx。

例如：如图甲所示，水平方向上弹簧的弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向上弹簧的弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，A随B一起振动，A的回复力是静摩擦力。

2.F＝－kx，“负号”表示回复力的方向与位移方向始终相反。

3.表达式反应出了回复力F与位移x之间的正比关系，位移越大，回复力越大；位移增大为原来的几倍，回复力也增大为原来的几倍。

4.因x＝A sin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kA sin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。

5.式中“k”虽然是系数，但有单位，其单位是由F和x的单位决定的，即为N/m。

6.简谐运动中，x变化时回复力F随之改变，由a＝F
m可知a也随x改变，所以简
谐运动是一个变加速运动。

其加速度跟位移的关系a＝－k
m x，即加速度大小跟位
移大小成正比，方向相反。

[精典示例]
[例1] (多选)如图1所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是()
图1
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C.振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D.振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
回复力是一种效果力，和圆周运动中向心力定义类似，可理解为物体做简谐运动时，受到指向平衡位置的合力效果。

[针对训练1] (多选)一质点做简谐运动的振动图象如图2所示，则该质点()
图2
A.在0～0.01 s内，速度与加速度同向
B.在0.01～0.02 s内，速度与回复力同向
C.在0.025 s时，速度为正，加速度为正
D.在0.04 s时，速度最大，回复力为零
简谐运动的能量
[要点归纳]
1.如果摩擦力等阻力造成的损耗可以忽略，在弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，即机械能守恒。

2.简谐运动的机械能由振幅决定
对同一振动系统来说，振幅越大，振动的能量越大。

如果没有能量损耗，振幅保持不变，它将永不停息地振动下去，因此简谐运动又称等幅振动。

3.实际的运动都有一定的能量损耗，所以简谐运动是一种理想化的模型。

[精典示例]
[例2]如图3所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M。

图3
(1)简谐运动的能量取决于________，振子振动时动能和__________相互转化，总机械能________。

(2)(多选)振子在振动过程中，下列说法中正确的是()
A.振子在平衡位置，动能最大，势能最小
B.振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C.振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D.在任意时刻，动能与势能之和保持不变
(3)(多选)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是()
A.振幅不变
B.振幅减小
C.最大动能不变
D.最大动能减小
简谐运动中，振幅不变，简谐运动的总能量就不会变，动能增大(减小)势能减小(增大)，而动能的变化可以看速率的变化。

[针对训练2](2019·绵阳市南山中学期中)如图4所示，由轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个竖直方向振动的弹簧振子，弹簧的上端固定于天花板，当物块处于静止状态时，取它的重力势能为零，现将物块向下拉一小段距离后放手，此后振子在平衡位置附近上下做简谐运动，不计空气阻力，则()
图4
A.振子速度最大时，振动系统的势能为零
B.振子速度最大时，物块的重力势能与弹簧的弹性势能相等
C.振子经平衡位置时，振动系统的势能最小
D.振子在振动过程中，振动系统的机械能不守恒
简谐运动中各物理量的变化情况
[要点归纳]
如图所示的弹簧振子
[精典示例]
[例3]把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图5所示，下列结论正确的是()
图5
A.小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B.小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C.小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D.小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加
(1)简谐运动中的最大位移处，F、a、E p最大，E k＝0；在平衡位置，F＝0，a＝0，x＝0，E p＝0，而E k最大。

(2)竖直弹簧振子的能量组成：对竖直弹簧振子来说，振动能量包含动能、弹性势能、重力势能。

[针对训练3] (多选)如图6所示是某一质点做简谐运动的图象，下列说法正确的是()
图6
A.在第1 s内，质点速度逐渐增大
B.在第1 s内，质点加速度逐渐增大
C.在第1 s内，质点的回复力逐渐增大
D.在第4 s内质点的动能逐渐增大
E.在第4 s内质点的机械能逐渐增大
1.物体做简谐运动时，下列叙述中正确的是( ) A.平衡位置就是回复力为零的位置 B.处于平衡位置的物体，一定处于平衡状态 C.物体到达平衡位置，合力一定为零 D.物体到达平衡位置，回复力不一定为零
2.对于弹簧振子的回复力与位移的关系图象，下列图象中正确的是( )
3.(多选)一个弹簧振子做简谐运动的周期为T ，设t 1时刻振子不在平衡位置，经过一段时间到t 2时刻，振子的速度与t 1时刻的速度大小相等、方向相同，若t 2－t 1<T
2，
如图7所示，则( )
图7
A.t 2时刻振子的加速度一定跟t 1时刻的大小相等、方向相反
B.在t 1～t 2的中间时刻，振子处在平衡位置
C.在t 1～t 2时间内，振子的运动方向不变
D.在t 1～t 2时间内，振子所受回复力的方向不变
4.如图8所示，弹簧上面固定一质量为m 的小球，小球在竖直方向上做振幅为A 的简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，则小球在振动过程中( )
图8
A.小球最大动能应等于mgA
B.弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变
C.弹簧最大弹性势能等于2mgA
D.小球在最低点时的弹力大于2mg
5. (多选)关于质点做简谐运动，下列说法可能正确的是()
A.在某一时刻，它的速度与回复力的方向相同，与位移的方向相反
B.在某一时刻，它的速度、位移和加速度的方向都相同
C.在某一段时间内，它的回复力的大小增大，动能也增大
D.在某一段时间内，它的势能减小，加速度的大小也减小
基础过关
1.(多选)关于回复力的说法正确的是()
A.回复力是指物体受到的总是指向平衡位置的合外力
B.回复力是指物体受到的合外力
C.回复力是以力的作用效果来命名的，它可以是弹力，也可以是重力的分力或静摩擦力，还可以是这些力的合力
D.回复力实际上就是向心力
2.有一个在y轴方向上做简谐运动的物体，其振动曲线如图1所示。

关于下列判断正确的是()
图1
A.图甲可作为该物体的速度—时间(v－t)图象
B.图乙可作为该物体的回复力—时间(F－t)图象
C.图丙可作为该物体的回复力—时间(F－t)图象
D.图丁可作为该物体的加速度—时间(a－t)图象
3.如图2所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，当物体B离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于()
图2
A.0
B.kx
C.m
M kx D.
m
M＋m
kx
4.做简谐运动的弹簧振子，其质量为m，最大速率为v0，若从某时刻算起，在半个周期内，合外力()
A.做功一定为0
B.做功一定不为0
C.做功一定是1
2m v
2
D.做功可能是0到1
2m v
2
之间的某一个值
5.(多选)在光滑固定斜面上的物块A被平行于斜面的轻弹簧拉住静止于O点，如图3所示。

现将物块A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块A在B、C范围内做简谐运动，则下列说法正确的是()
图3
A.OB越长，振动能量越大
B.在振动过程中，物块A的机械能守恒
C.物块A在C点时，由物块A与轻弹簧构成的系统势能最大，在O点时最小
D.物块A在C点时，由物块A与轻弹簧构成的系统势能最大，在B点时最小
6.(多选)(2019·深圳高二检测)如图4所示为某物体做简谐运动的图象，下列说法正确的是()
图4
A.物体在0.2 s时刻与0.4 s时刻的速度相同
B.物体在0.6 s时刻与0.4 s时刻的动能相同
C.0.7～0.9 s时间内物体的加速度在减小
D.0.9～1.1 s时间内物体的势能在增加
7.(多选)如图5所示，弹簧振子在C、B间做简谐运动，O点为其平衡位置，则()
图5
A.振子在由C点运动到O点的过程中，回复力逐渐增大
B.振子在由O点运动到B点的过程中，速度不断增加
C.振子在O点加速度最小，在B点加速度最大
D.振子通过平衡位置O点时，动能最大，势能最小
能力提升
8.(2019·商丘高二检测)一弹簧振子的振幅为A，周期T＝4t0。

若振子从平衡位置
处开始经过时间t0
3时的加速度大小和动能分别为a1和E1，而振子在位移为
A
3时加
速度大小和动能分别为a2和E2，则a1、a2和E1、E2的大小关系为()
A.a1＞a2，E1＜E2
B.a1＞a2，E1＞E2
C.a1＜a2，E1＜E2
D.a1＜a2，E1＞E2
9.(2019·上饶高二检测)如图6所示，当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法正确的是()
图6
A.振子经过同一位置时，速度大小一定相同
B.振子从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹力始终做负功
C.振子在从最低点向平衡位置运动过程中受到重力、弹力和回复力
D.振子在平衡位置时，其动能最大，弹簧的弹性势能最小
10.如图7所示，光滑的水平面上放有一弹簧振子，轻弹簧右端固定在滑块上，已知滑块质量m＝0.5 kg，弹簧劲度系数k＝240 N/m，将滑块从平衡位置O向左平移，将弹簧压缩5 cm，静止释放后滑块在A、B间滑动，则：
图7
(1)滑块加速度最大是在A、B、O三点中哪点？此时滑块加速度多大？
(2)滑块速度最大是在A、B、O三点中哪点？此时滑块速度多大？(假设整个系统具有的最大弹性势能为0.3 J)
11.如图8所示，C、B两木块的质量分别为m、M，中间弹簧的劲度系数为k，弹簧下端与B连接，C与弹簧不连接，现将C下压一段距离释放，它就上下做简谐运动，振动过程中，C始终没有离开弹簧，试求：
(1)C振动的振幅的最大值；
(2)C以最大振幅振动时，B对地面的最大压力。

图8
12.如图9所示，一个轻弹簧与一个质量为m＝0.5 kg的小球所构成的弹簧振子放在光滑金属杆上，已知该弹簧的劲度系数k＝200 N/m，O点是弹簧振子静止时的位置，今将振子向右拉10 cm到A点，此时外力对弹簧振子做功为1 J，然后由静止释放，则它在A、B之间运动，不计其他阻力，求：
图9
(1)振子在哪点的速度最大？最大速度为多少？
(2)振子在A点的位移；
(3)振子在B点的加速度。