浅谈数学问题中的隐含条件

浅谈数学问题中的隐含条件
所谓隐含条件是指题中若明若暗、含蓄不露的已知条件。

它们常是巧妙地隐蔽在题设的背后,不易为人们所觉察。

发掘隐含条件,实质上就是要使题设条件明朗化、完备化和具体化,以便明确解题方向,寻求解题思路。

从总体上说,发掘隐含条件,需要扎实的基础知识,熟练的基本技能,灵活的思想方法,严谨的思维能力。

通常可以从数学题所及的概念、题设、图形等方面的具体特征入手,通过分析、比较、观察、联想等方法,逐步探索和转化。

一、根据概念特征挖掘隐含条件
有些数学题,可以从分析概念的本质特征入手,挖掘隐含条件,发现解题契机。

例12+x 与()21-y 互为相反数，求代数式：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+---y x xy xy y x xy y x 2222481433 的值。

分析 本题的隐含条件是互为相反数的两数和为零。

由2+x 是一个非负数，()21-y 也是一个非负数，并且 2+x 与()2
1-y 是互为相反数的。

由互为相反数的意义，得到12=-=y x ， ，这样就创造了代入求值的条件。

解： ∵ 2+x 与()21-y 互为相反数
∴ 2+x ()012=-+y
∴ 02=+x ，()012=-y
∴ 12=-=y x ，
⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+---y x xy xy y x xy y x 2222
481433
y x xy xy y x xy y x 2222421433---+-=
xy xy y x 23
41022--=
当12=-=y x ，
原式()()()122
3124121022⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯=
3840++=
51=
所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+---y x xy xy y x xy y x 2222481433 的值为51。

二、从题设条件中挖掘隐含条件
有些数学问题中，只要分析题设中的条件，挖掘出隐含的条件，就能达到“柳暗花明又一村”的效果。

例 2 已知多项式()132522----xy y axy x 中不含xy 的项，求()()
43122223+-+-+-+-a a a a a a 的值。

分析 利用题设提供的不含有xy 的项，故xy 项的系数必须为
零。

要求代数式的值，就要求出a 的值。

根据已知原多项式
中
不含有xy 的项，利用合并同类项，可得，()021=-a ，从中
出a 的值并代入求解。

解： ∵ 多项式()132522----xy y axy x 中不含xy 的项
又原式132522++--=xy y axy x
()1321522+--+=y xy a x
∴ ()021=-a
∴ 2
1=a
()()43122323+-+-+-+-a a a a a a
=43122323-+--+-+-a a a a a a
3223---=a a 当21=a 时 原式32121223-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-= 34
141---= 2
7-= 故所求()()43122223+-+-+-+-a a a a a a 的值为2
7-。

例 3 如图所示，在梯形ABCD 中，AD //BC ︒=∠75ABC ,将梯形沿直线EF 翻折，使B 点落在线段AD 上，记作B '点，连接B 、B '交EF 于O 点，若︒='∠90FC B ，则EO :FO =__________
分析 解本题的关键是找到隐含的条件EF 垂直平分B B '，FC B BFO '∠=∠。

将梯形沿直线EF 翻折，实质是作BEF ∆关于直线EF 的轴对称图形，点B 和B '是对称点，因此可挖掘隐含条件EF 垂直平分B B '，FC B BFO '∠=∠。

又因为︒='∠90FC B ，所以BOF ∆是等腰直角三角形，FO BO =，由︒=∠75ABC ，得︒=∠30EBO ，所以，求EO :FO 可转化为求3
3tan =∠EBO 。

三、挖掘在图形中的隐含条件
有些数学问题的已知条件隐含在图形中，需要解题者仔细分析题意，采用数形结合的方法，在示意图中挖掘隐含条件。

例4 （中考试题）如图所示，已知DE BO =，BE 与CF 相交于点D ，BCD OFE ∠=∠，DBC EOF ∠=∠，且点A 、F 、E 三点在同一直线上。

求证：OEF AFD ∠=∠2。

分析 要求证结论，需要扎实的基础知识，仔细分析题意，采用数形结合的方法，在示意图中挖掘出隐含条件。

本题的隐含条件就是：AFD ∠是FDE ∆的一个外角。

由三角形的一个外角会等于与其不相邻的两个内角的和，得OEF FDE AFD ∠+∠=∠，把问题转化为求证OEF FDE ∠=∠。

根据题设的已知条件， ⎪⎩
⎪⎨⎧=⇒=∠=∠∠=∠OE BD DE BO EOF DBC OFE BCD
不难证得OFE BCD ∆≅∆（“AAS ”），由全等三角形的性质可得，OFE BDC ∠=∠。

而BDC ∠与FDE ∠是对顶角，则FDE BDC ∠=∠，所以FDE OEF ∠=∠，证得OEF AFD ∠=∠2。

初中几何题的证明是初中数学的难点，善于挖掘题目中的隐含条件，可以迅速揭开问题的实质，简缩思维过程，优化解题思路
四、 挖掘计算问题中隐含条件
例5．已知4-=+y x ，2=xy ，求x y y x +的值。

分析 由2=xy ，得x ，y 同号，从4-=+y x 可知，x ，y 中至少有一个是负数，所以x ，y 一定都是负数。

利用这一隐含条件可以使问题顺利获解。

解： ∵4-=+y x ，2=xy ，∴0 x x ，0 y
∴
x y y x +=()()xy y xy x 22-+- =xy y
xy x -+- =()xy y x +-=24
--=22-=
本题不但利用隐含条件确定了x ，y 的符号，还采用了一个计算技巧（即没有化去分母中的根号，而是采用了通分的方式，把两个根式的分母化成同分母），使运算更加简便。

由上得知，在教学中教师除了要求学生具备扎实过硬的基础知识和基本技能外，还要帮助学生掌握严谨的思维方法，养成良好的审题习惯，不断提高学生的鉴别能力，培养学生分析问题和解决问题的能力，从而发展学生的智力。

在解题教学中，教师要引导学生在实践中演练，感知，体会解题的思想方法，逐步形成一系列行之有效的解题策略．因此，在数学教学过程当中,教师要从根本上提高学生的数学解题能力，必须在注重基础知识教学的同时，强化对学生思维方法的训练，以其“授之以鱼”，不如“授之以渔”。

在数学教学中只有把培养、发展学生的思维能力放在重要地位，才能真正提高学生分析和解决实际问题的能力，才能使教学达到事半功倍的效果，如果我们练就了挖掘题中隐含条件的慧眼，就能很快找到解证所缺的元素。

2013年7月6日。