福建省晋江市高二数学上学期期中试题 理

A 2017年秋高二年期中考试数学（理）科试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一,选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）
1.命题：“0x R ∃∈，020x
≤”的否定是（ ）
A ．0x R ∃∈，020x >
B ．不存在0x R ∈，020x
> C ．x R ∀∈，20x >
D ． x R ∀∈，20x ≤
2.抛物线2
2x y =的焦点坐标是( )
A.)0,1(
B. )0,2
1(
C. )8
1
,0(
D. )4
1,0(
3.
x y 2=，则该双曲线的离心率为( )
A
B ．2
C
D 4.如图，在平行六面体1111D C B A ABCD -中,点M 为AC 与BD 的交点， 若a B A =1
1，
,,111c A A b D A ==则下列向量中与M B 1相等的是（ ）
A ．+--2121
B ．++2121
C ．+-2121
D ．++-2
1
21
5.平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”， 命题乙：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
6.“|x|<2”是“x 2
-x-6<0”的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB=∠A 1AD
=60º，且A 1A=3，则A 1C 的长为（ ） A ．5 B ．22 C ．14 D ．17
8．空间四边形OABC 中，OA=6,AB=4,AC=3,BC=6，∠OAC ＝∠OAB ＝π3，则cos 〈OA →，BC →
〉等于( )
A.
2
1
B.
22 C ．12
1 D ．
6
1
9.已知椭圆)20(1422
2<<=+b b
y x 的左，
右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，若22AF BF +的最大值为5，则b 的值是( ) A. 1 B.2 C.
2
3
D.3
10.已知命题:p 椭圆22
41+=x y 上存在点M 到直线:2620+-=l x y 的距离为1，命题
:q 椭圆2222754+=x y 与双曲线22916144-=x y 有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）
A ． ()∧⌝p q
B ．()⌝∧p q C. ()()⌝∧⌝p q D ．∧p q 11. 如图，过抛物线x y 42
=焦点的直线依次交抛物线和圆1)1(2
2
=+-y x 于A 、B 、C 、D 四点，则|AB |·|CD |＝( )
A ．4
B ．2
C ．1 D.1
2
12.已知A,B,P 是双曲线122
22=-b
y a x 上的不同三点，且AB 连线经过原点，若直线PA ，PB 的
斜率乘积3
2
=
•PB PA K K ，则该双曲线的离心率为（ ） A.
3
15
B.25
C. 210
D.2
二、填空题（每小题5分，共25分）
13. 若双曲线
22
116y x m
-=的离心率e=2，则m= 。

14、已知命题P ：任意“[]2,1∈x ，02
≥-a x ”，命题q ：“存在()011,2
<+-+∈x a x R x ”
若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是 。

15.已知点A 是抛物线px y 22
= (p ＞0)上一点，F 为其焦点，以F 为圆心，|FA|为半径的圆交准线于B ，C 两点，△FBC 为正三角形，且△ABC 的面积是128
3
，则抛物线的方程为 。

16.已知椭圆1:C 2222111x y a b +=与双曲线2C :22
22221x y a b -=有公共的焦点
12,F F ，且在第一象限交点为P ，且124
cos =5
F PF ∠．若1C 与2C 的离
心率分别为1e 、2e ，则
12
11
e e +的最大值为 。

三、解答题（10+12+12+12+12+12=70分，写出必要的解题过程） 17.（本小题满分10分）
设命题p ：方程
221122
x y m m +=-+表示双曲线；命题q ：022,02
00=-++∈∃m mx x R x （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围． （2）若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围． （3）求使“q p ∨”为假命题的实数m 的取值范围．
18.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，4)，离心率为3
5
.
(1)求C 的方程；
(2)求过点(3，0)且斜率为4
5的直线被C 所截线段的中点坐标.
19、在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB=AC=2，A 1A=4，点D 是BC 的中点；
（I ）求异面直线A 1B ，AC 1所成角的余弦值； （II ）求直线AB 1与平面C 1AD 所成角的正弦值．
20.如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，060ABC ∠=，
,E F 分别是,BC PC 的中点．
（Ⅰ）证明：AE PD ⊥；
（Ⅱ）若2,2AB PA ==，求二面角E AF C --的余弦值．
21.在圆2
2
4x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段，D 为垂足，点M 在线段DP 上，且2DP =，点P 在圆上运动。

(1)求点M 的轨迹方程；
(2)过定点()1,0C -的直线与点M 的轨迹交于,A B 两点，在x 轴上是否存在点N ，使
NA NB ⋅u u u v u u u v
为常数，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。

22．如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围．
季延中学2017年秋高二年期中考试数学（理）参考答案 一： CCCDB AACDB CA
二：13, 48 14，()1,-∞- 15, y 2
＝16x 16,
103
三：
17.解（1）∵方程
22
1122
x y m m +=-+表示双曲线， ∴(12)(2)0m m -+<，即2m <-或1
2
m >。

…………4分 （2）2-≤m 或1≥m …………7分
（3）要使“q p ∨”为假命题，则p ，q 都是假命题，
∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤
≤-1
22
12m m 得212≤<-m m ∴的取值范围为]2
1
,2(- …………10分
18.解 (1)将(0，4)代入C 的方程得16
b
2＝1，∴b ＝4.
又由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝9
25
，
∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 2
16
＝1. …………5分
(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y ＝4
5
(x －3). …………6分
设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝4
5(x －3)代入C 的方程，
得x 2
25＋（x －3）2
25＝1，即x 2
－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412
. …………9分 设线段AB 的中点坐标为(x ′，y ′)，则x ′＝x 1＋x 22＝3
2，y ′＝y 1＋y 22＝2
5
(x 1＋x 2－6)＝－65
，
即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2，－65. …………12分
19. 【答案】（I ）（II ）
解：（I ）以
，
，
为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，………1分
则可得B （2，0，0），A 1（0，0，4），C 1（0，2，4），D （1，1，0），
∴=（2，0，﹣4），
=（0，2，4），
∴cos ＜
，
＞=
=
………………5分
∴异面直线A 1B ，AC 1所成角的余弦值为………………6分 （II ）由（I ）知，
=（2，0，﹣4），
=（1，1，0），
设平面C 1AD 的法向量为=（x ，y ，z ）， 则可得1n AC 0
n AD 0
⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u r r u u u r
，即，取x=1可得=（1，﹣1，），……………9分
设直线AB 1与平面C 1AD 所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=…………11分
∴直线AB 1与平面C 1AD 所成角的正弦值为：
…………12分
20. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
15
． 试题解析：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，060ABC ∠=，可得ABC ∆为正三角形， 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥，又//BC AD ，因此AE AD ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥， 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA AD A =I ，
所以AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，所以AE PD ⊥．………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,AE AD AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，…………6分
又,E F 分别为,BC PC 的中点，
所以31
(0,0,0),(3,1,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2),(3,0,0),(
,,1)2
A B C D P E F -， 所以31
(3,0,0),(
,,1)22
AE AF ==u u u v u u u v ．…………7分 设平面AEF 的一法向量为111(,,)m x y z =，则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ，因此11113031
02
x x y z ⎧=⎪
⎨++=⎪． 取11z =-，则(0,2,1)m =-，…………9分
因为,,BD AC BD PA PA AC A ⊥⊥=I ，所以BD ⊥平面AFC ，
故BD u u u v
为平面AFC 的一法向量，又(3,3,0)BD =-u u u v ，…………10分
所以
15
cos ,5512m BD m BD m BD
⋅<>==
=⨯⋅u u u v
u u u v u u u v ，…………11分 因为二面角E AF C --为锐角，所以所求二面角的余弦值为
15
…………12分 21.试题解析：(1)设P(x 0，y 0)，M(x ，y)，则x 0＝x ，y 0＝y.
∵P(x 0，y 0)在x 2
＋y 2
＝4上，∴x ＋y ＝4. ∴x 2
＋2y 2
＝4，即＋＝1.
点M 的轨迹方程为＋＝1(x≠±2)．…………4分
(2)假设存在．当直线AB 与x 轴不垂直时，
设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋1)(k≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，N(n,0)，
联立方程组
整理得(1＋2k 2
)x 2
＋4k 2
x ＋2k 2
－4＝0， ∴x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝.…………6分
∴
·＝(x 1－n ，y 1)·(x 2－n ，y 2)
＝(1＋k2)x1·x2＋(x1＋x2)(k2－n)＋n2＋k2
＝(1＋k2)×＋(k2－n)×＋k2＋n2
＝＋n2…………………………………………7分
＝＋n2
＝(2n2＋4n－1)－.………………………………8分
∵·是与k无关的常数，∴2n＋＝0.
∴n＝－，即N，此时·＝－.……………………10分
当直线AB与x轴垂直时，若n＝－，则·＝－.……………………11分
综上所述，在x轴上存在定点N，使·为常数．……………………12分22【解答】解：（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，
因为△MNF为正三角形，所以，
即1=，解得．a2=b2+1=4，因此，椭圆方程为．…………4分（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，
|OA|2+|OB|2=2a2，|AB|2=4a2（a2＞1），
因此，恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2．……………………5分
（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，
设直线AB的方程为：，
整理得（a2+b2m2）y2+2b2my+b2﹣a2b2=0，
所以……………………6分
因为恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，所以∠AOB恒为钝角．
即恒成立．……………………8分
x1x2+y1y2=（my1+1）（my2+1）+y1y2=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1
=
=．………………………………9分又a2+b2m2＞0，所以﹣m2a2b2+b2﹣a2b2+a2＜0对m∈R恒成立，
即a2b2m2＞a2﹣a2b2+b2对m∈R恒成立．
当m∈R时，a2b2m2最小值为0，所以a2﹣a2b2+b2＜0．…………11分
a2＜a2b2﹣b2，a2＜（a2﹣1）b2=b4，
因为a＞0，b＞0，所以a＜b2，即a2﹣a﹣1＞0，
解得a＞或a＜（舍去），即a＞，
综合（i）（ii），a的取值范围为（，+∞）．…………12分。