2020-2021学年庆阳市宁县二中高三上学期期中数学试卷(理科)(含解析)

2020-2021学年庆阳市宁县二中高三上学期期中数学试卷(理科)
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.
集合A ={y|y =x 2−2x,x ∈R}，B ={x|y =√1−2x}，则A ∩B =( )
A. [−1,1
2]
B. (−1,1
2]
C. [1,+∞)
D. (−∞,1
2)
2.
命题“∀x ∈R ，sinx +cosx ≤√2”的否定是( )
A. ∀x ∈R ，sinx +cosx >√2
B. ∃x ∈R ，sinx +cosx ≤√2
C. ∀x ∈R ，sinx +cosx ≥√2
D. ∃x ∈R ，sinx +cosx >√2
3.
在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ的值为( ) A. 2
B. 1
C. 1
2
D. −1
4.
sin30°cos15°+cos30°sin15°的值是( )
A. √2
B. 1
2
C. √2
2 D. √6−√24
5.
已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(3,m)，若a ⃗ ⊥(a ⃗ −b ⃗ )，则实数m 的值是( )
A. −1
B. 1
C. −2
D. 2
6.
已知△ABC 中，AB =2，BC =1，∠ABC =90°，平面ABC 外一点，P 满足PA =PB =PC =3
2，则三棱锥P −ABC 的体积是( )
A. 1
B. 1
3
C. √5
4 D. √56
7.
已知tanα=2，α为第一象限角，则sin2α+cosα的值为( )
A. √5
B. 4+2√55
C. 4+√55
D. √5−25
8.
扇形AOB 的半径为1，圆心角为90°.点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份.连接OC ，OD ，OE ，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为的概率是( )
A. B. C. D.
9.
已知点A 的坐标为(4√3,1)，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π
3至OB ，则点B 的纵坐标为( )
A. 3√32
B. 5√32
C. 11
2
D. 13
2
10. M 是△ABC 所在平面上一点，满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则S
△ABM S
△ABC
为( ) A. 1：2 B. 1：3 C. 1：1 D. 1：4
11. 函数f(x)={0,x =0
x−sinx ln|x|
,x ≠0的部分图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
12. 已知向量a ⃗ =(−2,m),b ⃗ =(1,2)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则实数m 的值为( )
A. −1
B. −1
2
C. 1
2
D. 1
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(−3,m)，若向量2a ⃗ −b ⃗ 与向量b ⃗ 共线，则实数m =______．
14. 已知点G 是△ABC 的重心，点P 是△GBC 内一点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC
⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则λ+μ的取值范围是 ．
15. 在△ABC 中，已知b =6，c =5，cos(C −B)=1
10，则cosA = ______ ．
16. 若方程ax 2−(4−a 2)x +2=0在(0,2)内恰有一解，则实数a 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且满足(sinA −sinB)(sinA +sinB)=sinC(√2sinA −sinC) (Ⅰ)求角B ；
(Ⅱ)若sinA =3
5，求cos C 的值．
18.在股票市场上，投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线的变化情况来决定买入或卖
出股票．股民老张在研究股票的走势图时，发现一只股票的均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xOy，则股价y(元)和时间x的关系在ABC段可近似地用解析式y=asin(ωx+φ)+b(0<φ<π)来描述，从C点走到今天的D点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D点和C点正好关于直线l：x=34对称．老张预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里DE段与ABC段关于直线l对称，EF段是股价延续DE 段的趋势(规律)走到这波上升行情的最高点F.现在老张决定取点A(0,22)，点B(12,19)，点D(44,16)来确定解析式中的常数a，b，ω，φ，并且求得ω=π
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(1)请你帮老张算出a，b，φ，并回答股价什么时候见顶(即求F点的横坐标)
(2)老张如能在今天以D点处的价格买入该股票3000股，到见顶处F点的价格全部卖出，不计其它
费用，这次操作他能赚多少元？
19.设函数f(x)=e x−(x+1)2
2
(e为自然对数的底数)．
(Ⅰ)求函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)当x∈(−1,+∞)时，证明：f(x)>0．
20.已知函数f(x)=2√3sin(π−x)cosx+2cos2x+a−1．
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)若f(x)在区间[−π
6,π
3
]上的最大值与最小值的和为2，求a的值．
21.已知在ABC中，B=30，b=2，c=2，
(1)求角C；(2)求三角形ABC的面积S
22. 已知函数f(x)=e x−ax+a，其中a为参数．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)若函数f(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
【答案与解析】
1.答案：A
解析：解：由y =x 2−2x =(x −1)2−1≥−1． ∴A ={y|y =x 2−2x}={y|y ≥−1}=[−1,+∞)． 由1−2x ≥0，得x ≤1
2． ∴B =(−∞,1
2]. ∴A ∩B =[−1,12].
故选：A
分别求解函数的定义域和值域化简集合A 与B ，然后利用交集运算求解． 本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域和值域的求法，是基础的运算题．
2.答案：D
解析：解：∵命题“∀x ∈R ，sinx +cosx ≤√2”是一个全称命题， 又∵全称命题的否定是特称命题，
∴原命题的否定为“∃∈R ，sinx +cosx >√2” 故选：D ．
由带量词的命题否定规则可得． 本题考查全称命题的否定，属基础题．
3.答案：A
解析：解：如图所示，
平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=2． 故选：A ．
画出图形，根据题意得出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而求出λ的值． 本题考查了平面向量的加法运算的几何意义，是基础题目．。