重庆四川2011年中考数学试题分类解析汇编 专题12 押轴题

某某某某2011年中考数学试题分类解析汇编专题12：押轴题 解答题 1.（某某１２分）如图，矩形ABCD 中，AB=6，BC=23，点
O 是AB 的中点，点P 在AB 的延长线上，且BP=3．一动点E
从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 匀速运动，
到达A 点后，立即以原速度沿AO 返回；另一动点F 从P 点
发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA 匀速运动，点
E 、
F 同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E 、F 的运动过程中，以EF 为边作等边△EFG，使△EF
G 和矩形ABCD 在射线PA 的同侧．设运动的时间为t 秒（t≥0）．
（1）当等边△EFG 的边FG 恰好经过点C 时，求运动时间t 的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG 和矩形ABCD 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值X 围；
（3）设EG 与矩形ABCD 的对角线AC 的交点为H ，是否存在这样的t ，使△AOH 是等腰三角形？若存大，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）当边FG 恰好经过点C 时，∠CFB=60°，BF=3﹣t ，
在Rt△CBF 中，BC=23，tan∠CFB=
BC BF ，即tan60°=23BF 。

解得BF=2，即3﹣t=2，t=1。

∴当边FG 恰好经过点C 时，t=1。

（2）当0≤t＜1时，S=23t+43；
当1≤t＜3时，S=2373t 33t -++； 当3≤t＜4时，S=﹣43t+203；
当4≤t＜6时，S=3t 2
﹣123t+363。

（3）存在。

理由如下：
在Rt△ABC中，tan∠CAB=BC3
AB
，∴∠CAB=30°。

又∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°。

∴AE=HE=3﹣t或t﹣3。

1）当AH=AO=3时，（如图②），
过点E作EM⊥AH于M，则AM=1
2
AH=
3
2
，
在Rt△AME中，cos∠MAE═AM
AE
，即cos30°=
3
2
AE
，∴AE=3，即3﹣t=3或t﹣3=3。

∴t=3﹣3或t=3+3。

2）当HA=HO时，（如图③）则∠HOA=∠HAO=30°，又
∵∠HEO=60°，∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE。

又∵AE+EO=3，∴AE+2AE=3，AE=1。

即3﹣t=1或t﹣3=1。

∴t=2或t=4。

3）当OH=OA时，（如图④），则∠OHA=∠OAH=30°，
∴∠HOB=60°=∠HEB，∴点E和点O重合。

∴AE=3，即3﹣t=3或t﹣3=3，
∴t=6（舍去）或t=0。

综上所述，存在5个这样的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=3﹣3，t=3+3，t=2，t=4，t=0。

【考点】相似三角形的判定和性质，二次函数关系式，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数。

【分析】（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3﹣t，在Rt△CBF中，解直角三角形可求t的值。

（2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜1，1≤t＜3，3≤t＜4，4≤t ＜6四种情况，即可分别写出函数关系式。

（3）存在。

当△AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，
根据特殊三角形的性质，列方程求t的值。

2.（某某綦江10分）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ 的长．
【答案】解：（1）∵△ABC与△DCE是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°。

∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°。

∴∠ACD=∠BCE。

∴△ACD≌△BCE（SAS）。

（2）过点C作CH⊥BQ于H，
∵△ABC是等边三角形，AO是角平分线，∴∠DAC=30°
∵△ACD≌△BCE，∴∠QBC=∠DAC=30°。

∴CH=1
2
BC=
1
2
×8=4，
∵PC=CQ=5，CH=4，∴PH=QH=3。

∴PQ=6。

【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理。

【分析】（1）由△ABC与△DCE是等边三角形，可得AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，又由∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，即可证得∠ACD=∠BCE，根据SAS即可证得△ACD≌△BCE。

（2）首先过点C作CH⊥BQ于H，由等边三角形的性质，即可求得∠DAC=30°，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长，
3.（某某江津12分）在“五个某某”建设中，为了提高市民的宜居环境，
某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形ABCD是矩形，
分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628米，
设矩形的边长AB=y米，BC=x米．（注：取π=3.14）
（1）试用含x的代数式表示y；
（2）现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428 元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；
①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；
②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由？
③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由．
【答案】解：（1）由题意得，πy+πx=628，
y x=628，∴y+x=200则y=200﹣x。

（2）①W=428x y+400π
2
2
y
⎛⎫
⎪
⎝⎭
+400π
2
2
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
=428x（200﹣x）+400×3.14×()2
200
4
x
-
+400×3.14×
2
4
x
=200x2﹣40000x+12560000；
②仅靠政府投入的1千万不能完成该工程的建设任务．理由如下，由①知W=200（x﹣100）2+1.056×107＞107，所以不能。

③由题意可知：x≤y即x≤（200﹣x），解之得x≤80。

∴0≤x≤80，
又由题意得：W=200（x﹣100）2+1.056×107=107+6.482×105，
整理得（x﹣100）2=441，
解得x1=79，x2=121（不合题意舍去），
∴只能取x=79，则y=200﹣79=121。

∴设计方案是：AB 长为121米，BC 长为79米，再分别以各边为直径向外作半圆。

【考点】二次函数的应用（工程问题），解一元一次不等式和一元二次方程。

【分析】（1）把组合图形惊醒分割拼凑，利用圆的周长计算公式解答整理即可。

（2）①利用组合图形的特点，算出种植花草和铺设鹅卵石各自的面积，进一步求得该工程的总造价即可解答。

②利用配方法求得最小值进行验证即可得出结论。

③建立不等式与一元二次方程，求出答案结合实际即可解决问题。

4．（某某潼南12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC ，OA=1，OC=4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．
（1）求b ，c 的值；
（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（点A 、B 除外），过点E
作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；
（3）在（2）的条件下：
①求以点E 、B 、F 、D 为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形？
若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）由已知得：A （﹣1，0），B （4，5），
∵二次函数2y x bx c =++的图象经过点A （﹣1，0），B （4，5），
∴101645b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩。

（2）如图：∵直线AB 经过点A （﹣1，0），B （4，5），
∴直线AB 的解析式为：1y x =+。

又∵二次函数223y x x =--，点E 在1y x =+上，点F 在
223y x x =--上，
∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），
∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣3
2
）2+
25
4
，
∴当t=3
2
时，EF的最大值为
25
4。

∴点E的坐标为（3
2
，
5
2
）。

（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．
可求出点F的坐标（3
2
，
15
4
-），点D的坐标为（1，﹣4），
∴S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=1253125375
41 2422428
+=
⎛⎫⎛⎫
⨯⨯-⨯⨯-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭。

②如图：
ⅰ）过点E作PE⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3），
则有：m2﹣2m﹣2=5
2
，解得：m=
226
±
，
∴P1（226
2
-
，
5
2
），P2（
226
2
+
，
5
2
）。

ⅱ）过点F作P3F⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3），
则有：n2﹣2n﹣2=
15
4
-，解得：n1=
1
2
，n2=
3
2
（与点F重合，舍去），
∴P3（1
2
，
3
2
）。

综上所述：所有点P的坐标：P1（226
-
，
5
2
），P2（
226
+
，
5
2
），P3（
1
2
，
3
2
）能使△EFP
组成以EF为直角边的直角三角形。

【考点】二次函数综合题，曲线上的点与方程的关系，待定系数法，解二元一次方程和一元二次方程，二次函数的最值。

【分析】（1）由∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（﹣1，0）B（4，5），然后利用待定系数法即可求得b，c的值。

（2）由直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），即可求得直线AB的解析式，设点E（t，t+1），点F （t，t2﹣2t﹣3）则可得点F的坐标，则可求得EF的最大值，求得点E的坐标。

（3）①顺次连接点E 、B 、F 、D 得四边形EBFD ，可求出点F 的坐标（
32，154
-），点D 的坐标为（1，﹣4）由S 四边形EBFD =S △BEF+S △DEF 即可求得。

②分EP 和FP 为另一直角边的两种情况，求出点P 的坐标即可。

5.（某某某某13分）已知顶点为A(1,5)的抛物线2
y ax bx c =++经过点B(5,1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图（1）,设C,D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点，求四边形ABCD 周长的最小值；
（3）在（2）中，当四边形ABCD 的周长最小时，作直线CD.设点P(x y ，)(0x >)是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图（2）所示构造等腰直角三角形PRQ.
①当△PBR 与直线CD 有公共点时,求x 的取值X 围； x 的函数关系式，并求S 的最大值。

【答案】解：（1）∵抛物线的顶点为A （1，5），∴设抛物线的解析式为2(1)5y a x =-+，
将点B （5，1）代入，得2(51)51a -+=，解得14a =-。

∴抛物线的解析式21119424
y x x =-++。

（2）作A 关于y 轴的对称点A'，作B 关于x 轴的对称点B'，显然A'(1 5)-，，B'(5 1)-，。

如图，连结A'B'分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点，
∵DA DA'=，CB CB'=。

∴此时四边形ABCD 的周长最小，最小值就是A'B'AB +。

而22A'B'(51)(15)62=+++=， 22AB (51)(15)42=-+-=，
∴A 'B'AB 102+=。

∴四边形ABCD 周长的的最小值为102。

（3）①点B 关于x 轴的对称点B′（5 1-，）
，点A 关于y 轴的对称点A′（﹣1，5），连接A′B′，与x 轴，y 轴交于C ，D 点，∴CD 的解析式为：4y x =-+。

联立4y x y x =-+⎧⎨=⎩，得：22
x y =⎧⎨=⎩
∵点P 在y x =上，点Q 是OP 的中点，
∴要使等腰直角三角形与直线CD 有公共点，则24x ≤≤。

故x 的取值X 围是：24x ≤≤。

②如图：
由①点E （2，2），当EP=EQ 时，1222x x -=-
，得：83x =。

当823
x ≤≤时， 2111111S PR RQ EP ()()2(2)2(2)222222
x x x x x x =⋅-=-⋅----，
即227716444()8877
S x x x =-
+-=--+。

∴当167x =时，4S =7
最大。

当843x ≤≤时，2211111S EQ 2(2)2(2)(4)22224
x x x ==⋅-⋅-=- 当83x =时，4S =9
最大。

综上所述，S 的最大值为：47。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质，勾股定理，二次函数的最值。

【分析】（1）可设顶点式，将顶点为A （1，5），点B （5，1）代入求出抛物线的解析式。

（2）可以过y ，x 轴分别做A ，B 的对称点A′，B′，然后连A′D，B′C，当这四点在同一直线时，周长最小，求出即可。

（3）作B 关于x 轴对称点B′，A 关于y 轴对称点A′，连接A′B′，与x 轴，y 轴交于C 、D 点，此时四边形ABCD 周长最小，求出CD 的解析式，求出CD 与直线y=x 的交点坐标，得到△PQR 与直线y=x 有公共点时x 的取值X 围，以及公共部分的面积S 与x 之间的函数关系式。

6.（某某某某12分）已知抛物线的顶点是C (0，a) (a>0，a
为常数)，并经过点(2a ，2a)，点D （0，2a ）为一定点.
(1)求含有常数a 的抛物线的解析式；
(2)设点P 是抛物线任意一点，过P 作PH⊥x 轴，垂足是H ，
求证：PD = PH ；
(3)设过原点O 的直线l 与抛物线在第一象限相交于A 、B 两点，
若DA=2DB ，且S △ABD = 42，求a 的值.
【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=kx 2
+a ，
∵点D （2a ，2a ）在抛物线上，∴ 4a 2k+a = 2a 。

∴k = 14a 。

∴抛物线的解析式为y= 14a x 2+a 。

（2）设抛物线上一点P （x ，y ），
过P 作PH⊥x 轴，PG⊥y 轴，
在Rt△GDP 中，由勾股定理得：
PD 2=DG 2+PG 2=(y –2a)2+x 2 =y 2 – 4ay+4a 2+x 2。

∵y= 14a
x 2+a ， ∴x 2 = 4a ⨯ (y – a)= 4ay – 4a 2 。

∴PD 2= y 2– 4ay+4a 2 +4ay – 4a 2= y 2 =PH 2。

∴P D = PH 。

（3）过B 点BE ⊥ x 轴，AF⊥x 轴.， 由（2）的结论：BE=DB ，AF=DA 。

∵DA=2DB ，∴AF=2BE。

∴AO = 2BO。

∴B 是OA 的中点。

∴C 是OD 的中点。

连结BC 。

∴BC= DA 2 = AF 2
= BE = DB 。

过B 作BR⊥y 轴，∵BR⊥CD ，∴CR=DR，OR= a + a 2 = 3a 2。

∴B 点的纵坐标是3a 2。

又点B 在抛物线上， ∴3a 2 = 14a
x 2+a 。

∴x 2 =2a 2。

∵x>0，∴x = 2a 。

∴B (2a ，3a 2 )。

又AO = 2OB ， ∴S △ABD =S △OBD = 42。

∴12
⨯2a ⨯2a= 42。

∴a 2= 4 。

∵a>0，∴a = 2 。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。

【分析】（1）根据抛物线的图象假设出解析式为y=kx2+a ，将经过点（2a ，2a ），代入求出即可。

（2）根据勾股定理得出PD 2=DG 2+PG 2
，从而求出PD=PH 。

（3）利用（2）中结论得出BE=DB ，AF=DA ，即可得出B 是OA 的中点，进而得出S △OBD =S △ABD =42，即可得出a 的值。

7.（某某某某14分）已知抛物线2
23(0)y ax x a =++≠有如下两个特点：①无论实数a 怎样变化，其顶点都在某一条直线l 上；②若把顶点的横坐标减少1a ，纵坐标增大1
a
分别作为点A 的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加1a ，纵坐标增加1a
分别作为点B 的横、纵坐标，则A ，B 两点也在抛物线2
23(0)y ax x a =++≠上．
(1)求出当实数a 变化时，抛物线2
23(0)y ax x a =++≠的顶点所在直线l 的解析式； (2)请找出在直线l 上但不是该抛物线顶点的所有点，并说明理由；
(3)你能根据特点②的启示，对一般二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠提出一个猜想吗？请用数学语言把你的猜想表达出来，并给予证明。

【答案】解：(1)取1a =，得抛物线2
23y x x =++，其顶点为1P (1 2)-，。

取1a =-，得抛物线2
23y x x =-++，其顶点为2P (1 4)，。

由题意有12P P 、在直线l 上，设直线l 的解析式为y kx b =+， 则24k b k b -+=⎧⎨
+=⎩，解得：1
3
k b =⎧⎨=⎩。

∴直线l 的解析式为3y x =+。

(2)∵抛物线2
23y ax x =++的顶点P 坐标为1
1( 3)a a
--，， 显然P 11( 3)a a
--，在直线3y x =+上。

又1
a
-
能取到除0以外的所有实数， ∴在3y x =+上仅有一点(0，3)不是该抛物线的顶点。

(3)猜想：对于抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠，将其顶点的横坐标减少
1a ，纵坐标增加1a
分别作为点A 的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加
1a ，纵坐标增加1
a
分别作为点B 的横、纵坐标，则A ，B 两点也在抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠上。

证明如下：
∵抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为（2
424b ac b a a
--，）， ∴点A 的坐标为2244()24b ac b a a +-+-，，点B 的坐标为2244
()24b ac b a a -+-+，。

∵22b x a +=-时，22
22244()(224b b ac b y ax bx c a b c a a a -+-+-+=++=++=)。

∴点A 2244
()24b ac b a a +-+-，在抛物线2(0)y ax bx c a =++≠， 同理有B 2244
()24b ac b a a
-+-+，也在抛物线上，故结论成立。

【考点】二次函数综合题，二次函数的顶点坐标的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与议程的关系。

【分析】(1)任取两a ，求出顶点坐标，由待定系数法求出直线l 的解析式。

（2）求出2
23y ax x =++的所有顶点坐标的表达式1
1( 3)a a
--，，证明它们都在直线3
y x =+上，由1
0a
-
≠，得到直线l 上不是该抛物线顶点的点(0，3)。

（3）证明点A 、B 的坐标满足2
(0)y ax bx c a =++≠即可。

8.（某某某某12分）如图，已知二次函数c x ax y ++=22
)0(>a 图像的
顶点M 在反比例函数x
y 3
=
上，且与x 轴交于A ，B 两点。

（1）若二次函数的对称轴为2
1
-=x ，试求c a ,的值；
（2）在（1）的条件下求AB 的长；
（3）若二次函数的对称轴与x 轴的交点为N ，当NO+MN 取最小值时，试求二次函数的解析式。

【答案】解：（1）∵二次函数的对称轴为2
1
-
=x ， ∴21
22
a -
=-，解得2a =。

∴二次函数的顶点为M （11
, 22
c --）。

∵顶点M 在反比例函数x y 3=
上，∴11 322c ⎛⎫⎛
⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，解得112c =-。

∴二次函数的解析式为211
222
y x x =+-。

（2）∵二次函数的解析式为211
222y x x =+-，
∴令y =0，得211
22x x +-=0，解得x =。

∴AB===。

（3）∵二次函数的对称轴为1x a =-，且当1
x a
=-时，M 点坐标为（1a -，3a -）。

∴NO+MN 13a a =
+≥=是NO+MN 的最小值。

此时，
1
3a a
+=a 。

∴M 点坐标为（。

∴此时二次函数的解析式为2
y x =
2
2y x +。

【考点】二次函数综合题，二次函数的对称轴和顶点性质，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，不等式的性质。

【分析】（1）根据对称轴2122
x a =-=-，求得二次函数c x ax y ++=22
)0(>a 中的a ，再根据顶点在反比例函数x
y 3
=
上，求出c 即可。

（2）求得抛物线与x 轴的交点坐标，再用点B 的横坐标减去点A 的横坐标即可。

（3）可用含有a 的式子表示点M 、N 的坐标，即求出a 的值，再求得解析式。

9.（某某某某12分）如图，已知二次函数y=x 2
+bx+c 的图象的对称轴为直线x=1，且与x 轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标为（﹣1，0）． （1）求二次函数的关系式；
（2）在抛物线上有一点A ，其横坐标为﹣2，直线l 过点A 并绕着点A 旋转，与抛物线的另一个交点是点B ，点B 的横坐标满足﹣2＜x B ＜
2
3
，当△AOB 的面积最大时，求出此时直线l 的关系式；
（3）抛物线上是否存在点C 使△AOC 的面积与（2）中△AOB 的最大面积相等．若存在，求出点C 的横坐标；若不存在说明理由．
【答案】解：（1）二次函数y=x 2
+bx+c 图象的对称轴是直线x=1，且过点A （﹣1，0），
∴b
12110
b c ⎧-
=⎪⨯⎨⎪-+=⎩，解得：b 23c =-⎧⎨=-⎩。

∴二次函数的关系式为：y=x 2
－2x －3。

（2）∵点A 在抛物线上，∴A （－2，5）)。

∵AO 是定长，要使ΔAOB 的面积最大，则要以AO 为底的高最大，即点B 到AO 的距离最大。

∵易求直线AO 的解析式为y=5
2
-x ，∴直线AO 与抛物线另一交点的横坐标为2
3。

∴点B 在﹣2＜x B ＜
2
3
之间的抛物线上，将直线平移到与抛物线相切于点B 时，ΔAOB 的面积最大。

设切线的方程为y=52
-x ＋b ，
联立2y x 2x 3
5
y x b 2⎧=⎪⎨=-⎪
⎩
﹣﹣＋得：x 2
＋12x －3－b=0① ∵Δ=
14－4（－3－b ）=0，解得b =4916-，代入式①，解得点B 的横坐标为：14-。

∴B (14-，39
16
-)。

∵A （－2，5）)，∴直线l 的方程为： y=177
x 42
--。

（3）要使ΔAOC 的面积与（2）中ΔAOB 面积的最大值相等，则点C 到直线的距离等于B (1
4
-，
39
16
-
)到OA 的距离。

∵过点B 的切线方程为: 549y x 216
=--
∴要使点C 到直线OA 的距离等于 B (14
-，39
16
-
)到OA 的距离，那么点C 一定在直线
549y x 216=-+
上（它与549y x 216=--关于y=5
2
-x 对称）。

∴满足题目条件的点C 存在，即直线549y x 216
=-+与抛物线y=x 2
﹣2x ﹣3的交点。

由2y x 2x 3
549y x 216⎧=--⎪⎨=-+⎪
⎩
得：16x 2
＋8x －97=0，解得x=
1724-±。

∴点C 的横坐标为：
172--或172
-+。

【考点】二次函数综合题，二次函数的对称轴，待定系数法，曲线图上点的坐标与方程的关系，方程根的判别式，对称的性质，解二元方程组。

【分析】（1）把点A 的坐标和对称轴代入即可。

（2）先确定点B 的位置是到AO 的距离最大的点，求出后，用待定系数法求出直线l 的方程。

（3）根据对称的性质，求出549y x 216=--
关于y=52-x 对称的直线方程549y x 216
=-+，它与抛物线y=x 2
﹣2x ﹣3的交点即为所求。

10.（某某眉山11分）如图，在直角坐标系中，已知点A （0，1），B （－4，4），将点B 绕点A 顺时针方向旋转90°得到点C ；顶点在坐标原点的拋物线经过点B ． （1）求抛物线的解析式和点C 的坐标；
（2）抛物线上一动点P ，设点P 到x 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，试说明d 2=d 1＋1；
（3）在（2）的条件下，请探究当点P 位于何处时，△PAC 的周长有最小值，并求出△PAC 的周长的最小值． 【答案】解：（1）设抛物线的解析式：y=ax 2
，
∵拋物线经过点B （－4，4）， ∴4=a•42
，解得a=
4
1。

∴抛物线的解析式为：y=
4
1x 2。

如图，过点B 作BE⊥y 轴于E ，过点C 作CD⊥y 轴于D 。

∵点B 绕点A 顺时针方向旋转90°得到点C ，∴Rt△BAE≌Rt△ACD。

∴AD=BE=4，CD=AE=OE －OA=4－1=3。

∴OD=AD＋OA=5。

∴C 点坐标为（3，5）。

（2）设P 点坐标为（a ，b ），如图，过P 作PF⊥y 轴于F ，PH⊥x 轴于H 。

∵点P 在抛物线y=
41x 2上，∴b= 41a 2，∴d 1= 4
1a 2
， ∵AF=OF－OA=PH －OA=d 1－1=4
1a 2
－1，PF=a ，
在Rt△PAF 中，PA=d 2=222221
AF PF (a 1)a 4+=-+ = 4
1a 2+1。

∴d 2=d 1＋1。

（3）由（1）得AC=5， ∴△PAC 的周长=PC ＋PA ＋5=PC ＋PH ＋6， 则C 、P 、H 三点共线时，PC+PH 最小， ∴此时P 点的横坐标为3，把x=3代入y= 41x 2，得到y=4
9。

即P 点坐标为（3，
4
9
），此时PC+PH=5。

∴△PAC 的周长的最小值=5+6=11。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线图上点的坐标与方程的关系，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系，垂直线段最短的性质。

【分析】（1）设抛物线的解析式：y=ax 2
，把B （-4，4）代入即可得到a 的值；过点B 作BE⊥y 轴于E ，过点C 作CD⊥y 轴于D ，易证Rt△BAE≌Rt△ACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，即可得到C 点坐标（3，5）。

（2）设P 点坐标为（a ，b ），过P 作PF⊥y 轴于F ，
PH⊥x 轴于H ，则有d 1=
4
1a 2
，又AF=OF －OA=PH －OA=d 1－1= 41a 2－1，PF=a ，在Rt△PAF 中，由勾股定理得到PA=d 2= 4
1a 2
＋1，即有结论d 2=d 1＋1。

（3）△PAC 的周长=PC+PA+5，由（2）得到△PAC 的
周长=PC+PH+6，根据三角形三边关系和垂直线段最短的性质，要使PC+PH 最小，则C 、P 、H 三点共线， 如图，对任意的点P′，总有CP′＋P′H′＞C H′＞CH 。

从而， P 点坐标为（3，
4
9
），此时PC ＋PH=5，得到△PAC 的周长的最小值=5＋6=11。

11.（某某某某12分） 已知如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCO 为梯形，BC∥AO，四个顶点坐标分别为A(4，0)，B(1，4)，C(0，4)，O(0，0)。

一动点P 从O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OA 的方向向A 运动；同时，动点Q 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿A →B →C 的方向向C 运动。

两个动点若其中一个到达终点，另一个也随之停止．设其运动时间为t 秒．
(1)求过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式； (2)当t 为何值时，PB 与AQ 互相平分；
(3)连接PQ ，设△PAQ 的面积为S ，探索S 与t 的函数关系式．求t 为何值时，S 有最大值？最大值是多少?
【答案】解：（1）设抛物线的解析式为2
(0)y ax bx c a =++≠， A 、B 、C 三点坐标代入，得
164044a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得13134
a b c ⎧
=-⎪⎪
⎪
=⎨
⎪
=⎪⎪⎩。

∴211433y x x =-++。

（2）PB 与AQ 互相平分，则PABQ 为平行四边形， ∵BC∥AO，∴只要QB=PA 。

由勾股定理可求得AB=
()
2
24145-+=，
∴QB=2t －5，PA=4－t 。

∴2t －5=4－t ，解得t=3。

∴当t =3，PB 与AQ 互相平分。

（3）由已知得AB=5，CB=1。

①当5
02
t <<
时，点Q 在线段AB 上运动，
设P Q Q P( 0)Q( )x x y ，
，，，∠OAB=θ，sinθ=4
5
, ∵Q P 8
2sin 5
y t t x t θ=⋅=
=，， ∴ΔPAQ Q P 1S (4)2y x =⋅⋅-()22
184416(4)(4)225555
t t t t t =⋅⋅-=-=-+。

∴当2t =时，ΔPAQ S 有最大值为16
5。

②当532t ≤≤时，点Q 在线段BC 上运动，则ΔPAQ 1
S 4(4)822t t =⋅⋅-=-。

∴当5
2
t =时，ΔPAQ S 有最大值为3。

综上所述，当2t =时，ΔPAQ S 有最大值为16
5。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行四边形的判定和性质，锐角三角函数，二次函数最值。

【分析】（1）求过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式，由待定系数法即可求。

（2）由PB 与AQ 互相平分，判断PABQ 为平行四边形，根据对边平行且相等的性质求解即可。

（3）分点Q 在线段AB 上和在线段BC 上两种情况讨论即可。

12.(某某德阳14分)如图，已知抛物线经过原点O ，与x 轴交于另一点A ，它的对称轴2x =与x 轴交于点C ，直线21y x =+经过抛物线上一点B(3m -，)，且与y 轴、直线2x =分别交于点D ，E ． (1) 求抛物线对应的函数解析式并用配方法把这个解析式化成
2()y a x h k =-+的形式；
(2) 求证：CD⊥BE；
(3) 在对称轴2x =上是否存在点P ，使△PBE 是直角三角形，如果存在，请求出点P 的坐标，并求出△PAB 的面积；如果不存在，请说明理由。

【答案】解：(1)∵已知抛物线的对称轴为2x =，
∴设抛物线的解析式为2
(2)y a x k =-+。

又∵直线21y x =+经过点B(3m -，)， ∴321m -=+，解得，2m =-。

∴点B(23--，)。

又∵二次函数2
(2)y a x k =-+的图象经过O(0，0)， B(23--，)，
∴2
2
0=(02)3=(22)a k a k ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩， 解得141
a k ⎧=-⎪⎨⎪=⎩。

∴抛物线的解析式为21(2)14y x =--+。

(2)由题意解方程组212y x x =+⎧⎨
=⎩， 得2
5
x y =⎧⎨=⎩。

∴点E 的坐标为(2，5)。

∴CE=5。

过点B 作BF 垂直于x 轴于F ， 作BH 垂直于直线2x =于H ，
交y 轴于点Q 。

∵点B(23--，)，D(0，1)，
∴BF=3，BH=4，CH=BF=3，OD=1，EH=8，DQ=4。

在Rt△BHE，Rt△BQ0，Rt△BHC 中，由勾股定理，得
222222BE 4845, BD 4225, BC 435=+==+==+=。

∴BD=
1
2
BE 。

又∵EC=5，∴BC=CE，∴CD⊥BE。

(3)结论：存在点P ，使△PBE 是直角三角形，
①当∠BPE=90°时，点P 与(2)中的点H 重合，∴此时点P 的坐标为(23)-，。

延长BH 与过点A(4，0)且与x 轴垂直的直线交于M ， 则ΔPAB ΔHAB ΔABM ΔAHM 11
6323622
S S S S ==-=
⨯⨯-⨯⨯=。

②当∠EBP=90°时，设点P(2，y )，
∵E(2，5)，H(2，3-)，B((23)--，
)，∴BH=4，EH=8，PH=3y --。

在Rt△PBE 中，BH⊥PE，可证得△BHP∽△EHB，
HP BH =BH EH ，即34
48
y --=。

解得5y =-。

此时点P 的坐标为(25)-，。

过点P 与x 轴平行的直线与FB 的延长线交于点N ， 则ΔPAB ΔFAB ΔBPN APNF 111
(46)5634212222
S S S S =--=
⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯=梯形。

综上所述，点P 的坐标为(23)-，，△PAB 的面积为6；或点P 的坐标为(25)-，，△PAB 的面
积为12。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线对称轴的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）先由直线21y x =+经过点B(3m -，)求出点B 的坐标，再由抛物线的对称轴为2x =和经过 O(0，0)， B(23--，)，用待定系数法，求出抛物线的解析式。

（2）由勾股定理求出△BCE 各边和BD 的长，从而判断△BCE 是等腰三角形并根据等腰三角形三线合一的性质，得证。

（3）分∠BPE=90°和∠EBP=90°两种情况讨论，应用相似三角形的判定和性质即可。

13.（某某某某12分）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （ 1 0-，），B （ 1 2-，），D （3，0）．连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ．若抛物线2
y ax bx c =++经过点D 、M 、N ． （1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点P ，使得PA=PC ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）设抛物线与x 轴的另一个交点为E ，点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值． 【答案】解：（1）∵BC∥AD，B （-1，2），M 是BC 与x 轴的交点，∴M （0，2）。

∵DM∥ON，D （3，0），∴N（-3，2）。

则9302930a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩，解得19132
a b c ⎧
=-⎪⎪
⎪
=-⎨⎪
=⎪⎪⎩
，
∴211
293
y x x =-
-+。

（2）连接AC 交y 轴与G ， ∵M 是BC 的中点， ∴AO=BM=MC，AB=BC=2。

∴AG=GC，即G （0，1）。

∵∠ABC=90°， ∴BG⊥AC，即BG 是AC 的垂直平分线，要使PA=PC ，即点P 在AC 的垂直平分线上，故P 在直
线BG 上。

∴点P 为直线BG 与抛物线的交点。

设直线BG 的解析式为y kx b =+，则21k b b -+=⎧⎨=⎩，解得1
1k b =-⎧⎨=
⎩。

1y x =-+。

∴21
11
293y x y x x =-+⎧⎪⎨=--+⎪⎩
，解得1132x y ⎧
=+⎪⎨=--⎪⎩
，
2232x y ⎧
=-⎪⎨=-+⎪⎩
∴点P
（3 2+--，P
（ 2-+，）。

（3）∵22111392()93924y x x x =--+=-++，∴对称轴3
2x =-。

令21
1
2093x x --+=，解得13x =，26x =，∴E（6-，0）。

故E 、D 关于直线3
2x =-对称，∴QE=QD，∴|QE -QC|=|QD-QC|，
要使|QE-QC|最大，则延长DC 与3
2x =-相交于点Q ，
即点Q 为直线DC 与直线3
2x =-的交点。

由于M 为BC 的中点，∴C（1，2）。

设直线CD 的解析式为y kx b =+，则302k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得13
k b =-⎧
⎨=⎩，∴3y x =-+。

当3
2x =-时，3
9322y =+=。

故当Q 在（3
9
22-，）的位置时，|QE-QC|最大。

过点C 作CF⊥x 轴，垂足为F ，则
==
因此，|QE-QC|的最大值为22。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，线段垂直平分线的性质，抛物线的对称性，勾股定理。

【分析】（1）求出M，N的坐标，由D，M，N的坐标。

用待定系数法即可求出抛物线的解析式。

（2）PA=PC，即AC的垂直平分线与抛物线的交点，据此思路求解即可。

（3）|QE-QC|最大，根据抛物线的对称性，即|QD-QC|最大，据
此求解即可。

14.（某某某某12分）如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a≠0)与y轴交于
点C(0，4)，与x轴交于点A(－4，0)和B．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，
连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；
(3)平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于
点F，点D的坐标为(－2，0)．问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A(－4，0)，
∴
c3
16a8a c0
=
⎧
⎨
-+=
⎩
，解得：
1
a
2
c4
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩。

∴所求抛物线的解析式为：y=﹣
1
2
x2﹣x+4。

（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G．
由﹣1
2
x2﹣x+4=0，得x1=2，x2=﹣4。

∴点B的坐标为（2，0）。

∴AB=6，BQ=2﹣m。

∵QE∥AC，∴△BQE∽△BAC。

∴BQ EG
BA OC
=，即
2m EG
64
=
﹣。

∴EG=
2
3
（2﹣m）。

∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ=1
2
BQ•CO﹣
1
2
BQ•EG
=1
2
（2﹣m）[4﹣
2
3
（2﹣m）]=﹣（m+1）2+3。

又∵﹣4≤m≤2，
∴当m=﹣1时，S△CQE有最大值3，此时Q（﹣1，0）。

（3）存在．在△ODF中，
（ⅰ）若DO=DF，
∵A（﹣4，0），D（﹣2，0），∴AD=OD=DF=2。

又在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°。

∴∠DFA=∠OAC=45°。

∴∠ADF=90°。

此时，点F的坐标为（﹣2，2）。

由﹣1
2
x2﹣x+4=2，得x1=﹣1+5，x2=﹣1﹣5。

此时，点P的坐标为：P（﹣1+5，2）或P（﹣1﹣5，2）。

（ⅱ）若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M。

由等腰三角形的性质得：OM=OD=1，∴AM=3，
∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3，∴F（﹣1，3）。

由﹣1
2
x2﹣x+4=3，得x1=﹣1+3，x2=﹣1﹣3，
此时，点P的坐标为：P（﹣1+3，3）或P（﹣1﹣3，3）。

（ⅲ）若OD=OF，
∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，∴AC=42。

∴点O到AC的距离为22，而OF=OD=2＜22，
∴此时不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形。

综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为：
P（﹣1+5，2）或P（﹣1﹣5，2）或P（﹣1+3，3）或P（﹣1﹣3，3）．
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，
等腰三角形的性质。

【分析】（1）由抛物线y=ax 2+2ax+c （a≠0）与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A （﹣4，0），利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式。

（2）首先设点Q 的坐标为（m ，0），过点E 作EG⊥x 轴于点G ．由（1）中的抛物线，即可求得B 的坐标，即可求得AB 与BQ 的值，又由△BQE∽△BAC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得EG 的值，又由S △CQE =S △CBQ ﹣S △EBQ ，利用二次函数的最值的求解方法，即可求得当△CEQ 的面积最大时，点Q 的坐标。

（3）根据题意分别从OD=DF ，DF=OF ，OD=OF 去分析，即可求得答案，利用等腰三角形与直角三角形的性质即可求得答案。

15.（某某某某13分）如图：抛物线m ax ax y +-=42
与x 轴交于A 、B 两
点，点A 的坐标是（1，0），与y 轴交于点C 。

⑴求抛物线的对称轴和点B 的坐标；
⑵过点C 作CP⊥对称轴于点P ，连结BC 交对称轴于点D ，连结AC 、BP ，
且∠BPD＝∠BCP，求抛物线的解析式；
⑶在⑵的条件下，设抛物线的顶点为G ，连结BG 、CG 、求∆BCG 的面积。

【答案】解：⑴∵()22424y ax ax m a x m a =-+=-+-，
∴对称轴是2x=。

∵点A （1，0）且点A 、B 关于2x=对称，∴点B(3，0)。

⑵点A （1，0），B （3，0），∴ AB=2。

∵ CP⊥对称轴于P ，∴CP∥AB。

∵对称轴是2x=，∴AB∥CP 且AB=CP 。

∴四边形ABPC 是平行四边形。

设点C （0，x ）， x <0，
在Rt ∆AOC 中，AC=12+x ， ∴ BP=12+x 。

在Rt ∆BOC 中，BC=92+x 。

∵∆BED∽∆BOC ，且BE=1，BO=3，BC=92+x ，∴BD BE 1BC BO 3==。

∴BD=3192+x ∵ ∠BPD=∠PCB，∠PBD=∠CBP，∴∆BPD∽∆BCP 。

∴2BP BD BC =⋅，即9931)1(2222+⋅+=
+x x x ，)9(3
1122+=+x x 。

∴31=x ，32-=x 。

∵点C 在y 轴的负半轴上，∴点C （0，3-）。

∴ 342--=ax ax y 。

∵抛物线过点A （1，0），∴034=--a a ，解得，3
3-=a 。

∴抛物线的解析式是：33
34332-+-=x x y 。

⑶∵ 当x =2时，33=y ，∴顶点坐标G 是（2，3
3）。

设CG 的解析式是：b kx y +=。

∵G（0，3-），C （2，3
3）， ∴332b k b ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得，233k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩。

∴CG 的解析式是33
32-=x y 。

设CG 与x 轴的交点为H 。

令y =0， 则03332=-x ，解得 2
3=x 。

∴H（23，0）。

∴BH=233-=23。

∴BCG BHG BHC S S S ∆∆∆=+32321332321-⨯⨯+⨯⨯=
43343+=3=。

【考点】二次函数综合题，抛物线的对称轴，抛物线的轴对称性，平行四边形的判定和性质，勾股定理，
相似三角形的判定和性质，曲线上点的坐标与方程的关系
【分析】⑴把m ax ax y +-=42
化为顶点式即可求出抛物线的对称轴；根据抛物线的轴对称性和A 点坐标即可得B 点的坐标。

（2）由AB 和CP 的位置关系和横坐标的值，可判断四边形ABPC 是平行四边形，从而根据勾股定理和相似三角形的性质，可求出C 点的坐标。

由此点A 的坐标可求出抛物线的解析式。

（3）求出CG 与x 轴的交点坐标，由BCG BHG BHC S S S ∆∆∆=+即可。

16.（某某某某14分）已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A = 90︒，D 是腰AC 上的一个动点，过C 作CE 垂直于BD 或BD 的延长线，垂足为E ，如图． （1）若BD 是AC 的中线，求BD CE
的值； （2）若BD 是∠ABC 的角平分线，求BD CE
的值； （3）结合（1）、（2），试推断BD CE 的取值X 围（直接写出结论，不必证明），并探究BD CE 的值能小于34吗？若能，求出满足条件的D 点的位置；若不能，说明理由．
【答案】解：设AB = AC = 1，CD = x ，则0＜x≤1，BC =2，AD = 1－x ．
在Rt △ABD 中，BD 2 = AB 2 + AD 2 = 1 +（1－x ）2 = x 2－2x + 2．
由已知可得 Rt △ABD∽Rt△ECD ， ∴CE CD AB BD =， 即
CE 1=
，∴CE 。

∴ 2BD x 2x 22x 2CE
x x
-+===+-，0＜x≤1。

（1）若BD 是AC 的中线，则CD = AD = x =21，得BD 5CE 2
=。

（2）若BD 是∠ABC 的角平分线，则Rt △ABD∽Rt△EBC
CE BC AD BD =，
(
)1x -=
即x 1x =-，
解得，x=2 E D C A B。