2020年四川省仁寿第一中学校南校区高考仿真模拟数学试题(附答案解析)

2020年四川省仁寿第一中学校南校区高考仿真模拟数学试题
一、单选题
1．甲、乙两人做游戏，下列游戏不公平的是（）
A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则甲获胜，向上的点数为偶数则乙获胜
B．甲、乙两人各写一个数字1或2，如果两人写的数字相同甲获胜，否则乙获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则甲获胜，扑克牌是黑色的则乙获胜D．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲获胜，两枚都正面向上则乙获胜
2．我国明代伟大数学家程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为（）
A．0.9升B．1升C．1.1升D．2.1升
3．已知实数x，y满足约束条件
3
20
20
x y
x y
x
-≥-
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪-≤
⎩
，则3
z x y
=+的最小值为（）
A．7 B．2 C．-2 D．-5
4．居民消费价格指数，简称CPI，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平
变动情况的宏观经济指标.一般来说，CPI的高低直接影响着国家的宏观经济调控措施的出台与力度，下图是国家统计局发布的我国2009年至2018年这十年居民消费价格指数的折线图.
则下列对该折线图分析正确的是（）
A．这十年的居民消费价格指数的中位数为2013年的居民消费价格指数
B．这十年的居民消费价格指数的众数为2015年的居民消费价格指数
C．2009年～2012年这4年居民消费价格指数的方差小于2015年～2018年这4年居民消费价格指数的方差
D ．2011年～2013年这3年居民消费价格指数的平均值大于2016年～2018年这3年居民消费价格指数的平均值
5．有一个各条棱长均为a 的正四棱锥,现用一张正方形的包装纸将其完全包住,不能裁剪,可以折叠,那么包装纸的最小边长为( )
A ．(1a
B ．12a +
C ．2a
D ．a
6．已知复数z a bi =+（i 为虚数单位）,a b ∈R 在复平面内对应的点位于第四象限，若302a b +
<，则()23z i ⋅-在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 7．已知全集U =R ，集合{}22,A y y x x R ==+∈，集合(){}lg 3B x y x ==-，则A
B =（ ） A ．[]2,3 B ．()2,3
C ．(]2,3
D ．[)2,3
8．过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为103
，则|AB|＝（ ）
A ．133
B ．143
C ．5
D ．163
9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，并且满足(3)(1)f x f x +=-，当23x ≤≤时，()f x x =，
则(105.5f ）
=（ ） A ．12
B ．32
C ．32-
D ．52 10．已知双曲线2
21y x m
-=的焦点为F 1、F 2，渐近线为l 1，l 2，过点F 2且与l 1平行的直线交l 2于M ，若1
20FM F M ⋅=，则m 的值为 （ ）
A ．1
B
C ．2
D ．3
11．若对,m n R ∀∈，有()()()3g m n g m g n +=+-，求()()f x g x =+的最大值与最小值之和是（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
12．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos a c A =1A =，则sin C 的
值为（ ）
A ．12
B ．14
C D
二、填空题
13．已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为_____________．
14．已知等比数列{}()*n b n N ∈中，38b =-，664b =，则该等比数列的公比的值是______. 15．若直线y ex m =+（e 是自然对数的底）是曲线ln y x =的一条切线，则实数m 的值是______． 16．设点()1,6,(3,0)A B -，P 是直线AB 上一点，且13AP AB =
，则P 点的坐标为_________
三、解答题
17．函数()()sin (0,0,)f x A x h A ωϕωϕπ=++>><，在同一个周期内，当12x π=
时，y 有最大值4，当712
x π=时，y 有最小值2． (1)求()f x 解析式；
(2)求()f x 的递增区间；
(3)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，求()4cos 12g x f x x πλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小值． 18．已知函数/()e x f x ax =- (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ,曲线()y f x =在点A 处的切
线斜率为1- .
(1)求a 的值及函数的极值;
(2)证明:当0x >时,2e x x <;
(3)证明:对任意给定的正数c ,总存在0x ,使得当()0,x x ∞∈+,恒有2e x x c <.
19．已知0, 0, 0a >b >c >，函数()f x =|a x|+|x+b|+c -.
（1）当2a b c ===时，求不等式()8f x <的解集；
（2）若函数()f x 的最小值为1，证明：22213
a b c ++≥.
20．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为1,21.2
x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.在以原点O 为极轴，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=.
（1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
（2）若点P 坐标为()1,1，圆C 与直线l 交于,A B 两点,求PA PB +的值.
21．下表列出了10名5至8岁儿童的体重x (单位kg )(这是容易测得的)和体积y (单位dm 3)(这是难以测得的)，绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系：
(1)求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+(系数精确到0.01)；
(2)某5岁儿童的体重为13.00kg ，估测此儿童的体积．
附注：参考数据：101140.00i i x ==∑，101137.00i i y ==∑，1011982.90i i i x y ==∑，10212026.08i i x ==∑，
()102166.08i i x x =-=∑，()102164.00i i y y =-=∑，137×14=1918.00．
参考公式：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
()()()1122211n n i i i i i i n n i i i i x x y y
x y nxy b x nx x
x ====---==--∑∑∑∑，a y bx =-．
22．已知抛物线C ：()2
20y px p
=>的焦点为F ，()3,M m 为抛物线C 上一点，且5MF =. （1）求抛物线C 的方程；
（2）过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的垂直平分线的横截距的取值范围. 23．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B B C 2==，11A C =D ，E 分别为棱11A C ，1AA 的中点．
()1证明：1B D CE ⊥；
()2若DE CE ⊥，求四棱锥1D ABB E -的体积．
【答案与解析】
1．D
求出每个选项中各事件的概率即可
对于A 选项，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等，都为12
对于B 选项，甲、乙两人各写一个数字1或2，两人写的数字相同与不相同的概率相等，都为
12 对于C 选项，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等，都为12
对于D 选项，同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上的概率为
12，两枚都正面向上的概率为14
故选：D 本题考查了概率的应用，需要学生掌握等可能事件概率的计算公式.
2．B
先根据“下头三节三升九，上梢四节贮三升”列方程组，解方程组求得2,a d 的值，进而求得5a 的值.
依题意得12367893.93a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩，故2781.31.5
a a a =⎧⎨+=⎩，即22256211a d a d a d +++=+2.611 1.5d =+=，解得0.1d =-，故523 1.30.31a a d =+=-=升.故选B.
本小题主要考查中国古代数学文化，考查等差数列通项的性质，属于基础题.
3．D
根据约束条件作出可行域，将目标函数3z x y =+平移进过可行域，可得其最小值.
由约束条件32020x y x y x -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩
作出可行域，如图
目标函数3z x y =+表示直线3y x z =-+在y 轴上的截距.
要求3z x y =+的最小值，即求直线3y x z =-+在y 轴上的截距的最小值.
所以将直线3y x z =-+平移使之经过可行域，
当直线3y x z =-+过(2,1)A -时截距最小.
所以3z x y =+的最小值为：3(2)15z =⨯-+=-.
故选: D
本题考查简单的线性规划问题，在简单的线性规划问题中目标函数的几何意义常见有截距、斜率、距离等，属于基础题.
4．D
结合图象，从低到高依次写出各点的横坐标（即年份），由此可判断A 选项，观察各点的纵坐标，由此可判断B 选项与D 选项；根据方差的定义，数据上下波动的幅度越小，方差越小，从而可判断C 选项．
解：结合图象，从低到高各点的横坐标依次为2009，2015，2014（2017），
2016，2018，2013，2012，2010，2011，则A 错；
观察各点的纵坐标，可得2014年与2017年的数据相等，其余各年的数据均不相等，则B 错； 同时2011年～2013年这3年居民消费价格指数均大于2016年～2018年这3年居民消费价格指数，则D 对；
根据方差的定义，数据上下波动的幅度越小，方差越小，明显发现2015年～2018年这4年居民消费价格指数更稳定，则C 错；
故选：D ．
本题主要考查根据折线图解决实际问题，考查数形结合思想，属于基础题．。