五年级奥数经典讲义第4讲通用版

五年级奥数经典讲义第4讲通用版
一、教学目标
1、掌握并熟练运用能被
2、
3、
4、
5、
6、8、9、11等数整除的自然数的特征；
2、训练学生对自然数的快速分解,记住并会运用几个特殊数（111、1001等）；
二、知识体系
奇数与偶数（四年级暑假）数论一（四年级秋季）
约数与倍数（四升五暑假）数论综合（五年级秋季、寒假）
数论（整除）
质数与合数（四升五暑假）数阵图（四、五年级春季、寒假）同余定理（五年级秋季）数字迷（四、五年级春季、寒假）
考点：①被2、3、4、5、6、7、8、9、11整除的数的特征
②分解因式
三、知识要点
b≠）,a被b除的余数为0时（商为整数）,则称a被b整除或b 当两个整数a和b（0
整除a,也把a叫作b的倍数,b叫作a的约数；如果a被b除所得的余数不为0,则称a不能被b整除,或b不整除a
数的整除特征
①一个数的末位能被2或5整除,这个数就能被2或5整除；
一个数的末两位能被4或25整除,这个数就能被4或25整除；
一个数的末三位能被8或125整除,这个数就能被8或125整除；
②一个数各位数字之和能被3整除,这个数就能被3整除；
一个数各位数字之和能被9整除,这个数就能被9整除；
③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个就能被11整除。

④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除；
=⨯⨯⨯⨯⨯；
⑤部分特殊数的分解：111337; 1001=71113; 11111=41271; 10001=73137
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯199535719; 1998=233337; 2007=33223; 2008=222251
2
=⨯⨯⨯⨯2011是质数。

10101371337, 2009=741,
求一个数所有约数的个数：
用分解质因数形式表示：
312123n p p p p n
N a a a a =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯（12n a a a N ⋅⋅⋅、、为合数的不同质因数） 那么所求的约数个数为()()()()1231111;n A p p p p =+⨯+⨯+⨯⋅⋅⋅+
()()()32504237,31211124=⨯⨯+⨯+⨯+=例如：那么它有个约数
完全平方数有奇数个约数。

求一个数所有约数的和：
()()()0101
01111222n n n n n n S a a a a a a a a a =++⋅⋅⋅⨯++⋅⋅⋅+⨯⋅⋅⋅⨯++⋅⋅⋅+
()()()32012301201504237222233377151381560S =⨯⨯=+++⨯++⨯+=⨯⨯=例如：，那么它所有约数的和为：
最大公约数与最小公倍数：
如果m 为A 、B 的最大公约数,且,,A ma B mb ==那么a 、b 互质,所以A 、B 的最小公倍数为mab ,所有最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：
①,A B ma mb m mab ⨯=⨯=⨯即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积
②最大公约数是A B A B A B +-、、、及最小公倍数的约数
例题详解
【例1】720约数有多少个？
【例2】（国际数学邀请赛）360的所有约数的和是（）。

【例3】甲数是24,甲、乙两数的最小公倍数是168,最大公约数是4,求乙数。

a a a a a能被11整除,求满足条件的整数a？
【例4】1234
【例5】（小学数学世界邀请赛）有一个五位数可同时被9和11整除。

若将这个
五位数的第一位、第三位与第五位数码移除,则可得到两位数35；若将这个五位数的前三位数码移除,则剩下的两位数可被9整除；若将这个五位数的末三位数码移除,则剩下的两位数也可以被9整除,请问这个五位数是什么？
【例6】（《小数报》竞赛）用六位数可以表示日期,例如,960310表示1996年3月10日。

在表示1996年3月份和4月份日期的61个六位数中,能被3整除的六位数共有个。

【例7】一个各位数字互不相同的五位数,能被3、5、7、11整除,那么这个五位数最小是 ,最大是。

【例8】老师共为学校买了28支价格一样的钢笔,共付了人民币9（）.2（）元。

已知（）数字相同,请问每支钢笔的价格是多少？
回家作业
【练习1】676的约数有多少个？
【练习2】如果六位数1992□□能被95整除,那么它的最后两位数是
【练习3】将1996加一个整数,使和能被23与19整除,加的整数要尽可能小,那么所加的整数是
【练习4】从0、1、2、4、7五个数中选出三个组成三位数,其中能被3整除的有个。

【练习5】如果七位数2008□□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除,
那么,它的最后三位数是 。

【练习6】有一个五位数679a b ,它可被72整除。

请问22a b 等于多少?
一天地理老师问同学们,河水向哪里流呀？ 一同学猛站起来唱道：大河向东流啊。

老师没理会他,接着说,天上有多少颗星星啊？ 那位同学又唱道：天上的星星参北斗啊。

老师气急：你给我滚出去！
学生：说走咱就走啊。

老师无奈说：你有病吧？
学生：你有我有全都有啊！
老师：你再说一句试试。

学生：路见不平一声吼啊！
老师：你信不信我揍你？
学生：该出手时就出手。

老师怒了：我让你退学！
学生：风风火火闯九州！。