2020年安徽省蚌埠市第二中学高三数学文测试题含解析

2020年安徽省蚌埠市第二中学高三数学文测试题含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知命题命题,则下列命题中为真命题的是:（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
2. 已知向量=（﹣1，2），=（﹣1，1），=（﹣3，1），则?（+）=( )
A．（6，3）B．（﹣6，3）C．﹣3 D．9
参考答案：
D
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：进行向量加法和数量积的坐标运算即可．
解答：解：．
故选：D．
点评：考查向量的加法和数量积的坐标运算，弄清数量积是一个数而不是向量．
3. 已知函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=log b（x﹣a）的图象可能是( )
A．B．
C．D．
参考答案：
C
考点：函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：先根据正弦函数的图象得到a，b的取值范围，再根据对数函数的图象和性质得到答案．
解答：解：函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象，是有y=sinbx的图象向上平移a的单位得到的，由图象可知1＜a＜2，
由图象可知函数的最小正周期＜T＜π，
∴＜＜π，
解得2＜b＜4，
∴y=log b x的图象过定点（1，0）且为增函数，
∵y=log b（x﹣a）函数的图象是由y=log b x图象向右平移a的单位得到，
∴y=log b（x﹣a）函数的图象过定点（a+1，0），其中2＜a+1＜3，
故选：C
点评：本题考查了正弦函数的图象和对数函数的图象，属于基础题．
4. 某单位有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工是老职工的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽出的样本中有青年职工32人，则该样本中老年职工人数为
A．9 B．18 C．27 D．36
参考答案：
B
略
5. 执行如图所示的程序框图．若输出，则框图中①处可以填入
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
6. 如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A. 16
B. 32
C. 48
D. 60
参考答案：
A
由三视图可得，该几何体是一个四棱锥，高为4，底面为上底、下底分别为2,4，高为4的直角梯形，故此四棱锥的体积为。

选A。

7. 点M(a，b)在函数的图象上，点N与点M关于y轴对称且在直线x－y ＋3＝0上，则函数f(x)＝abx2＋(a＋b)x－1在区间[－2,2)上()
A．既没有最大值也没有最小值
B．最小值为－3，无最大值
C．最小值为－3，最大值为9
D．最小值为－，无最大值
参考答案：
D.
由已知b＝，即ab＝1，
又N点(－a，b)在x－y＋3＝0上，
∴－a－b＋3＝0，即a＋b＝3.
∴f(x)＝abx2＋(a＋b)x－1＝x2＋3x－1＝(x＋)2－.
又x∈[－2,2)，由图象知：f(x)min＝－，但无最大值．
8. 的分数指数幂表示为 ( )
A． B． a
3
C． D．都不对参考答案：
C
9. 函数y=x+（x＞0）的最小值是（）
A． 1 B． 2 C．﹣2 D．以上都不对
参考答案：
B
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用基本不等式的性质即可得出．
解答：解：∵x＞0，∴y=x+=2，当且仅当x=1时取等号．∴函数y=x+（x＞0）的最小值是2．
故选：B．
点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
10. 函数的图象
(A) 关于轴对称 (B) 关于轴对称 (C) 关于原点对称 (D)关于
直线对称
参考答案：
【知识点】余弦函数的图象．C3
B解析：∵余弦函数是偶函数,
∴函数是偶函数，故关于y轴对称，故选B．
【思路点拨】根据余弦函数是偶函数关于y轴对称可得答案．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知A，B为圆上的两个动点，，M为线段AB的中点，点P为直线上一动点，则的最小值为____．
参考答案：
7
【分析】
取的中点，则，故只需求长度的最小值，注意的轨迹方程，从而可求的最小值.
【详解】因为，，取的中点，连接，
则，
又，故，所以，，
又，而，所以，当且仅当垂直于直线且三点共线时等号成立，所以
的最小值为，填.
【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：
（1）到定点的距离为定长的动点的轨迹；
（2）如果为定点，且动点满足，则动点的轨迹为圆；（3）如果中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧．
12. 在正四面体P-ABC中，其侧面积与底面积之差为，则该正四面体外接球的表面积为．
参考答案：
6π
13. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=4，c=，sinA=4sinB，则C= _________ ．
参考答案：
14. 已知命题，命题，若命题“”是真命题，则实数a的取值范围是
参考答案：
略
15. 已知是等差数列,,公差,为其前项和,若成等比数列,则参考答案：
16. 已知f（x）=x+1og2则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）的值
为．
参考答案：
36
考点：对数的运算性质；函数的值．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：由题意可得f（x）=x+1og2，f（9﹣x）=9﹣x﹣1og2，从而可得f（x）+f （9﹣x）=9；从而解得．
解答：解：∵f（x）=x+1og2，
∴f（9﹣x）=9﹣x﹣1og2，
故f（x）+f（9﹣x）=9；
故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=f（1）+f（8）+…+f（4）+f（5）=4×9=36；
故答案为：36．
点评：本题考查了函数的性质应用，属于基础题．
17. 已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为_____________
参考答案：
【知识点】选修4-4 参数与参数方程N3
【答案解析】-1
由于曲线C1、C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcosθ+ρsinθ+1=0，
则它们的直角坐标方程分别为 x2+（y-1）2=1，x+y+1=0．
曲线C1上表示一个半径为1的圆，圆心为（0，1），
曲线C2表示一条直线，圆心到直线的距离为d= ，
故曲线C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为-1，故答案为：-1．
【思路点拨】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离为d，再把d减去半径，即为所求．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面
，，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）是侧棱上一点，记，当平面时，求实数的值.
参考答案：
解析：（Ⅰ）在中，∵，，，∴由余弦定理求得
.∴，∴.∵平面平面,交线为，∴平面，∴.……………………………………………………6分
（Ⅱ）作，交于点，连接，由可知四点共面，连接，所以由（Ⅰ）的结论可知，平面当且仅当.
在中，由，，，及余弦定理求
得，∴在中，，
因此.…………………………………………12分
略
19. 在中，角所对的边分别为，已知，
（1）求的大小；
（2）若，求的取值范围.
参考答案：
解：（1）由已知条件结合正弦定理有：，从而有：
，.
（2）由正弦定理得：，，
，即：.
略
20. 如图，在△ABC中，，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足（1）若△BCD的面积为，求CD的长；
（2）若，求角A的大小．
参考答案：
解：（1）∵△BCD的面积为，，
∴
∴BD=
在△BCD中，由余弦定理可得
==；
（2）∵，∴CD=AD==
在△BCD中，由正弦定理可得
∵∠BDC=2∠A
∴
∴cosA=，∴A=．
考点：解三角形．
专题：计算题；直线与圆．
分析：（1）利用三角形的面积公式，求出BD，再用余弦定理求CD；
（2）先求CD，在△BCD中，由正弦定理可得，结合∠BDC=2∠A，即可得结论．
解答：解：（1）∵△BCD的面积为，，
∴
∴BD=
在△BCD中，由余弦定理可得
==；
（2）∵，∴CD=AD==
在△BCD中，由正弦定理可得
∵∠BDC=2∠A
∴
∴cosA=，∴A=．
点评：本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
21. 已知函数，.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若，证明：当时，.
参考答案：
（1），由得.
由得，得，
所以函数只有极小值.
（2）不等式等价于，由（1）得：，所以，所以，，
令，则，
令,则,
当时，，所以，所以，所以
在上为减函数，所以，则，所以在上为减函数，因此，，因为，而，
所以，所以，而，所以.
22. 在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图），看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，矩形表演台BCDE 中，CD=10米，三角形水域ABC的面积为平方米，设∠BAC=θ．
（1）求BC的长（用含θ的式子表示）；
（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．
参考答案：
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HN：在实际问题中建立三角函数模型．
【分析】（1）根据看台的面积比得出AB，AC的关系，代入三角形的面积公式求出AB，AC，再利用余弦定理计算BC；
（2）根据（1）得出造价关于θ的函数，利用导数判断函数的单调性求出最小造价．【解答】解：（1）∵看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，
∴（）2=3×（）2，∴AB=AC，
∵S△ABC==AC2sinθ=400，
∴AC2=，∴AB2=，
在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosθ=，
∴BC=40．
（2）设表演台的造价为y万元，则y=120，
设f（θ）=（0＜θ＜π），则f′（θ）=，
∴当0时，f′（θ）＜0，当时，f′（θ）＞0，
∴f（θ）在（0，）上单调递减，在（，π）上单调递增，
∴当θ=时，f（θ）取得最小值f（）=1，
∴y的最小值为120，即表演台的最小造价为120万元．
【点评】本题考查了解三角形，函数最值计算，余弦定理，属于中档题．。