常微分方程第六、八章习题答案

第六章 线性微分方程组、
习题6-1
1．求出齐次线性微分方程组
y t A dt dy
)(=
的通解，其中分别为：)(t A
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎩⎨⎧=⇒==⇒=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=t C t C C C t t C t t y y y t t t
y y y t y t C t C y y y t
C y t C y y y y y dt d t t t y t dy t y dt dy t t t t 212121212121212211211121110000.00,0,0.,00;
0,00)(A .12211
或通解为则方程组的基解矩阵为或取故通解为解：由）（ .
0.0)(,,0.,1011,
1011)(A .221211222
1212121
C e te e y e te e t e
y te y y e y e
C y y y y y y y y dt d t t t t t t
t t t t t dt dy dt dy ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=⇒=+=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=或通解为则方程组的基解矩阵为取解：由）（φ
C
t t t t y t t t t t t
y t y t y t y C y y dy y dy y y y dy dy y y y y y y dt d t dt dy dt dy ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧====+⇒=+⇒-=⇒⎩⎨⎧-==⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=sin cos cos sin .sin cos cos sin )(,sin cos ,cos sin ,1.C 0.,0110;
0110)(A .321212
22122111
2211
2
212121
故通解为则方程组的奇解矩阵为并令取解：由）（φ
.
0000.021000,,1,0,0,,0C ()()(.
.)
()(,001010100,
001010100)(A .43212121213
1312
32122232133111
331112233
21
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠=-⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==±=⇒=⇒=+=⇒=⇒=⇒⎭⎬
⎫⎪⎩⎪⎨⎧---==⇒=---=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=----------t t t t t t t t t t t t t t t
t
t t t t
t
t
t t t t t t t t
t
t t t dt dy t
dt dy dt
dy e e e C e e C e e C y e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e y C y C e y e y e y e y y y y y C y y dy y dy y y y dy dy b a b y e
C y y a y y dt dy t 故通解为线性无关
即为方程祖的三个解。

故可取令取）取解：由）（2。

求解非齐次线性微分方程组的初值问题：
故齐次方程组的通解为
线性无关。

故由可取同时由矩阵，
先求齐次方程组的基解解：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠=-⎪⎩
⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧==+-=⇒++==⇒+-=⇒-=⇒-=⎩⎨⎧++=-=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧-==>+-+=-=222
2
22
2
2
2
11
211
1
1
211
1
1
211
222222342231
3122,0,00,,0)1(,
ln 2ln )1(1100)1()1(1110;)1(,)1()0(,1,1).1(t t t t
t t t t t t t
t t t
dt dy t t dt x
dx t dt
dx
t dt
dy t
dt dx t t t t
dt d t
dt dy t dt dx e t e e y x e y x e C C y y C C x C t x x y x x y x y x dt d y x y x y x y x t x y x x
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰-----3331313331313
12121
2313131
3313
1211231311
121121211
121121211
2111
2111112122222222
322
2222
2222
22
22
22,000000011000
.0)0)(.
0t t
tt t t t t t t t t t
t t t t t t t t t t t t t t t t t t s s t t t t t t t t
t t t t t t y x C C C e C C C e C C e C e C C ds s e C e C C ds s e e e C C e
y x t e e x e x C e C y x 故原初值问题的解为
由初值条件知通解为
故非齐次微分方程组的（解矩阵，为齐次方程组的一个基
φφ
.
101,0,0)1(110,1,0)1().1(1
00)1()1(010;
)1(,0)1()0(,,).2(4)1(22114)1(212
4)1(124)1(212)1(4211
21121121123411234112222222222
212222
2⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠+=+⎩⎨⎧=+=⎩⎨⎧==+=⇒++-=+=⇒=⎩⎨⎧-==⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧==>++-==++++++++
++t t t t t t t
t t t t t t
t C t dt dy t
tx dt dx t dt dy t t
dt dx t t t
t t t
dt d t dt dy t t dt dx
t C C y x t t t t y t x y x t C y t C y t C x y
x x y x y x dt d y x t y x y x y x t t x y x 故齐次方程组的通解为
无关。

线性故由可取同时由矩阵，
先求齐次方程组的基解解：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+=++++++++++--++-+⎰⎰⎰t t t t t t t t t t t t t t t t t t
t t s s
t t t
t t t t s s
t t t t t t ds
s t ds s s t t ds s s t y x t y x t x t x 133********)1(1234124)1(123418)1(2121111414)1(12342
1
2
1
4)1(12111
4112121111
4114)1(12223
2222222
22
22222
2
22
2200001000100000100011000)()1()1()1()(01)1(.,0)10)(φφφφφφ通解为
故非齐次微分方程组的（解矩阵，为齐次方程组的一个基
线性无关。

由的任意性知，即使得
个常数证明：假设存在任意微分方程组。

）意一个三阶的齐次线性函数不可能同时满足任述三个线性无关的向量可知，上对照定理它们的朗斯基行列式上线性无关。

（显然，在任意区间，试证向量函数组
.C C C 000000.
00000C 001C ,C ,C ,C 32.0)(,00,00001.33212321232123213212
===++⇒⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≡<<⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→x C x C C x C x C C x C x x W b x a x
x →→
→
→
==y x B dx
y
d y x A dx y d )()(4与，即如果方程组
定齐次线性微分方程组。

试证基解矩阵完全决
).
()()()(A )()(C
(,)()()(,)(),().
()(x B x A C x x C x x B dx
x d dx y d C x x A dx C x d dx y d n C C x y x x B x A ≡⇒=====≡→
→→→
→
→
→
→
→→
φφφφφφφ故）常数列向量，代入得
维为任意的则它们的通解为相同基解矩阵为证明：设两个方程组的，则有一个相同的基解矩阵))
(,()()())(,()))(,()()()(()())
(,()()()))(,()()(()]
))(,()()()(([),()()()()(.))(,()()()()()().
))(,()()(()()()(.)().,()),(,()()()
()),()(()().
,(,
))(,()()()()()(.)(),,()(,),()()(.50
1
001
1
1
001
)(1
001
)()(1
001
1
0001
001
00x y x f x y x A x y x f ds s y s f s y x x x A x y x f x x ds s y s f s y x ds s y s f s y x x x y x A x y y x y ds s y s f s x y x x x y ds s y s f s C x x y y x A x y x y b a x x y x f x y x A dx x y d b x x x y y b a x ds s y s f s x y x x x y y x y y x f y x A y b x a y x f n y x A x x
x x
x dx
x d x
x dx
d dx
x y d dx
x d x
x x
x dx
y d x
x dx y
d dx
y d →
→
→
→
→
→
→
-→
-→
→
-→
→
-→
-→
→
-→
-→
→
→→
→
→
-→
-→
→
→-→
→
→
→
→→→→→
→
→
→
→-→
-→
→→→
→→→
→→+=++=++=
+===⇐+=+===∈+=∈=⇒∈+=⎪⎩
⎪⎨⎧=+=∞<<<=⎰⎰⎰⎰⎰⎰→
→
→→
φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ则
因为基解矩阵满足
为积分方程的解。

设为积分方程的解。

即又因为的一个基解矩阵，则
为线性齐次微分方程组
故若且是初值问题的解，则有
设证明：其中等价于求解积分方程
值问题
上连续。

试证：求解初区域：在
维向量函数的一个基解矩阵，并且是线性齐次微分方程组
设
⎪⎩⎪⎨⎧=+==→
→→
→→→
→
→
→0000)()),
(,()()()(.)(y x y x y x f x y x A x y y x y dx
y
d 满足故又 、知，结论成立。

、由个解是线性相关的。

的任意组
阶非齐次线性微分方程线性无关，即故，即不全为则满足
个解线性相关，即若个解。

故这的性微分方程组为方程组对应的齐次线个解，则是方程组的任意设个解是线性无关的。

有的任意组
阶非齐次线性微分方程：证明个线性无关解
有组阶非齐次线性微分方程故由上述知，且个线性无关解，故为齐次方程组的由
于是可知所以
为方程组的特解矛盾，此与则有（否则，故有即
使得
若存在常数个解线性无关。

个解。

下证这的为方程组，则是方程组的任一个特解个线性无关解。

设
的程组
是方程组的相应齐次方设个线性无关解。

有组
阶非齐次线性微分方程：证明：个线性无关解。

有且至多有则
不恒为零，当中的组
阶非齐次线性微分方程设B 2)()()(),(),(,),(),(.0)()()()()()(0,,,,.0))()(())()(())()(())(),((,,,,11)()()(),()(,),()(),()(2)(),(),(,),(),(2)()(B 2)()(.00)(,),(),(,0))()()(().0)(,)()(,0.00)()())()()((,0)())()(())()(())()((,,,,11)(),()(,),()(),()()()()(,),(),(1)()(A 1)()(,)()()(21_21212111221112121122222111212122221212102121221102101002102100212211000022011021000201021dx
210
211
A n x f y x A n x y x y x y x y x y x y C C C C x y C x y C x y C x y C C C C C x y x y C x y x y C x y x y C x y x y C C C C C n n y
x A x y x y x y x y x y x y x y x y n x y x y x y x y x y n x f y x A n n x f y x A n C C C C n x y x y x y x y C x y C x y C C C C C x y y x y x y C C C C C C C C x y C C C C x y C x y C x y C x y C x y x y C x y x y C x y x y C C C C C n n x y x y x y x y x y x y x y x y n y x A x y x y x y n x f y x A n n x f y x A b x a x f x f y x A n dx
y
d n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n dx
y d n n n n n n n n n dx
y d dx
y d n n n n n n C C C C C C C C C C n n n n n n n n n dx
y
d n dx
y d y
d dx
y d n n
n ++==++++-++++=-+-++-+++=----+++=++=======+++=+++++
+=
≠++++=++++=+++++++++=++++++++++++=++=++=<<+=→
→+→
→→++++→
→→+++++→
+→+→+→
→
+→+→+→→+→
→
+→
→
+→
+→
→
→
→
→
→
→→
→→→
→
→
→
→
++++-→
++++-→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→→
→→
→→→
→
→
→
→
→
→
→
习题6-2
1．求出常系数齐次线性微分方程组
矩阵分别为：
的通解，其中的A →
=→
y A dx
y d .
5411.54045,004545452.110,001100445544,7.2,70)2)(7(2543-A ;
2543.122712212121121⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⇒=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-==⇒=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-→→→x x e C e C y E 故通解为时，当时当解：）（ηξξληξξλλλλλλλ
λ
.
cos sin sin cos .sin cos cos sin ,sin cos sin cos 1)sin (cos 1..
10,10000,0-A ;
00.22112122⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⇒=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=±=⇒=+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛→
→ax ax C ax ax C y ax ax ax ax ax i ax ax ax i i ax i ax i e i i i ai a ai a a ai ai ai
a a a E a a ax 故通解为为虚部实部为时当解：）（ηξξλλλλλλ
.
100,001010000001010010001030013,7.
1,40
)4()1(40
1010
011-A ;
40101001
1.311212⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=⇒=++-=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛------=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---→ηλλλλλλλλλ时当（二重）。

解：）（E
.
133210310010313230
1000010,132000103301000
01
,103093,
9130000003010000101.3241212011103212
2⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨
⎧⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒=++-⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---→
→→→→x x e C e C e C y r r r r x x x 故通解为时，当ξξξλ .102002,
01020100004000501004421005201010,5.
2,2,50
)54()5(942105520105-A ;
942105520105.41
221132122⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⇒⎩⎨⎧==+⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=+==⇒=+--=⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---→ηξξξλλλλλλλλλλλ时当解：）（i i E
.
sin 14cos 2cos 5sin 15sin 20cos 10sin 2cos 14sin 5cos 15sin 10cos 20102,70700477427002477421035
201032.2322512518126252525
252⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=→⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+------→⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------+=→
+x x x x x x e C x x x x x x e C e C y i i i i
i i i i i
i i i i i x x x i
故通解为取实部、虚部即得：特征向量时，当λ
解：同上可得，;001).5(343131
323232⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--
.11001.
3131
32331313221⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x e C x x x e C e C y x x x 解：同上可得，
.111111*********
1).6(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----- ⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-→
001110010101111124232221x x x x e C e C e C e C y
2求出常系数非齐次线性微分方程组
)(x f y A dx
y
d →
→+=→
的通解，其中：
,
000000100010,2.20)2(201
2-A 01)(;2012.12⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⇒=-=--=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→时当（二重）解：）（λλλλλλE x f A
.
0101)
)()()((0)(,0
)(.01100010,10;00010010,102122211
2221
222212011100
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒⎰→
-→
→
----→→
→→x e C e C ds s f s C x y e xe e x e xe e x r r r r x x
x
x x x x x x x
φφφφ故通解为
故齐次方程基解矩阵为
.111100,.111100,.0-A sin cos )(;00
.3222222
1222
2
22422
2
2
2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⇒⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=±=⇒=-=----=
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=→→
→ηληλλλλ
λ
λn n n n n n n n n n n n n n E nx nx x f n n A 时当时当解：）（
.sin 1111)
)()()(()(,)(cos )1(1)1(1
211
2
12
1212112222
2222
2222
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=+-++-→
-→
→
----⎰nx n n n n n n x n x n x
x x
n x n x
n x n x n x
n x
n x
n nx e C e C ds s f s C x y e e xe
e x e e e e x φφφφ故通解为
故齐次方程基解矩阵为
,
000011111111,1.10)1(11
2-A 20)(;0112.32⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⇒=-=---=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=→时当（二重）解：）（λλλλλλE e x f A x
.
2111)
)()()(()1()(,)1()(.11101111,10;00111111,1122
211
1
212011100
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒⎰→
-→
→
----→→→→x x x e x x e C e C ds s f s C x y e e xe e x x e x e xe e x r r r r x x x
x
x x x
x x x x
x x
φφφφ故通解为
故齐次方程基解矩阵为 ;102,111001212).4(⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=→x x f A
.
sin cos sin ,cos sin cos .
sin cos sin cos sin cos 11)sin (cos 11.
1100,10000001100110110012021110121
2,.
011100011000211011211,1.
1.0)1)(1(11
1
01
212-A 321322112⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎩⎨⎧=-=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==±=⇒=++-=------=→x x x x x x x i x x x i x i x i x i x i e i i i i i i i i i i i i i i i i i E x
取虚部为取实部为故时当时当解：ξξξξξξξληλλλλλλ
λλ
λ
.
01sin cos sin sin cos 011)
)()()((cos sin cos cos cos sin sin sin 0)(,sin cos 0cos sin sin cos )(3211
10
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-+---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰→
-→
→
---x x x x C xosx x x e C e C ds s f s C x y x x x x x x x x e e x x x x x e
x x e x x
x x
x x
x x
x
φφφφ故通解为
故齐次方程基解矩阵为;2,100110011).5(2⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-----=→x x x f A
（三重）。

解：.1.0)1(10
110
11-A 3-=⇒=+-=--------=
λλλ
λλ
λE ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0000000000001000100001000100001000101时，当λ
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→→→→→→→→.
001010000100010,010100000100010,100;100001000100010,001010000100010,010;000,000001000100010,001222130222120121110r r r r r r r r r .
1332201001)
)()()((,20
020
)(223211
20
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--=---→
-→
→
---⎰x x x x x x e C x e C e C ds s f s C x y e x e x xe e x x
x x x
x x x
x x
φφφ故通解为
故齐次方程基解矩阵为
3求出微分方程组
)(x f y A dx
y d →→+=→
满足初值条件→
→=η)0(y 的解，其中：
,
000011111111,4.40)4(311
5-A ;01,)(;3115.122⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=⇒=+=-----=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=→→
时当（二重）解：）（λλλλλληE e e x f A x x
.
))()()(0()()1()1()(,)1()1()(.11101111,10;11011111,010
1
01
44441444421201110⎰→
-→
-→
--→→→→+=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+--=⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒x
x x x
x
x x x
x
x
ds s f s y x y e x xe xe e x x e x xe xe e x x r r r r φφφφφ故通解为
故齐次方程基解矩阵为
.1)(1236725123612644900614900211⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=--x x x x x x e e e e x x e x x e .
2cos 32sin 2sin 32cos ;
32,43)(;0220.2234
1345
413⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=→
→→x x x x y x x f A 解：同上得，
）（η .
24cos 2sin 234cos sin 2;
00,cos 2sin )(;1234.322⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-++-+-+-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=→
→→x x x x e e x x e e x x y x x x f A 解：同上得，
）（η
;000,232,11441879381416).4(⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=→---→ηx x
x e e e f A
.
011100011
000134418993814142102010201
0008441849381419,3.
212120101
00
10441869381417,1.2.3.10
)2)(3)(1(114
4
1879381416-A 321321⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=⇒⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=⇒⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛--⇒⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------==-=-=⇒=-++-=--------=
→→→ηληληλλλλλλλλ
λλ
λ时，当时当时当解：E
)
)()()(0()(.)(,02022)(0
101
23223
223
133133233232313113223ds s f s y x y e e e e e e
e e e x e e e e e e e x x
x x x x
x x x
x
x
x
x
x x x
x x
x
→
-→
-→
-------⎰+=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-------=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛----=φφφφφ故通解为
故齐次方程基解矩阵为
⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-+--+-++-=-------x x x x
x x x x x x
e e xe e e e e e e x 334343229898329833893332
4.求解微分方程组
,⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x a b b a y x dt d .0≠b b a 为实数常数，而且和其中
.
)cos sin ()sin cos ()(,
cos sin sin cos )(.
cos sin ,sin cos ,sin cos sin cos 1..
1001,.
,0))(()(-A 212121)(1212
2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-=+=⇒=--+-=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---=+→bt C bt C e bt C bt C e y x C C t y x bt e bt e bt e bt e x bt e bt e bt e bt e bt bt i bt i bt e i e i i bi b b bi bi a bi a bi a bi a bi a b a a b b a E at at at at at at at at at at at t bi a φφηλλλλλλλλλ故虚部为实部为故时当解： 5．证明：常系数齐次线性微分方程组
)(x f y A dx
y
d →
→+=→
的任意解当∞→x 时都趋
于零，当且仅当它的系数矩阵A 的所有特征根具有负的实部。

证明：⇐（充分性）若系数矩阵A 的所有特征根都具有负的实部，设特征根为
)0(>+-=αβαλi ，与之相应的解可表示成 )1().
(x F e
y x
→
-→
=α
.
0)()1(,0lim )(F 0→+∞→=-==→
-+∞
→→
x y x n x e
x x n
x
x 时，的解当是任意自然数，形如意到，并注的一个多项式向量函数是关于负实数，由解的结构知时，当ααλβ.
0)()1(,0sin lim ,0cos lim )(),sin )(cos ()()1(0→+∞→==+=+-=≠→
-+∞
→-+∞
→→
→
→
x y x x x e x x e x x f x i x x f x F i n x x n x x 时，的解仍有当形如对
注意到的多项式向量函数，并是其中的此时是虚数，由解的结构，时，当βββββαλβαα合，因而它的任一解
）这种类型解得线性组（的任一解可表为形式为由解得结构知，方程组1
时都趋于零。

当+∞→x ⇒（必然性）假设特征值为βαλi +=与之相应的方程组的解可表示成
).(x F e
y x
→
-→
=α
必为负实数。

于是，时，那么只有当不成立，时，这时总有的多项式的向量函数。

者为分量或者为一常数，或的每一。

因此，的一个多项式向量函数是关于实数，则时，当ααλβ.00)(F )(F )(F 0→+∞→→∞→==→
→
→
ax e x x x x x x x 也必为负实数。

于是，成立，只有时，有不成立，那么，若使当时的向量函数。

当的多项式是其中为复数，则这时时，当αββλβα).(000)(,)(),sin )(cos ()(0∞→→→∞→→∞→+=≠→
→
→
→
x e x x x F x x x f x i x x f x F x
习题6-3
1．证明函数组
⎩⎨⎧<≥=⎩⎨⎧<≥=0,0
,0)(0
,00,)(2221x x x x x x x x 当当当当ϕϕ
在区间上),(+∞-∞线性无关，但它们的朗斯基行列式恒等于零，这与本节的定*2是否矛盾？如果不矛盾它说明了什么？
)()()(),()(),(221121=++∞-∞x x x x x ϕαϕαϕϕ，等式上线性无关，只须证明在证明：要证明为它的一个基础解组
使得分方程，不存在一个二阶线性微上线性无关。

不矛盾，在似结论。

故，也得到类上恒等于零。

同样，对上等于零，从而不能在它显然不能在有
对于实际上，若取必须取成立对一切)(),(),()(),(0),(),0(,
0)()(,0,0.0,21212212212211121x x x x x x x x x x ϕϕϕϕααααϕαϕαααα+-≠+∞-∞+∞=⋅+=+≥≠==2。

试证命题5。

的。

上是线性无关（相关）的解）在（它是方程组
组由它们作出的向量函数的上是线性无关（相关）在的解组。

方程命题b x a y x A x x x x x x b x a x x x y x a y x a y x a y dx
y
d n n n n n n n n n <<=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛⇔<<=++++→
----→
)()()()(,,)()()()(),(),(0)(')()(51'11'11211)1(1)(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
,0,000)()()()()()(C 0
)()(,,0)()(C .C ,,C )(,),(),(211111111111''11121===⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'++⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛'=++=++<<⇒----n n n n n n n n n n n n n n n C C C x x x C x x x x C x C x C x b x a x x x
则有即有使得存在任意常数
上是线性无关的。

故若在）方程的解组证明：（ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ，使得，，故若存在常数线性无关）若（n n n n n n n C C x x x C x x x 111111,)()()(,,)()()(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛'⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛'⇐--ϕϕϕϕϕϕ ,0,000)()()()()()(C 21111111===⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'++⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛'--n n n n n n n C C C x x x C x x x
则有ϕϕϕϕϕϕ 线性无关。

故即有0)(,),()(,0)()(C 211
1=='++'x x x x C x n n n ϕϕϕϕϕ 3考虑微分方程 .0)(=+''y x q y
?
)(,).2()()()()()1(======x q e y x y x y x y x y x 确定试求这方程的通解，并解为设已知方程有有一个特。

行列式恒等于一个常数的朗斯基与证是它的任意两个解，试与设ψϕψϕ
.
101.1)(0)()2()()()
()()()(.0)(10)(,0)(10)(.
,).1(212)]([021211
2
21021
x x x x x k dx
x A tr dx dy dx dy e C e C y x q e x q e e y x W e x W x x x x x q x A y y x q y y d y x q y y y y y x
x -+=⇒±=⇒=--=⇒=+==⎰=''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎩⎨⎧-==='=λλψϕψϕ又为方程的解，故又因为（常数）。

根据刘维尔公式即则有令证明：
没有共同的零点。

和）（地确定。

能由这个基本解组唯一和）方程的系数函数（：的一个基本解组，试证是方程和设函数)()(2)()(10)()()()(.5x v x u x q x p y x q y x p y x v x u =+'+''
的一个基本解组，
是方程和因为即令证明：0)()()()(.)()(10
)(,
)()()(.,).1(1
22
2121=+'+''⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--==⎩⎨⎧--==⇒='=→→y x q y x p y x v x u x p x q x A y x A y x q y x p y y y y y dx y d dx dy dx dy
矛盾。

此于则有
使得故若存在因为成立。

有唯一解，故又因为）故0)(0)(,0)(,0)(,0)
()()
()()()2()1(,0)()()()(()()()()()
()()()()()()()()()()(10
)()()()()(00000≠===≠''=
≠''⎩⎨⎧'--='''--='⇒⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''=x W x W x v x u x x v x u x v x u x W x v x u x v x u x v x p x v x q x v x u x p x u x q x u x v x u x v x u x p x q x v x u x v x u x φ 6．试用常数变易法证明定理*3。

定理*3是齐次线性微分方程设)(,),(1x x n ϕϕ
0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x a y x a y x a y n n n n (1)
非齐次线性微分方程上的一个基础解组，则在区间b x a <<
)()()()(1)1(1)(x f y x a y x a y x a y n n n n =+'+++-- (2) 的通解为
)()()(11x x C x C y n n *+++=ϕϕϕ (3)
ds
s f s W s W x x C C n
k x
x k k n )()()()()(1
10∑⎰=⋅=*ϕϕ是任意常数，而
，，其中 (4) 列元素的代数余子式。

行第第中是的朗斯基行列式，而是里是方程的一个特解。

这k n x W x W x x x W k n )()()(,),()(1ϕϕ ）的通解为的一个基础解组故（为证明：因为1)1()(,),(1x x n ϕϕ
ds
s f s W s W x x C C n
k x
x k k n )()()
()()(1
10∑⎰=⋅=*ϕϕ是任意常数，而
，，其中 ,)
()(11x C x C y n n ϕϕ++= (5)
的函数，即设
变易为解，但其中现假定也有如上形式的是任意常数，，其中x C C C C n n ,,.
11
)
()()()(11x x C x x C y n n ϕϕ++= (6)
为(2)的解。

对(6)求导一次得到
),()()()(11'11x C x C x C x C y n n n
n ϕϕϕϕ'++'+'++='
在上式中令
0)()()()(11='++'x x C x x C n n ϕϕ (7)
则有
),()()()(11x x C x x C y n n ϕϕ'++'=' (8)
再求导一次得
),()()()()()()()(1111x x C x x C x x C x x C y n n n n ϕϕϕϕ''++''+''++''='' (9)
再令
,0)()()()(11=''++''x x C x x C n n ϕϕ (10)
则
),()()()(11x x C x x C y n n ϕϕ''++''='' (11）
重复上面的步骤知，
,
0)()()()()2()2(11='++'--x x C x x C n n n n ϕϕ (12) ),
()()()()()(11)(x x C x x C y n n n n n ϕϕ++= (13)
将(5)、(8)、(11)、(13)代入(2)得，
)
()()()()()1(1)1(11x f x x C x x C n n n ='++'--ϕϕ (14)
将(7)、(12)、(14)联立得
,)()()()()(0)()()()(0)()()()(()1()1(11)
2()2(11
11⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧='++'='++'='++'----x f x x C x x C x x C x x C x x C x x C n n n
n n n n n n n
ϕϕϕϕϕϕ 可以解出)3()6()(,),(),(,),(211式，整理后就得到代回到积分得到x C x C x C x C n '' 式。

7．设欧拉方程
,01)1(11)(=+'+++---y a y x a y x a y x n n n n n n
方程。

常系数的齐次线性微分都是常数。

试把它化成其中n a a a ,,21
⎪⎪
⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=+-='''-=⋅-⋅==⋅⋅=⋅==⇒=⇒=.
,23,)(",
'ln 1
3112212233222222t n n n n n n dt y d x dt y d n dx y d n dt dy
dt y d dt y d dt dy dt y d dt dy x x dt y d dt dy
t dt dy dx dt dt dy dx dy
t x x y x x y x x x x xy x t e x 解：令
01
)1(1=+++--y a dt
y
d a dt y d n n n n n 8．求解有阻尼的弹簧振动方程
,022=++kx dt dx
r dt
x d m。

说明相应解的物理意义不同情况，
大于，等于和小雨零的都是正的常数。

并就和其中mk r k r m 4,2-=∆
,02=++k r m λλ解：
① 当..0422221242
t t m
mk
x r m
r m
r e
C e C x mk r ∆
--∆
+-+==>-=∆-±-此时时，有两实根
λ
② 当..022212t t m
r
m
r m
r e
C e C x ∆
---+===∆-（二重）
时，λ
③ 当,,.022*******t t m
i
r mk r m
i
r mk r m
i
r mk r e
e
----+--+-=
<此时，两个基本解为时，λλ
)sin
cos (22212t C t C e
x m
m t
m r ∆-∆
--+=
9求解弹簧振子在无阻尼下的强迫振动方程
,c o s 22t p kx dt
x
d m ω=+ 。

是弹簧振子的固有频率里
说明解的物理意义。

这两种不同的情况，
和加频率都是正的常数。

并对外和其中m
k
m
k m
k p k m =
≠ωω,
解：方程对应的齐次方程022=+kx dt
x
d m ，其特征方程为
i k m m
k
m k
±
=-==+λλλ,,022
,
sin cos )(,cos sin )().
sin cos ()(,cos )(.sin
,
cos
,22*"*'*t pb t pa t t pb t pa t t b t a p t t p t f x x e m
k
m
k
ix m
k ωωωωϕωωωϕωωϕω--=+-=+==±
由故方程的特解可设为又方程的基本解组为分别取实部虚部得齐次为故齐次方程的基本解组有
⎪⎩
⎪⎨⎧===⇒⎩⎨⎧=+-=-⇒=-++-⇒++---.00cos sin )(cos )(sin cos sin cos 21
2
222222ωω
ωωωωωωωωωωωωωm k a m k b p kpa mpa mpa kpb t p t mpb kpb t kpa mpa t
kpb t kpa t mpb t mpa 或
.cos cos 1
)(2
2
*t t m k p t m
k m p ωω
ωω
ϕ-=-=
.cos sin cos ,2221t t C t C x m
p m
k ωωω-Ω+Ω+Ω=≠ΩΩ=时，当记
.
sin cos cos sin cos sin )(),cos sin (_cos sin ()().sin cos ()(22t pb t pa t b p t pa t pb t pa t t b t a pt t b t a p x t b t a pt t ωωωωωωωωωωωωϕωωωωωωωϕωωϕω--+-+-=*''+
-++=*'+=*=Ω时当故则有代入方程中，因为.,0,21mk
m
k b a =
==
ω
t m pt t m k mk
pt
t ΩΩ
==sin 2sin
21)(*ϕ .
sin sin cos 221t t t C t C x m p
Ω+Ω+Ω==ΩΩ时，当ω 10．求解下列常系数线性微分方程：
.32)(.)(,)(1,2,0)1)(2(0210(,0)0(,22).1(222221212x
x x
x x
x
x
e e
e e e x W e x e
x y y x y y y ----=-=
===-==-+⇒=-+='==-'+''ϕϕλλλλλλ故，基本解组为解：；
）
x x x x
x x s
x
x
x
s x
x
x e
e x
x
x e e x
k x x
s W s W k e
e x e x e x s d s e e
s d s e e
s d s
e
s d s e
s d s
x s
s
s
s
k
3221213232322161312003
223
223322
1
)()
(222)(000
+---=+---+-=+=+==*------=⎰
⎰⎰
⎰∑⎰
----ϕ
ϕ
故，通解为.
21221--+=-x e C e C y x x ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-+-=-++-='-.11120,22
2
11212121221C C C C C C e C e
C y x
x
有又
故,.
21221--+-=-x e e y x
x .
.)(,3688,
4)(,2)(,)(.)(,)(1
30)1)(3(0642;
3642).2(221321221212222222*23122x x x x x x x x x x x x x x e e C e C y e x a e ae ae ae ae x ae x ae x e x e x e y y y -+=-=*-=⇒=--=*''=*'===-==⇒=+-⇒=--=-'-''--故，有设故基本解组为或解：ϕϕϕϕϕϕλλλλλλ
).
2sin 2(cos 2cos |
||)2cos ()2sin 2()2sin 43()(.
2201)(.)(,1)(2002;2sin 432).3(21
2322122sin 24141212302)2cos 2(sin 2020230
222320
22sin 4322sin 4322)
2sin 43(2
1
)()
(*
22222122020220
x x x C e C y e
x x e e
s s ds s e e
e
ds ds
e
ds ds s x e e e x W e
x x x y y x x x x
s
s s e x x
s x x
s s
s
x
s
x
x e
s
x
x x e
s e k x x
s W s W k x x
x
x
s s
s
s k
+-++=-++-=-+-=--+=+=+=-=-=
==-==⇒=++='+''------+-+--+-=----⎰
⎰
⎰
⎰∑⎰
---故，故基本解组为或解：ϕ
ϕϕϕλλλλ
).
sin cos (,.,1044)(043;
043).4(2
153215212
151332
1x C x C e
e C y y y y x x i
++===⇒=-+-⇒=-+=-'+'''--±-故，解：λλλλλλλ
).
sin cos (,.2,2,20)]2()][2()[2(01032;
01032).5(322123x C x C e e C y i i i i y y y y x x ++=-=+=-=⇒=--+-+⇒=+--=+'-''-'''-故，解：λλλλλλλλλ.)(.(0)(033;
033).6(2
3213322332ax e x C x C C y a a a a a y a y a y a y ++==⇒=-⇒=-+-=-'-''-'''故，二重）。

解：λλλλλ ).
2sin 2cos ()(,.2110)32()1(0
1(8)33()(03884;
03884).7(43212
2
234234)4(x C x C e e x C C y i y y y y y x x +++=±==⇒=+--⇒=-+---⇒=+-+-=+'-''+'''-故（二重），）解：λλλλλλλλλλλλλλ
.
sin )(cos )(,.00)1(02;
02).8(543212235)5(x x C C x x C C C y i y y y ++++=±==⇒=+⇒=++='+'''+故（二重），解：λλλλλλλ
)
cos sin ()sin cos (2)
sin cos (2)cos sin (2)
sin cos (2)cos sin (2)cos sin (2)().
sin cos ()cos sin (2)
cos sin (2)sin cos (2)().cos sin ()sin cos (2)()sin cos ()(0)1(012;0,3)0(,2)0(,1)0(,sin 2).9(2222224)4(x b x a x x b x a x x b x a x x b x a x b x a x x b x a x b x a x x b x a x x b x a x x b x a x x b x a x x b x a x x b x a x x x b x a x x i y y y y x y y y -+--+--++-+--++-++-=*'''--++-++-++=*''+-++=*'+=*±=⇒=+⇒=++='''=''-='==+''+ϕϕϕϕλλλλ代入方程得，
设（二重）解：
).
sin cos ()cos sin (2)cos sin (2)sin cos (2)cos sin (2)
sin cos (2)sin cos (2)cos sin (2)
sin cos (2)sin cos (2)sin cos (2)(2x b x a x x b x a x x b x a x x b x a x b x a x x b x a x b x a x b x a x x b x a x b x a x b x a x ++-+-+--+-+--+--+-+--+--+--=*''''ϕ
x
x x x C C x x C C y x x x b a x x b x a sin sin )(cos )(.
sin )(.,0sin )sin cos (82
8
1
43212
8181-+++=-=*-==⇒=--故，通解为则于是ϕ
⎪
⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=+--=+=2
1
03322148
213
85
2
1
433241321C C C C C C C C C C C 又
.
sin )2(cos )1(8821852
x x x x y x
+--+=故， 也是方程的解。

故代入得，设不是方程的特征根。

有解：.,)(.12)(1101;1)0()0()0(;2).10(44)4(x x
x
x
x
x e x A e Ae Ae Ae x y y y y e y y =*=⇒=+=*-=⇒=+='''=''='==+ϕϕλλ
)
cos sin ()sin cos ()sin cos ()
cos sin ()sin cos ().
cos sin ()sin cos ()().sin cos ()sin cos ()cos sin ()()sin cos ()(.
1022,cos 422).11(2x b x a xe x b x a xe x b x a e x b x a xe x b x a e x b x a e x b x a xe x x b x a xe x b a e x b x a xe x x b x a xe x i x e y y y x x x x x x x x x x x x +-++++++-++++-+--=*''+++++-=*'+=*±=⇒=+-=+'-''ϕϕϕλλλ代入方程得，
设解： .
sin 2)sin cos (.sin 2)(,2,0cos 4)cos sin (221x xe e x C x C y xe xe x b a x e x b x a e x
x
x x x x ++==*==⇒=+-故，则于是ϕ。