工程光学习题参考答案第十章 光的电磁理论基础

工程光学习题参考答案第十章光的电磁理论
基础
第十章光的电磁理论基础
解：（1）平面电磁波cos[2()]E t c
πν?=-+ 对应有14
62,10,,3102
Hz m π
ν?λ-===
=?。

（2）波传播方向沿z 轴，电矢量振动方向为y 轴。

（3）B E →
→
与垂直，传播方向相同，∴0
By Bz ==
814610[210()]
z Bx CEy t π
π===??-+
解：（1）215
cos[2()]10cos[10()]0.65E t t c
c
πν?π=-+=- ∴15
14
210510v Hz πνπν=?=?
72/2/0.65 3.910n k c m λππ-===?
（2）8
714310 1.543.910510
n c c n v λν-?====??? 3.在与一平行光束垂直的方向上插入一片透明薄片，薄片的厚度0.01h mm =,折射率n=1.5, 若光波的波长为500nm λ=,试计算透明薄片插入前后所引起的光程和相位的变化。

解：光程变化为(1)0.005n h mm ?=
-=
相位变化为)(202500
10005.026
rd πππλδ=??=
?
= 4. 地球表面每平方米接收到来自太阳光的功率为1.33kw,试计算投射到地球表面的太阳光
的电场强度的大小。

假设太阳光发出波长为600nm λ=的单色光。

解：∵2201
2
I c ε=
= ∴1
320
2()10/I v m c ε=
5. 写出平面波8
100exp{[(234)1610]}E i x y z t =++-?的传播方向上的单位矢量0k 。

解：∵exp[()]E i k r t ω=-
x y z k r k x k y k z ?=?+?+?
0000000000
2,3,4234x y z x y z k k k k k x k y k z x y z k x y z ===∴=?+?+?=++=+ 6. 一束线偏振光以45度角从空气入射到玻璃的界面，线偏振光的电矢量垂直于入射面，试
求反射系数和透射系数。

设玻璃折射率为1.5。

解：由折射定律
1
2211221122111122sin sin cos 1.5cos cos 0.3034cos cos 22cos 0.6966cos cos s s n n n r n n n t n n θθθθθθθθθθ=
=∴=--∴==-+===+ 7. 太阳光（自然光）以60度角入射到窗玻璃（n=1.5）上，试求太阳光的透射比。

解：
22
2221
2
1112222221
22
111212sin sin 212111.54cos 4sin cos 30.8231cos sin () 2
cos 4sin cos 0.998cos sin ()cos ()()
0.91
2
s p s p n n ocs n n n n θθθθθθτθθθθθθτθθθθθτττ==∴=??=
?==+=?=+-+∴=
=
8. 光波以入射角1θ从折射率为1n 介质入射到折射率为2n 的介质，在两介质的表面上发生反
射和折射（折射角为2θ，见图10-39），s 波和p 波的振幅反射系数和投射系数分别为s r 、p r 和s t 、p t 。

若光波从2n 介质入射到1n 介质（见图10-39b ）中，入射角为2θ，折射角为1θ，s 波和p 波的反射系数和透射系数分别为's r 、'p r 和's t 、'p t 。

试利用菲涅耳公式证明（1）'s s r r =-；（2）'p p r r =-；（3）'s s s t t τ=；（4）'p p p t t τ=（p τ为p 波的透射比，s τ为s 波的透射比）。

解：
11221122
11222211
11222211
121221
121212cos cos (1)cos cos 'cos''cos'cos cos ''cos''cos'cos cos (2)12cos sin 2cos'sin'2cos sin 3,'sin()sin('')sin()
s s s
s s n n r n n n n n n r r n n n n t t θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ-=+--=
==-++=
==
+++∴同（）（）2211221221
22122112222221
2
11124sin cos sin cos sin cos 4sin cos 'sin ()sin cos sin ()cos 4sin cos cos sin ()(4)3s s s
t t n t n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ?==?
++=?=+同（）略
9. 电矢量方向与入射面成45度角的一束线偏振光入射到两介质的界面上，两介质的折射率分别为121, 1.5n n ==，问：入射角150θ=度时，反射光电矢量的方位角（与入射面所成)b
图10-39 习题8图
的角）？若160θ=度，反射光的方位角又为多少？解：111
122
12121212sin 150sin ()30.7sin()()
0.335,0.057
sin()()
'0.3350.335,'0.057'
80.33'
(2)0s p s p s s s s p p p s p s n n tg r r tg
r r tg r θθθθθθθθθθθαα-=?==?--∴=-
=-==++==∴==-=-==∴=?=-?
=- （），由折射定律入射光由反射系数有合振幅与入射面的夹角同理.421,0.042'
'(
)84.3'
p s p r rctg α=-∴==?
10. 光束入射到平行平面玻璃板上，如果在上表面反射时发生全偏振，试证明折射光在下表面反射时亦发生全偏振。

证明：当入射角为布儒斯特角时，发生全偏振，反射光中只有s 波第一次反射时，11312,90,,B n n tg n θθθθθ=+=?= =玻
空n 第二次反射时，212',''90,''B n
n n θθθθθ=+=?=空
B 玻
，tg =n 得证。

亦可由,s p r r 求证.
11. 光束垂直入射到45度直角棱镜的一个侧面，并经斜面反射后由底二个侧面射出（见图10-40），若入射光强为0I ，求从棱镜透过的出射光强I ？设棱镜的折射率为1.52，且不考虑棱镜的汲取。

图10-40 习题11图
解：
22
122
31222123000
10.52()()0.04261 2.5211 1.52()()0.0426
11 1.52
,sin 1.52sin 45901
10.0426110.04260.917n n n n I I I I ρρθθθρτρτ-===+--===++?=???>?∴=∴==-??-=经过第一面时，反射比为经过第三面时，反射比为经过第二面时，=45在此面发生全反射，即出射光强为（）（）
12. 一个光学系统由两片分离透镜组成，两透镜的折射率分别为1.5和1.7，求此系统的反射光能损失。

如透镜表面镀上曾透膜，使表面反射比降为0.01，问此系统的光能损失又为多少？设光束以接近正入射通过各反射面。

解
()()()()()22
2223412344
)()0.04
()()0.04
0.067
11110.80220%
0.01'10.010.96,4%
R R R R R R R ττ=======∴=----==-=111220此系统有4个反射面，设光束正入射条件下，各面反射率为n -1 1.5-1R =(n +1 1.5+11
-1
n -1 1.51n +1+11.5
光能损失为（初始为I ）
，损失若反射比降为，则损失
13. 一半导体砷化镓发光管（见图10-41），管芯B 为发光区，其直径3d mm ≈。

为了幸免全反射，发光管上部磨成半球形，以使内部发的光能够以最大投射比向外输送。

要使发光区边缘两点和B 的光不发生全反射，半球的半径至少应取多少？(已知对发射的0.9nm λ=的光，砷化镓的折射率为3.4) 。

解：
sin sin sin 1sin sin 1
sin 3.41
sin sin sin 3.43.4 3.4 5.12
C R r
R
r
R
r
B R
r c c R d
R r mm
θαθαθθθθθθ=?∴≤≤
==
∴=?= 设半球半径为，由正弦定理，管芯边缘发光的入射角有
最大为，最小为0，0若时仍不能发生全反射，则内所有光均不会发生全反射全反射角
14. 线偏振光在玻璃-空气界面上发生全反射，线偏振光的方位角45α=度，问线偏振光以多大角度入射才能使反射光的s 波和p 波的相位差等于45度，设玻璃折射率1.5n =。

解：
()1
2222
1141
24222
112112cos (sin )2sin 1sin 1sin 0
21,45sin 0.64830.5842
1.5
1
53.6349.85rcsin 41.811.5
C S P tg n tg tg n n n δδ
θθδ
θδθθδθθθ=-=
??+-++= ???==?=∴=??==?
∴全反射时，波与波相位差为，且将代入有或或，而上述答案均可
15. 线偏振光在1n 和2n 介质的界面发生全反射,线偏振光的方位角45α=度,
证明当
cos θ=时(θ是入射角),反射光波和波的相位差有最大植。

式中21/n n n =。

证明：
()()(
)()
()
()()()()()
22
1
222
2
2
2 22222
2
cos cos 2sin1cos ,cos
22
1
12]12
2
1
0,
1
1[12]12 2
S P
tg
tg tg y x y
x x n x x x dy
dx x
dy
dx
x x n x x x x n x
x
δθθ
θθ
δδ
δθ
-
==
-
==
∴=
--?----=
-
=
---+-=--?-
=
全反射时，波与波相位差为若最大，则最大，令
令则有
2
2
1
2
2
2
1
1
1
cos(),
1
n
n
n
n
θδ
-
+
-
∴=
+
当时取最大
16. 圆柱形光纤（图10-42）其纤芯和包层的折射率分别为
1
n和
2
n，且
1
n>
2
n。

（1）证明入射光的最大孔径角2u
满足关系式sin u=2）若12
1.62, 1.52,
n n
==求孔径角？
解：
(
)
(
)
2
2
11
12
1sin,sin cos sin
sin
21 1.62,2 1.52 268.2
c c
n
n
n
u
n
n n
u
θθθ
θ
=∴==
∴==
==
==?
若
17. 已知硅试样的相对介电常数
12
ε
ε
=，电导率11
2.cm
σ--
=Ω，证明当电磁波的频率
图10-42 习题16图
910HZ ν222221212由题知方位角即设长短半轴分别为，，则有+ = + =2 求得其中略掉项
22. 有一菲涅耳棱体（见图10-21），其折射率为1.5，入射线偏振光的电矢量与入射面（即图面）成45度角，求（1）棱体的顶角α取多大时，能使从棱体射出圆偏振光？（2）若棱体的折射率为1.49，能否产生圆偏振光？解：
(
)()
()
2222
22
21cos 8sin 5315'5013'
2,21sin 022sin 1m c tg n n n d tg d n n π
δπ
θ
θδθθ
δθ
θδ?==
=??-+??== ???=
+∴因为入射光的振动方向与入射面夹角为45，所以S波与P波的振幅
相同，所以只需两次全反射使S、P拨相位差为即可，那么每次反射
2产生的相位差为，有tg 2得或对于固定的必定有极大值，将上式对求导
得存2110.409422 1.4944.32,4
m
m n tg n n δπ
δ-?
?=== ?
?
?=?<
∴在极大值，不可能产生圆偏振光
23. 又旋圆偏振光以50度角入射到空气-玻璃界面（玻璃折射率为1.5），试决定放射波和
透射波的偏振状态。

解：入射为右旋圆偏振光，如图，可写为cos Es t ω= cos sin 2Ep t t πωω??
=-
= ??
?
若设1.5n =波，则布儒斯特角56B θ=?，所以反射光中S 波与P 波均存在。

有
'sin 2'sin s s s s s s p p E r E r E r t Ep r Ep r t
πωω?
?==-=?- ?
?
?==? ∴'Es 比'Ep 落后
2
π
相位，且有s p r r ≠∴反射光为左旋椭圆偏振光对于透射光
''cos ''cos 2s s p p P p Es t Es t t
E t E t t ωπω=?=?
?==- ?
?
? ∵s p t t ≠∴投射光为右旋椭圆偏振光。

24. 确定其正交重量由下面两式表示的光波的偏振态：
005(,)cos(),(,)cos[()]4
x y z z E z t x t E z t y t c c π
ω=-=-+
解：对于合成波有121255
,0,,44
ααπδπ=====
∴方位角12221223
2cos ,4
tg ?δ?π=
=-∞∴=-
又∵sin 2sin 2sin 1,(12
tg εβδδ==-?=略）∵0tg ε< ∴为右旋又设长短轴为12,
∴
2
1
1 = （1）且有2
2
2
122 += （2）∴121.71,0.29 ==
1
4
100/,6
1 v
m
H Z H
νν==??=试求合成波在0,1z z m ==和1.5z m =各处的强度随时间的变化关系。

若两波频率差8
310HZ ν?=?，试求合成波振幅变化和强度变化的空间周期。

解：令()()
1212222,2,,k k π
π
ωπνωπννλ
λλ==-?=
=
+?
则()111cos E k z t ω=-
()222cos E k z t ω=-
则合成波强度()2
2
4cos
m m I t k z ω=-
其中()8121
21022m rd ωωωπνπ-=
=
???=? ()
1122
3
m k k k m π
--=
=
∴I ∝4
2
8
410cos 10
3t z ππ??
?-
???
?
0z =时I ∝428
410cos [10]3
t π
π?-
1z =时I ∝428
410cos 10t π? 1.5z =时I ∝428 410cos [10]2
t π
π?-
若8
310Hz ν?=?
8310m rd ωπ=?
1
m k m π-=
()1421210rd ωπννπ=-?? 6
1410
k m π-?
∴()()
2cos cos m m E k z t kz t ωω=--
()()
8614
2cos 310cos 4101210 z t z z πππ=-??-? 空间周期为2m
()224cos m m I t k z ω=-
()
428
410cos 310z t ππ=?-? 空间周期为1m
26. 试计算下列各情况的群速度：（1
）ν=
g 为重力加速度）；（2
）ν=
（浅水波，T 为表面张力，ρ为质量密度）。

解：群速度g dv v v d λ
λ
=- （1
）122
g dv v v v d λλ=== （2
）1
32
232
g dv v v v d λ-
-=
?=?= 27. 试求图10-43所示的周期性矩形波的傅里叶级
数表达式，并绘出其频谱图。

解：周期性矩形波为偶函数，所以0n B = ()2 4
024
1
12 E z dz dz λλ
λλλ--=
==??
4-
4 λ图10-43 习题27图
()2
4
2
4
2
2
2cos cos sin 2
u n E z nkzdz nkzdz n λ
λ
λλπλλπ--=
=
=
?? 即12342
2
,0,,0 π
π
=
==-=…………………
()()11
cos cos3cos5cos7..............2f z kz kz kz kz π
=
+-+-+ 图略
28. 求图10-44所示周期性三角波的傅里叶分析表达式，并绘出其频谱图。

解：偶函数0n B = ()2
200
2
1
2
4
E z dz zdz λ
λ
λλ
λλ-=
=
=??
()()2
2220
2
2
4
cos cos cos 1u E z nkzdz z nkzdz n n λλ
λλ
πλλπ
-=
=
=
-??
即41232
2
22,0,,09 λ
λ
π
π-=-===……………………()222
211cos cos3cos5 (4)
35f z kz kz kz λ
λπ??
=
-
+++ ???
29. 试求图10-45所示的矩形脉冲的傅里叶变换，并绘出其频谱图。

Z
图10-44 习题28图Z
图10-45 习题29图
解：()()22sin 2sin L ikz ikz L L k f z e dz e dz kL L c k λ+∞
+---∞
-??
=
=== ???
?
?
30. 试求图10-46所示的三角形脉冲的傅里叶变换。

解：()()()()cos sin ikz k f z e dz f z kz i kz dz +∞+∞
--∞
-∞
=
=-?
?
()()0
cos 2L f z kzdz f z +∞-∞
==?
?
()()2220
212cos 1cos sin L
z L kzdz kL L c k λ??=-+=
-= ???
?
31. 氪同位素86
Kr 放电管发出的波长605.7nm λ=的红光是单色性很好的光波，其波列长
度约为700mm ，试求该波的波长宽度和频率宽度。

解：2462
605.7 5.2410270010
nm L λλ-?===?? c λν=
ν
λ
ν
λ
??∴
=
4
995.2410100.4310605.7
Hz λ
ννλ-??∴?==?=?
Z
-L L 0 图10-46习题30图
32.
M1、M2是两块平行放置的玻璃片(n=1.50)，背面涂黑。

一束自然光以角入射到M1上的点，反射至M2上的B 点，再出射。

试确定M2以B 为轴旋转一周时，出射光强的变化规律。

解由题设条件知，两镜的入射角均为，且有
对于M1，有
由于是自然光入射，p 、s 重量无固定相位关系，光强相等，故
式中，I 0是入射自然光强；I 1是沿B 的反射光强，反射光是垂直于图面振动的线偏振光。

对于M2，假设在绕B 轴旋转的任一位置上，入射面与图面的夹角为，则沿B 的入射光可以分解为p 重量和s 重量，它们之间有一定位相差，其振幅为
由于此时的入射角也为，所以：
因此，自M2出射光的振幅为
即自M2出射光的强度为：
结论：出射光强依M2相对于M1的方位变化，符合马吕斯（Mlus ）定律。

1θB θ
69
.339031.56tn 21211=-====-B B n n θθθθ1479.0])
sin()sin([)(0)(221212
2=+--====θθθθρρs
s p p r r 01
074.0)(21I I s p ==+=ρρρθ
θθ
cos sin 11I E I E s p ==B
θ3846
.0)sin()sin(02121-=+--==θθθθs p
r r θcos )3846.0(0
1''I E r E E s s s p -===θ
202
'2cos 011.0)(I E I s ==B θ。