高三数学一轮复习 10.3 二项式定理课时训练解析 新人教A版

第十章 第三节 二项式定理
(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．(2011·南昌模拟)若C 1
n x ＋C 2n x 2
＋…＋C n n x n
能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4
D ．x ＝6，n ＝5
解析：∵C 1
n x ＋C 2n x 2
＋…＋C n n x n
＝(1＋x )n
－1， 代入验证选项可得答案C. 答案：C
2．在二项式(x 2
＋x ＋1)(x －1)5
的展开式中，含x 4
项的系数是( ) A ．－25 B ．－5 C ．5
D ．25
解析：因为(x －1)5中含x 4
，x 3
，x 2
项分别为－C 15x 4
，C 25x 3
，－C 35x 2
，所以含x 4
项系数为－C 1
5
＋C 2
5－C 3
5＝－5.
答案：B
3．(2011·海南五校联考)在⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
x 2－13x n
的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展
开式中常数项是( )
A ．－7
B ．－28
C ．7
D ．28
解析：依题意，n
2
＋1＝5，∴n ＝8.二项式为⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
x 2－13x 8
，
易得常数项为C 68⎝ ⎛⎭⎪
⎫x 22⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
－
13x 6＝7.
答案：C 4. 若(1－2x )2009
＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2009x 2009
(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 2009
2
2009的值为( )
A ．2
B ．0
C ．－1
D ．－2
解析：观察所求数列和的特点，
令x ＝12可得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 200922009＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2009
22009＝－a 0，
再令x ＝0可得a 0＝1，因此a 12＋a 222＋…＋a 2009
2
2009＝－1.
5．(1＋ax ＋by )n
展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )
A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5
B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6
C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6
D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5
解析：不含x 的项的系数的绝对值为(1＋|b |)n
＝243＝35
，不含y 的项的系数的绝对值为(1＋|a |)n
＝32＝25
，
∴n ＝5，⎩⎪⎨
⎪⎧
1＋|b |＝3，
1＋|a |＝2.
答案：D
6．(2011·湖南六校联考)已知0<a <1，方程a |x |
＝|log a x |的实根个数为n ，且(x ＋1)n
＋(x ＋1)11
＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2
＋…＋a 10(x ＋2)10
＋a 11(x ＋2)11
，则a 1＝( )
A ．9
B ．－10
C ．11
D ．－12
解析：作出y ＝a |x |
(x >0)与y ＝|log a x |的大致图象如图所示，所以n ＝2.
故(x ＋1)n
＋(x ＋1)11
＝(x ＋2－1)2
＋(x ＋2－1)11
，所以a 1＝－2＋C 10
11＝－2＋11＝9. 答案：A
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．在(3
x －1x
)6的展开式中，x 的指数是整数的项共有________项．
解析：因为T r ＋1＝C r
6(3
x )
6－r
(－1
x
)r ＝C r 6(－1)r
423
r x
-，4
3
r 为整数时，r 可以取0,3,6，所以展开式中x 的指数是整数的项共有3项．
答案：3
8．(2010·安徽高考)(
x y －y x
)6的展开式中，x 3
的系数等于________． 解析：(
x y －y x )6的通项为T r ＋1＝C r
6(x y )6－r (－y x
)r ＝C r
6(－1)r
3
62
r x
-332
r y
-，
令6－3
2
r ＝3，
得r ＝2，32
r －3＝0，故x 3的系数为C 26(－1)2
＝15.
9．已知函数f (x )＝(1－1x )9，则f ′(x )中1
x
的系数为________．
解析：由函数f (x )＝(1－1x )9，得f ′(x )＝9(1－1x )8×(1－1x )′＝9(1－1x )8·1
x
2，因为(1
－1x )8的二项展开式的通项T r ＋1＝C r
8(－1x )r ，T 2＝C 18(－1x )1＝－8x ，
所以f ′(x )中1x
3的系数为－72. 答案：－72
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．(2011·济南模拟)若(x 2
－1
ax )9(a ∈R)的展开式中x 9
的系数是－21
2，求0
a ⎰
sin x d x 的
值．
解：由题意得T r ＋1＝C r
9(x 2)9－r
(－1)r (1ax
)r
＝(－1)r C r 9x
18－3r
1
a
r
，令18－3r ＝9得r ＝3，所以－C 391
a
3 ＝－21
2，解得a ＝2，
所以2
0⎰sin x d x ＝(－cos x )
2
＝－cos2＋cos0＝1－cos2. 11．已知(x －2x
2)n (n ∈N *
)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含32
x 的项．
解：由题意知，第五项系数为C 4
n ·(－2)4
， 第三项的系数为C 2
n ·(－2)2
， 则有C 4
n
－4C 2
n
－
2
＝
101
， 化简得n 2－5n －24＝0， 解得n ＝8或n ＝－3(舍去)．
(1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8
＝1. (2)通项公式T r ＋1＝C r
8·(x )8－r
·(－2x
2)r
＝C r
8·(－2)r
·822
r
r x --，(r ＝0,1，…，8)，
令
8－r 2－2r ＝3
2
，则r ＝1，
故展开式中含32x 的项为T 2＝－1632
x .
12．已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n
展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．
解：(1)令x ＝1，则二项式各项系数和为f (1)＝(1＋3)n
＝4n
， 展开式中各项的二项式系数之和为2n
. 由题意知4n
－2n
＝992. ∴(2n )2
－2n －992＝0， ∴(2n
＋31)(2n
－32)＝0，
∴2n
＝－31(舍)或2n
＝32，∴n ＝5.
由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是
T 3＝C 25
(23x )3(3x 2)2＝90x 6，
T 4＝C 35
(23
x )2
(3x 2)3
＝270223
x
.
(2)展开式通项为T r ＋1＝C r 53r
·x 23
(5＋2r ) 2
(52)3
r x +．
假设T r ＋1项系数最大，则有⎩
⎪⎨⎪⎧
C r 53r ≥C r －15·3r －1
，
C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1
.
∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
5！5－r ！r ！×3≥5！
6－r ！r －1！，
5！5－r ！r ！≥5！
4－r ！r ＋1！×3.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
3
r ≥16－r
，15－r ≥3
r ＋1.
∴72≤r ≤9
2
，∵r ∈N ，∴r ＝4. ∴展开式中系数最大项为T 5＝C 4
5
23x (3x 2)4
＝405263
x
.。