高考数学总复习 5.5解斜三角形及应用举例课件 文 新人教B版
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第八页，共45页。
(5)tanB＋2 C＝cotA2； (6)cotB＋2 C＝tanA2； (7)tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.
第九页，共45页。
• 1.判断三角形的形状特征，必须从研究三角形的边与边的关系， 或角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行转化 (zhuǎnhuà)，即化边为角或化角为边，边角统一．
• 2．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： • (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； • (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．(从而进一步
求出其他的边和角)．
第十页，共45页。
• 3．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知三边，求三 个角；(2)已知两边和它们(tā men)的夹角，求第三边和其它两个 角．
面积公式进行恒等变形或运算，以化简、求值或三角形的形状 (xíngzhuàn)的判定为主．解三角形常常作为工具用于立体几何中 的计算或证明． • 2．在2009年高考中有7套试卷在此知识上命题．如2009全国Ⅰ， 17等． • 3．估计在2011年高考中仍会以选择题或解答题的形式考查.
第三页，共45页。
第三十八页，共45页。
第三十九页，共45页。
[解] 如题图所示：在△ADC 中，
∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
所以 CD＝AC＝0.1
又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD＝BA，
2．正弦定理、余弦定理： (1)正弦定理：sianA＝sibnB＝sincC＝2R (其中 R 表示三角形的外接圆半径) (2)余弦定理：第一形式，b2＝a2＋c2－2accosB，第 二形式，cosB＝a2＋2ca2c－b2.
第六页，共45页。
3．三角形的面积：△ABC 的面积用 S 表示，外接圆 半径用 R 表示，内切圆半径用 r 表示，半周长用 p 表示则
第三十六页，共45页。
(2)∵sin2A＋sin2B＝sin2C
∴(2aR)2＋(2bR)2＝(2cR)2，
∴a2＋b2＝c2，
故△ABC 是直角三角形，且 C＝90°，
∴cosB＝ac，代入 c＝2acosB，
得
cosB＝
2 2.
∴B＝45°，A＝45°，即 A＝B.
综上，△ABC 是等腰直角三角形.
第三十七页，共45页。
例 3 (2009 年辽宁卷理 17 文 18)如图，A，B，C， D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上 的两座灯塔的塔顶．测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°，30°，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°，AC＝0.1 km.试探究图中 B，D 间距 离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离(计 算结果精确到 0.01 km， 2≈1.414， 6≈2.449)．
[答案(dáàn)] A
第十七页，共45页。
4．(北京卷 4)已知△ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，B
＝60°，那么角 A 等于
()
A．135°
B．90°
C．45°
D．30°
第十八页，共45页。
[解析] 由正弦定理得sin2A＝sin630°
⇒sinA＝
2 2
∵a<b⇒A<B，即 A<60°，
∴A＝45°.
75°，则 b＝
()
A．2
B．4＋2 3
C．4－2 3
D. 6－ 2
第十四页，共45页。
[解析] sinA＝sin75°＝sin(30°＋45°)
＝sin30°cos45°＋sin45°cos30°
＝
2＋ 4
6，
由 a＝c＝ 6＋ 2得∠C＝75°，
∴∠B＝30°，sinB＝21，
∴b＝sianA·sinB＝
据条件判断出所解三角形的类型，合理选择正弦定理(dìnglǐ)、余弦 定理(dìnglǐ)去求解．在解三角形时用到三角形内角和定理(dìnglǐ)， 诱导公式以及边角不等关系定理(dìnglǐ)等．
第二十七页，共45页。
思考探究 1 (2009 年四川卷文)在△ABC 中，
A、B 为锐角，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、
由锐角△ABC 得 0°<2A<90°⇒0°<A<45°，
又 0°<180°－3A<90°⇒30°<A<60°，
故：30°<A<45°⇒
2 2 <cosA<
23，
∴AC＝2cosA∈( 2， 3)．
第二十一页，共45页。
第二十二页，共45页。
例 1 (2009 年天津卷文)在△ABC 中，BC＝ 5， AC＝3，sinC＝2sinA.
(2)在△ABC 中，根据余弦定理得：
cosA＝AB2＋2AABC·A2－C BC2
＝20＋9－5＝2 12 5
5 5
于是 sinA＝ 1－cos2A＝ 55，
第二十四页，共45页。
从而：sin2A＝2sinAcosA＝45
cos2A＝cos2A－sin2A＝53
sin(2A－π4)＝sin2Acosπ4－cos2Asinπ4＝
第三十三页，共45页。
• 1．本题(běntí)易错点 • (1)在法1中易错为由sin2A＝sin2B得A＝B. • (2)在法2中易错为由(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2－b2)c2得a2＋b2＝c2.
第三十四页，共45页。
• 2．判断(pànduàn)三角形形状的方法思路 • (1)利用正弦定理、余弦定理化边为角，再通过三角恒等变形得到
第四页，共45页。
• 1.判断三角形形状的依据(yījù)： • (1)等腰三角形：a＝b或A＝B；(2)直角三角形：b2＋c2＝a2或A＝
90°；(3)钝角三角形：a2>b2＋c2或A>90°；(4)锐角三角形：若 a为最大边，且满足a2<b2＋c2或A为最大角，且A<90°.
第五页，共45页。
• [解] 解法(jiě fǎ)1：(化成角的关系求解) • 由条件变形可得，a2[sin(A－B)－sin(A＋B)] • ＝－b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)] • 由和差角公式展开得：a2cosAsinB＝b2sinAcosB， • 由正弦定理得可化为： • sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB
第一页，共45页。
• 最新考纲解读 • 1．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用(yùnyòng)它们解斜
三角形． • 2．能熟练利用正弦定理、余弦定理将三角形的边角进行转化． • 3．掌握三角形形状的判断，三角形内三角函数求值及三角恒等
式证明等．
第二页，共45页。
• 高考考查命题趋势 • 1．在高考试题中主要考查正弦定理、余弦定理以及利用三角形
(1)求 AB 的值； (2)求 sin(2A－π4)的值．
• [分析] (1)已知两角A、C及一ngxián)定理；(2)只需求出sin2A即可．
第二十三页，共45页。
[解] (1)在△ABC 中，根据正弦定理得：
sAinBC＝sBinCA，
于是 AB＝sinCsBinCA＝2BC＝2 5
c，且
sinA＝
55，sinB＝
10 10 .
(1)求 A＋B 的值；
(2)若 a－b＝ 2－1，求 a、b、c 的值．
第二十八页，共45页。
[解] (1)∵A、B 为锐角，sinA＝ 55，sinB＝ 1100， ∴cosA＝ 1－sin2A＝255， cosB＝ 1－sin2B＝31010， cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB ＝255×31010－ 55× 1100＝ 22， ∵0<A＋B<π， ∴A＋B＝π4.
(1)S＝12a·ha＝…； (2)S＝12bcsinA＝…； (3)S＝2R2sinAsinBsinC； (4)S＝a4bRc； (5)S＝p·r； (6)S＝ p(p－a)(p－b)(p－c).
第七页，共45页。
4．在△ABC 中常用一些基本关系式： (1)A＋B＋C＝π； (2)sin(B＋C)＝sinA，cos(B＋C)＝－cosA， tan(B＋C)＝－tanA， (3)sinB＋2 C＝cosA2； (4)cosB＋2 C＝sinA2；
第二十九页，共45页。
(2)由(1)知
C＝34π，∴sinC＝
2 2.
由sianA＝sibnB＝sincC得
5a＝ 10b＝ 2c，即 a＝ 2b，c＝ 5b.
又∵a－b＝ 2－1，
∴ 2b－b＝ 2－1，∴b＝1.
∴a＝ 2，c＝ 5.
∴a＝ 2，b＝1，c＝ 5.
第三十页，共45页。
• 例2 在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足(a2 ＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，试判断△ABC的形状．
[答案(dáàn)] C
第十九页，共45页。
二、填空题 5．(湖北卷文 14)在锐角△ABC 中，BC＝1，B ＝2A，则cAosCA的值等于________；AC 的取值范围是 ________．
第二十页，共45页。
[解析] ∵siAnC2A＝sBinCA⇒2cAoCsA＝1⇒cAosCA＝2
2 10
所以 sin(2A－π4)的值是102.
第二十五页，共45页。
• 1．知识方面 • 本题主要考查(kǎochá)正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关
系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查 (kǎochá)基本运算能力．
第二十六页，共45页。
• 2．解斜三角形的常规方法是 • 先根据题意画出三角形的草图，在三角形上标出所有已知条件，根
D．30°
第十二页，共45页。
[解析] 由正弦定理得 S＝21BC·CA·sinC⇒3 3＝12×4×3×sinC ⇒sinC＝ 23， 结合选项知其是锐角，故 C＝60°，选 B.
[答案(dáàn)] B
第十三页，共45页。
2．(2009 年广东卷文 7)已知△ABC 中，∠A，∠B，
∠C 的对边分别为 a，b，c 若 a＝c＝ 6＋ 2且∠A＝
角之间的关系，进而判断(pànduàn)三角形的形状．但要注意“等 腰直角三角形\”和“等腰三角形或直角三角形\”是不一样的． • (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，再通过代数恒等变形，如 配凑、因式分解等方法得到角之间的关系，进而判断(pànduàn)三 角形的形状．但要注意在等式的两边不要随意约掉公因式．
• 4．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结 合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.
第十一页，共45页。
• 一、选择题
• 1．(2009年福建卷文7)已知锐角(ruìjiǎo)△ABC的面积为3，BC＝4， CA＝3，则角C的大小为
•( )
• A．75°
B．60°
• C．45°
2＋ 2＋
66×21＝2.
4
[答案(dáàn)] A
第十五页，共45页。
3．(安徽卷 5)在三角形 ABC 中，AB＝5，AC
＝3，BC＝7，则∠BAC 的大小为
()
2π
5π
A. 3
B. 6
3π
π
C. 4
D.3
第十六页，共45页。
[解析] 由余弦定理得 cos∠BAC＝AB2＋2AABC·A2－C BC2 ＝25＋390－49＝－21 ⇒∠BAC＝23π.
第三十一页，共45页。
∵sinAsinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB， 即 sin2A＝sin2B， 因为 A、B 为三角形的内角，所以 A＝B，或 A ＋B＝π2， 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
第三十二页，共45页。
解法 2：(化为边的关系求解)： 由条件(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC 可得：(a2＋b2)(acosB－bcosA)＝(a2－b2)c ⇔(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2－b2)c2 ⇔a2＋b2＝c2 或 a＝b. 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
第三十五页，共45页。
• 思考探究2 根据(gēnjù)下列条件，判断△ABC的形状． • (1)acosA＝bcosB； • (2)sin2A＋sin2B＝sin2C，且c＝2acosB. • [解] (1)∵acosA＝bcosB • ∴2RsinA·cosA＝2RsinB·cosB， • 即：sinAcosA＝sinBcosB • ∴sin2A＝sin2B • ∴2A＝2B或2A＝π－2B • ∴A＝B或A＋B＝ • ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
(5)tanB＋2 C＝cotA2； (6)cotB＋2 C＝tanA2； (7)tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.
第九页，共45页。
• 1.判断三角形的形状特征，必须从研究三角形的边与边的关系， 或角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行转化 (zhuǎnhuà)，即化边为角或化角为边，边角统一．
• 2．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： • (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； • (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．(从而进一步
求出其他的边和角)．
第十页，共45页。
• 3．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知三边，求三 个角；(2)已知两边和它们(tā men)的夹角，求第三边和其它两个 角．
面积公式进行恒等变形或运算，以化简、求值或三角形的形状 (xíngzhuàn)的判定为主．解三角形常常作为工具用于立体几何中 的计算或证明． • 2．在2009年高考中有7套试卷在此知识上命题．如2009全国Ⅰ， 17等． • 3．估计在2011年高考中仍会以选择题或解答题的形式考查.
第三页，共45页。
第三十八页，共45页。
第三十九页，共45页。
[解] 如题图所示：在△ADC 中，
∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
所以 CD＝AC＝0.1
又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD＝BA，
2．正弦定理、余弦定理： (1)正弦定理：sianA＝sibnB＝sincC＝2R (其中 R 表示三角形的外接圆半径) (2)余弦定理：第一形式，b2＝a2＋c2－2accosB，第 二形式，cosB＝a2＋2ca2c－b2.
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3．三角形的面积：△ABC 的面积用 S 表示，外接圆 半径用 R 表示，内切圆半径用 r 表示，半周长用 p 表示则
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(2)∵sin2A＋sin2B＝sin2C
∴(2aR)2＋(2bR)2＝(2cR)2，
∴a2＋b2＝c2，
故△ABC 是直角三角形，且 C＝90°，
∴cosB＝ac，代入 c＝2acosB，
得
cosB＝
2 2.
∴B＝45°，A＝45°，即 A＝B.
综上，△ABC 是等腰直角三角形.
第三十七页，共45页。
例 3 (2009 年辽宁卷理 17 文 18)如图，A，B，C， D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上 的两座灯塔的塔顶．测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°，30°，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°，AC＝0.1 km.试探究图中 B，D 间距 离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离(计 算结果精确到 0.01 km， 2≈1.414， 6≈2.449)．
[答案(dáàn)] A
第十七页，共45页。
4．(北京卷 4)已知△ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，B
＝60°，那么角 A 等于
()
A．135°
B．90°
C．45°
D．30°
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[解析] 由正弦定理得sin2A＝sin630°
⇒sinA＝
2 2
∵a<b⇒A<B，即 A<60°，
∴A＝45°.
75°，则 b＝
()
A．2
B．4＋2 3
C．4－2 3
D. 6－ 2
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[解析] sinA＝sin75°＝sin(30°＋45°)
＝sin30°cos45°＋sin45°cos30°
＝
2＋ 4
6，
由 a＝c＝ 6＋ 2得∠C＝75°，
∴∠B＝30°，sinB＝21，
∴b＝sianA·sinB＝
据条件判断出所解三角形的类型，合理选择正弦定理(dìnglǐ)、余弦 定理(dìnglǐ)去求解．在解三角形时用到三角形内角和定理(dìnglǐ)， 诱导公式以及边角不等关系定理(dìnglǐ)等．
第二十七页，共45页。
思考探究 1 (2009 年四川卷文)在△ABC 中，
A、B 为锐角，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、
由锐角△ABC 得 0°<2A<90°⇒0°<A<45°，
又 0°<180°－3A<90°⇒30°<A<60°，
故：30°<A<45°⇒
2 2 <cosA<
23，
∴AC＝2cosA∈( 2， 3)．
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第二十二页，共45页。
例 1 (2009 年天津卷文)在△ABC 中，BC＝ 5， AC＝3，sinC＝2sinA.
(2)在△ABC 中，根据余弦定理得：
cosA＝AB2＋2AABC·A2－C BC2
＝20＋9－5＝2 12 5
5 5
于是 sinA＝ 1－cos2A＝ 55，
第二十四页，共45页。
从而：sin2A＝2sinAcosA＝45
cos2A＝cos2A－sin2A＝53
sin(2A－π4)＝sin2Acosπ4－cos2Asinπ4＝
第三十三页，共45页。
• 1．本题(běntí)易错点 • (1)在法1中易错为由sin2A＝sin2B得A＝B. • (2)在法2中易错为由(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2－b2)c2得a2＋b2＝c2.
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• 2．判断(pànduàn)三角形形状的方法思路 • (1)利用正弦定理、余弦定理化边为角，再通过三角恒等变形得到
第四页，共45页。
• 1.判断三角形形状的依据(yījù)： • (1)等腰三角形：a＝b或A＝B；(2)直角三角形：b2＋c2＝a2或A＝
90°；(3)钝角三角形：a2>b2＋c2或A>90°；(4)锐角三角形：若 a为最大边，且满足a2<b2＋c2或A为最大角，且A<90°.
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• [解] 解法(jiě fǎ)1：(化成角的关系求解) • 由条件变形可得，a2[sin(A－B)－sin(A＋B)] • ＝－b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)] • 由和差角公式展开得：a2cosAsinB＝b2sinAcosB， • 由正弦定理得可化为： • sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB
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• 最新考纲解读 • 1．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用(yùnyòng)它们解斜
三角形． • 2．能熟练利用正弦定理、余弦定理将三角形的边角进行转化． • 3．掌握三角形形状的判断，三角形内三角函数求值及三角恒等
式证明等．
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• 高考考查命题趋势 • 1．在高考试题中主要考查正弦定理、余弦定理以及利用三角形
(1)求 AB 的值； (2)求 sin(2A－π4)的值．
• [分析] (1)已知两角A、C及一ngxián)定理；(2)只需求出sin2A即可．
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[解] (1)在△ABC 中，根据正弦定理得：
sAinBC＝sBinCA，
于是 AB＝sinCsBinCA＝2BC＝2 5
c，且
sinA＝
55，sinB＝
10 10 .
(1)求 A＋B 的值；
(2)若 a－b＝ 2－1，求 a、b、c 的值．
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[解] (1)∵A、B 为锐角，sinA＝ 55，sinB＝ 1100， ∴cosA＝ 1－sin2A＝255， cosB＝ 1－sin2B＝31010， cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB ＝255×31010－ 55× 1100＝ 22， ∵0<A＋B<π， ∴A＋B＝π4.
(1)S＝12a·ha＝…； (2)S＝12bcsinA＝…； (3)S＝2R2sinAsinBsinC； (4)S＝a4bRc； (5)S＝p·r； (6)S＝ p(p－a)(p－b)(p－c).
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4．在△ABC 中常用一些基本关系式： (1)A＋B＋C＝π； (2)sin(B＋C)＝sinA，cos(B＋C)＝－cosA， tan(B＋C)＝－tanA， (3)sinB＋2 C＝cosA2； (4)cosB＋2 C＝sinA2；
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(2)由(1)知
C＝34π，∴sinC＝
2 2.
由sianA＝sibnB＝sincC得
5a＝ 10b＝ 2c，即 a＝ 2b，c＝ 5b.
又∵a－b＝ 2－1，
∴ 2b－b＝ 2－1，∴b＝1.
∴a＝ 2，c＝ 5.
∴a＝ 2，b＝1，c＝ 5.
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• 例2 在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足(a2 ＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，试判断△ABC的形状．
[答案(dáàn)] C
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二、填空题 5．(湖北卷文 14)在锐角△ABC 中，BC＝1，B ＝2A，则cAosCA的值等于________；AC 的取值范围是 ________．
第二十页，共45页。
[解析] ∵siAnC2A＝sBinCA⇒2cAoCsA＝1⇒cAosCA＝2
2 10
所以 sin(2A－π4)的值是102.
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• 1．知识方面 • 本题主要考查(kǎochá)正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关
系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查 (kǎochá)基本运算能力．
第二十六页，共45页。
• 2．解斜三角形的常规方法是 • 先根据题意画出三角形的草图，在三角形上标出所有已知条件，根
D．30°
第十二页，共45页。
[解析] 由正弦定理得 S＝21BC·CA·sinC⇒3 3＝12×4×3×sinC ⇒sinC＝ 23， 结合选项知其是锐角，故 C＝60°，选 B.
[答案(dáàn)] B
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2．(2009 年广东卷文 7)已知△ABC 中，∠A，∠B，
∠C 的对边分别为 a，b，c 若 a＝c＝ 6＋ 2且∠A＝
角之间的关系，进而判断(pànduàn)三角形的形状．但要注意“等 腰直角三角形\”和“等腰三角形或直角三角形\”是不一样的． • (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，再通过代数恒等变形，如 配凑、因式分解等方法得到角之间的关系，进而判断(pànduàn)三 角形的形状．但要注意在等式的两边不要随意约掉公因式．
• 4．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结 合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.
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• 一、选择题
• 1．(2009年福建卷文7)已知锐角(ruìjiǎo)△ABC的面积为3，BC＝4， CA＝3，则角C的大小为
•( )
• A．75°
B．60°
• C．45°
2＋ 2＋
66×21＝2.
4
[答案(dáàn)] A
第十五页，共45页。
3．(安徽卷 5)在三角形 ABC 中，AB＝5，AC
＝3，BC＝7，则∠BAC 的大小为
()
2π
5π
A. 3
B. 6
3π
π
C. 4
D.3
第十六页，共45页。
[解析] 由余弦定理得 cos∠BAC＝AB2＋2AABC·A2－C BC2 ＝25＋390－49＝－21 ⇒∠BAC＝23π.
第三十一页，共45页。
∵sinAsinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB， 即 sin2A＝sin2B， 因为 A、B 为三角形的内角，所以 A＝B，或 A ＋B＝π2， 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
第三十二页，共45页。
解法 2：(化为边的关系求解)： 由条件(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC 可得：(a2＋b2)(acosB－bcosA)＝(a2－b2)c ⇔(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2－b2)c2 ⇔a2＋b2＝c2 或 a＝b. 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
第三十五页，共45页。
• 思考探究2 根据(gēnjù)下列条件，判断△ABC的形状． • (1)acosA＝bcosB； • (2)sin2A＋sin2B＝sin2C，且c＝2acosB. • [解] (1)∵acosA＝bcosB • ∴2RsinA·cosA＝2RsinB·cosB， • 即：sinAcosA＝sinBcosB • ∴sin2A＝sin2B • ∴2A＝2B或2A＝π－2B • ∴A＝B或A＋B＝ • ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．