2019-2020学年度河北省石家庄七年级下册期中数学模拟试卷解析版

2019-2020学年度七年级下册期中数学模拟试卷
一、选择题
1．下列说法正确的是( ) A ．若22a b >，则a b > B ．若a b >，则c a c b ->- C ．若0ab <，0a <，则0b <
D ．若0a <，b a >，则2ab a <
2．2018年某区域GDP （区域内生产总值）总量为90.03亿元，用科学记数法表示90.03亿为( ) A ．109.00310⨯
B ．99.00310⨯
C ．89.00310⨯
D ．890.0310⨯
3．下列因式分解错误的是( ) A ．22(21)mn mn n m m -+=--- B ．2211
()42
x x x -+
=- C ．219(13)(13)x x x -=+- D ．22111
()()422
x y x y y x -+=+-
4．下列计算正确的是( ) A ．426x x x += B ．725()()m m m -÷-=- C ．2242(3)6x y x y =
D ．222()a b a b +=+
5．将一副三角板按如图的所示放置，下列结论中不正确的是( )
A ．若230∠=︒，则有//AC DE
B ．180BAE CAD ∠+∠=︒
C ．若//BC A
D ，则有230∠=︒ D ．如果150CAD ∠=︒，必有4C ∠=∠
6．下列计算中正确的个数有( ) ①325a b ab +=； ②33345m n mn m n -=-； ③3253(2)6x x x -=-g ；
④324(2)2a b a b a ÷-=-； ⑤325()a a =； ⑥32()()a a a -÷-=- A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．若A ∠的两边与B ∠的两边分别平行，且380A B ∠-∠=︒，那么B ∠的度数为( ) A ．80︒或100︒
B ．65︒或115︒
C ．40︒或140︒
D ．40︒或115︒
8．分解因式2363a b ab b -+的结果是( ) A ．23(2)b a a -
B ．2(361)b a a -+
C ．23(2)a b ab -
D ．23(1)b a -
9．如果关于x 的不等式组2
32x a x a >+⎧⎨<-⎩
无解，则a 的取值范围是( )
A ．2a <
B ．2a >
C ．2a …
D ．2a „
10．如图，//AB EF ，则A ∠、C ∠、D ∠、E ∠满足的数量关系是( )
A ．360A C D E ∠+∠+∠+∠=︒
B ．180A
C
D
E ∠-∠+∠+∠=︒
C ．90E C
D A ∠-∠+∠-∠=︒ D ．A D C
E ∠+∠=∠+∠
11．把222(1)4a a +-分解因式得( ) A ．22(14)a a +- B ．22(12)(12)a a a a +++- C ．22(1)(1)a a +-
D ．22(1)a -
12．如图，ABD ∠、ACD ∠的角平分线交于点P ，若60A ∠=︒，20D ∠=︒，则P ∠的度数为( )
A ．15︒
B ．20︒
C ．25︒
D ．30︒
13．已知a ，b ，c 是ABC ∆的三条边长，则22()a b c --的值是( ) A ．正数
B ．0
C ．负数
D ．无法确定
14．已知35x y =+，且227924x xy y -+=，则223x y xy -的值为( ) A ．0
B ．1
C ．5
D ．12
15．观察下列各式及其展开式：
222()2a b a ab b +=++ 33223()33a b a a b ab b +=+++ 4432234()464a b a a b a b ab b +=++++ 554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++
⋯
请你猜想11()a b +的展开式第三项的系数是( ) A ．36
B ．45
C ．55
D ．66
16．已知关于x 的方程9314x kx -=+有整数解，且关于x 的不等式组15
52
322
2
8x x x k x +⎧>+⎪⎪⎨-⎪-⎪⎩…有且
只有4个整数解，则满足条件的整数k 有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．0
二、填空题
17．因式分解：2981x -= ．
18．不等式组32
4
x a x a <+⎧⎨<-⎩的解集为32x a <+，则a 的取值范围是 ．
19．已知210a a +-=，则3222019a a ++= ． 20．按下面的程序计算，若开始输入的值x 为正整数，
规定：程序运行到“判断结果是否大于10”为一次运算，当2x =时，输出结果= ．若经过2次运算就停止，则x 可以取的所有值是 ．
21．已知将一块直角三角板DEF放置在ABC
∆上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B、C．过点A作直线//
MN DE，若20
ACD
∠=︒，则CAM
∠
=．
三、解答题
22．（16分）（1）先化简再求值．2
(2)(3)()(5)(5)
x y x y x y x y x y
---+--+，其中
1
2
x=，2
y=
（2）解不等式组：
112
1
43
5313
x x
x x
-+
⎧
-
⎪
⎨
⎪->-
⎩
„
（3）已知2
a b
+=，
3
4
ab=，求代数式3223
2
a b a b ab
-+的值．
23．如图，ABC
∆中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，60
BAC
∠=︒，50
C
∠=︒，求DAC
∠及BOA
∠的度数．
24．已知关于x，y的方程组
2
2324
x y m
x y m
-=
⎧
⎨
+=+
⎩
①
②
的解满足不等式组
30
50
x y
x y
+
⎧
⎨
+>
⎩
„
，求满足条件的m的整数值．
25．某超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表统计了近两周的销售情况：
销售时段销售数量销售收入
A种型号B种型号
第一周3台5台1800
第二周6台8台3180 （1）求A、B两种型号的电风扇每台的销售价分别是多少元？
（2）若超市准备用不超过5250元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，
①求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
②超市销售完这30台电风扇是否能实现利润不低于1240元的目标？若能实现，请写出相
应的采购方案，若不能实现，请说明理由．
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
26．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板∠=︒的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直AOB OAB
(30)
线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒10?的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分COD
∠
∠，此时，BOC
∠与BOE 之间有何数量关系？并说明理由．
（2）若射线OC的位置保持不变，且130
∠=︒．
COE
①则当旋转时间t=秒时，边AB所在的直线与OC平行？
②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共16小题） 1．下列说法正确的是( ) A ．若22a b >，则a b > B ．若a b >，则c a c b ->- C ．若0ab <，0a <，则0b < D ．若0a <，b a >，则2ab a <
【分析】根据不等式的性质解答．
解：A 、当2a =-，1b =-时，不等式a b >不成立，故本选项错误． B 、若a b >，则c a c b -<-，故本选项错误． C 、若0ab <，0a <，则0b >，故本选项错误．
D 、不等式b a >的两边同时乘以负数a ，不等号方向改变，故本选项正确．
故选：D ．
2．2018年某区域GDP （区域内生产总值）总量为90.03亿元，用科学记数法表示90.03亿为( ) A ．109.00310⨯
B ．99.00310⨯
C ．89.00310⨯
D ．890.0310⨯
【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <…，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数． 解：将“90.03亿”用科学记数法表示为99.00310⨯． 故选：B ．
3．下列因式分解错误的是( ) A ．22(21)mn mn n m m -+=--- B ．2211
()42
x x x -+
=- C ．219(13)(13)x x x -=+- D ．22111
()()422
x y x y y x -+=+-
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断． 解：A 、原式(2)mn n =--，符合题意；
B 、原式21
()2x =-，不符合题意；
C 、原式(13)(13)x x =+-，不符合题意；
D 、原式11
()()22
y x y x =+
-，不符合题意， 故选：A ．
4．下列计算正确的是( ) A ．426x x x += B ．725()()m m m -÷-=- C ．2242(3)6x y x y =
D ．222()a b a b +=+
【分析】分别根据合并同类项法则、同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方及完全平方公式逐一计算即可得．
解：A ．4x 与2x 不是同类项，不能合并，此选项错误； B ．7255()()()m m m m -÷-=-=-，此选项正确； C ．2242(3)9x y x y =，此选项错误；
D ．222()2a b a ab b +=++，此选项错误；
故选：B ．
5．将一副三角板按如图的所示放置，下列结论中不正确的是( )
A ．若230∠=︒，则有//AC DE
B ．180BAE CAD ∠+∠=︒
C ．若//BC A
D ，则有230∠=︒
D ．如果150CAD ∠=︒，必有4C ∠=∠
【分析】要解答此题，首先要知道一幅三角板中各角的度数；对于①根据已知可求出1∠的度数，再根据60E ∠=︒，结合1∠与E ∠的位置关系，即可判断；根据角的关系判断②，根据平行线的性质定理判断③，结合①的结论和平行线的性质定理判断④； 解：230∠=︒Q ， 160∴∠=︒，
又60E ∠=︒， 1E ∴∠=∠，
//AC DE ∴，故A 正确； 1290∠+∠=︒Q ，2390∠+∠=︒，
即12239090180BAE CAD ∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒+︒=︒，故B 正确； //BC AD Q ，
123180C ∴∠+∠+∠+∠=︒． 45C ∠=︒Q ，1290∠+∠=︒， 345∴∠=︒，
2904545∴∠=︒-︒=︒，故C 不正确； 30D ∠=︒Q ，150CAD ∠=︒， 180D CAD ∴∠+∠=︒， //AC DE ∴，
4C ∴∠=∠，故D 正确．
故选：C ．
6．下列计算中正确的个数有( ) ①325a b ab +=； ②33345m n mn m n -=-； ③3253(2)6x x x -=-g ； ④324(2)2a b a b a ÷-=-； ⑤325()a a =； ⑥32()()a a a -÷-=- A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【分析】根据各个小题中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 解：32a b +Q 不能合并，故①错误， 3345m n mn -Q 不能合并，故②错误，
3253(2)6x x x -=-Q g ，故③正确，
324(2)2a b a b a ÷-=-Q ，故④正确， 326()a a =Q ，故⑤错误， 32()()a a a -÷-=Q ，故⑥错误，
故选：B ．
7．若A ∠的两边与B ∠的两边分别平行，且380A B ∠-∠=︒，那么B ∠的度数为( ) A ．80︒或100︒
B ．65︒或115︒
C ．40︒或140︒
D ．40︒或115︒
【分析】根据已知得出A B ∠=∠或180A B ∠+∠=︒，和已知组成方程组，求出方程组的解即可．
解：A ∠Q 的两边与B ∠的两边分别平行， A B ∴∠=∠或180A B ∠+∠=︒， 380A B ∠-∠=︒Q ，
40A ∴∠=︒，40B ∠=︒或65A ∠=︒，115B ∠=︒
故选：D ．
8．分解因式2363a b ab b -+的结果是( ) A ．23(2)b a a -
B ．2(361)b a a -+
C ．23(2)a b ab -
D ．23(1)b a -
【分析】首先提取公因式3b ，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 解：2363a b ab b -+
23(21)b a a =-+ 23(1)b a =-．
故选：D ．
9．如果关于x 的不等式组2
32x a x a >+⎧⎨<-⎩
无解，则a 的取值范围是( )
A ．2a <
B ．2a >
C ．2a …
D ．2a „
【分析】由不等式组无解，利用不等式组取解集的方法确定出a 的范围即可． 解：Q 不等式组2
32x a x a >+⎧⎨<-⎩
无解，
232a a ∴+-…，
解得：2a …， 故选：D ．
10．如图，//AB EF ，则A ∠、C ∠、D ∠、E ∠满足的数量关系是( )
A ．360A C D E ∠+∠+∠+∠=︒
B ．180A
C
D
E ∠-∠+∠+∠=︒
C ．90E C
D A ∠-∠+∠-∠=︒
D ．A D C
E ∠+∠=∠+∠
【分析】作//CM AB ，//DN AB ，利用平行线的性质即可解问题． 解：作//CM AB ，//DN AB ，
//AB EF Q ，
//////AB CM DN EF ∴，
A ACM ∴∠=∠，MCD CDN ∠=∠，180E EDN ∠+∠=︒，
()()
EDN CDE CDN CDE DCM CDE ACD ACM CDE ACD A ∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠-∠=∠-∠-∠Q ，
180E CDE ACD A ∴∠+∠-∠+∠=︒，
故选：B ．
11．把222(1)4a a +-分解因式得( ) A ．22(14)a a +- B ．22(12)(12)a a a a +++- C ．22(1)(1)a a +-
D ．22(1)a -
【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可． 解：原式2222(12)(12)(1)(1)a a a a a a =+++-=+-， 故选：C ．
12．如图，ABD ∠、ACD ∠的角平分线交于点P ，若60A ∠=︒，20D ∠=︒，则P ∠的度数
为( )
A ．15︒
B ．20︒
C ．25︒
D ．30︒
【分析】根据三角形的外角性质即可求出答案． 解：延长AC 交BD 于点E ， 设ABP α∠=， BP Q 平分ABD ∠， 2ABE α∴∠=，
260AED ABE A α∴∠=∠+∠=+︒， 280ACD AED D α∴∠=∠+∠=+︒， CP Q 平分ACD ∠，
1
402ACP ACD α∴∠=∠=+︒，
60AFP ABP A α∠=∠+∠=+︒Q ， AFP P ACP ∠=∠+∠
6040P αα∴+︒=∠++︒， 20P ∴∠=︒，
故选：B ．
13．已知a ，b ，c 是ABC ∆的三条边长，则22()a b c --的值是( ) A ．正数
B ．0
C ．负数
D ．无法确定
【分析】利用平方差公式以及三角形的三边关系即可解决问题． 解：22()()()a b c a b c a b c --=-+--Q ， a c b +>Q ，b c a +>， 0a b c ∴-+>，0a b c --<，
22()0a b c ∴--<．
故选：C ．
14．已知35x y =+，且227924x xy y -+=，则223x y xy -的值为( ) A ．0
B ．1
C ．5
D ．12
【分析】依据35x y -=两边平方，可得226925x xy y -+=，再根据227924x xy y -+=，即可得到xy 的值，进而得出223x y xy -的值． 解：35x y =+Q ， 35x y ∴-=，
两边平方，可得226925x xy y -+=， 又227924x xy y -+=Q ， 两式相减，可得1xy =，
223(3)155x y xy xy x y ∴-=-=⨯=，
故选：C ．
15．观察下列各式及其展开式：
222()2a b a ab b +=++ 33223()33a b a a b ab b +=+++ 4432234()464a b a a b a b ab b +=++++ 554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++
⋯
请你猜想11()a b +的展开式第三项的系数是( ) A ．36
B ．45
C ．55
D ．66
【分析】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出11()a b +的展开式第三项的系数． 解：11()a b +的展开式第三项的系数是55． 故选：C ．
16．已知关于x 的方程9314x kx -=+有整数解，且关于x 的不等式组15
52
3222
8x x x k x +⎧>+⎪⎪⎨-⎪-⎪⎩…有且
只有4个整数解，则满足条件的整数k 有( )个． A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
【分析】解不等式组和方程得出关于x 的范围及x 的值，根据不等式组有4个整数解和方程的解为整数得出k 的范围，继而可得整数k 的取值． 解：解关于x 的方程9314x kx -=+得：17
9x k
=-， Q 方程有整数解， 91k ∴-=±或917k -=±，
解得：8k =或10或8-或26，
解不等式组15
52
3222
8x x x k x +⎧>+⎪⎪⎨-⎪-⎪⎩…得不等式组的解集为2528k x -<„，
Q 不等式组有且只有四个整数解， 2
0128
k -∴<
„， 解得：230k <„；
所以满足条件的整数k 的值为8、10、26， 故选：C ．
二、填空题（共5小题，每题3分）
17．因式分解：2981x -= 9(3)(3)x x +- ．
【分析】先提公因式，然后根据平方差公式可以对原式进行因式分解． 解：229819(9)9(3)(3)x x x x -=-=+-， 故答案为：9(3)(3)x x +-．
18．不等式组32
4x a x a <+⎧⎨<-⎩的解集为32x a <+，则a 的取值范围是 3a -„ ．
【分析】根据口诀“同小取小”可知不等式组32
4x a x a <+⎧⎨<-⎩
的解集，解这个不等式即可．
解：解这个不等式组为32x a <+，
则324a a +-„， 解这个不等式得3a -„ 故答案3a -„．
19．已知210a a +-=，则3222019a a ++= 2020 ．
【分析】由210a a +-=可得：21a a +=，等式两边同时乘以a 可得：32a a a +=，将这两个等式代入问题进行代换即可解决问题． 解：210a a +-=Q 21a a ∴+= 32a a a ∴+=
又3232222201920192019120192020a a a a a a a ++=+++=++=+=Q 32220192020a a ∴++=
20．按下面的程序计算，若开始输入的值x 为正整数，
规定：程序运行到“判断结果是否大于10”为一次运算，当2x =时，输出结果= 11 ．若经过2次运算就停止，则x 可以取的所有值是 ．
【分析】由运算程序可计算出当2x =时，输出结果，由经过1次运算结果不大于10及经过2次运算结果大于10，即可得出关于x 的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 解：当2x =时，第1次运算结果为2215⨯+=，第2次运算结果为52111⨯+=， ∴当2x =时，输出结果11=，
若运算进行了2次才停止，则有(21)2110
2110x x +⨯+>⎧⎨+⎩
„，
解得：
7
4.54
x <„． x ∴可以取的所有值是2或3或4，
故答案为：11，2或3或4．
21．已知将一块直角三角板DEF 放置在ABC ∆上，使得该三角板的两条直角边DE ，DF 恰好分别经过点B 、C ．过点A 作直线//MN DE ，若20ACD ∠=︒，则CAM ∠= 110︒ ．
【分析】在Rt ABC ∆中，根据三角形内角和定理得180ABC ACB A ∠+∠+∠=︒，即，9070ABD BAC ACD ∴∠+∠=︒-∠=︒，整体代入即可得出结论．
解：在DBC ∆中，180DBC DCB D ∠+∠+∠=︒Q ， 而90D ∠=︒，
90DBC DCB ∴∠+∠=︒， 180ABC ACB A ∠+∠+∠=︒Q ，
即180ABD DBC DCB ACD BAC ∠+∠+∠+∠+∠=︒， 而90DBC DCB ∠+∠=︒， 90ABD ACD BAC ∴∠+∠=︒-∠， 9070ABD BAC ACD ∴∠+∠=︒-∠=︒．
又//MN DE Q ， ABD BAN ∴∠=∠．
而180BAN BAC CAM ∠+∠+∠=︒， 180ABD BAC CAM ∴∠+∠+∠=︒，
180()110CAM ABD BAC ∴∠=︒-∠+∠=︒．
故答案为110︒． 三、解答题
22．（16分）（1）先化简再求值．2(2)(3)()(5)(5)x y x y x y x y x y ---+--+，其中1
2
x =，2y =
（2）解不等式组：1
121435313x x x x
-+⎧-⎪
⎨⎪->-⎩…
（3）已知2
a b
+=，
3
4
ab=，求代数式
3223
2
a b a b ab
-+的值．
【分析】（1）原式利用完全平方公式，平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可；
（3）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解，把已知等式代入计算即可求出值．解：（1）原式2222222
443225627
x xy y x xy y x y xy y
=-+--+-+=-+，
当
1
2
x=，2
y=时，原式6108102
=-+=；
（2）不等式整理得：
1
1
2
x
x
⎧
⎪
⎨
>
⎪⎩
„
，
则不等式组的解集为
1
1
2
x
<„；
（3）2
a b
+=
Q，
3
4
ab=，
∴原式2222
3
(2)()[()4]
4
ab a ab b ab a b ab a b ab
=-+=-=+-=．
23．如图，ABC
∆中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，60
BAC
∠=︒，50
C
∠=︒，求DAC
∠及BOA
∠的度数．
【分析】根据三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义进行解答即可．
解：Q在ABC
∆中，AD是高，
90
ADC
∴∠=︒，
Q在ACD
∆中，50
C
∠=︒，
905040
DAC
∴∠=︒-︒=︒，
Q在ABC
∆中，50
C
∠=︒，60
BAC
∠=︒，
70ABC ∴∠=︒，
Q 在ABC ∆中，AE ，BF 是角平分线， 1302EAC BAC ∴∠=
∠=︒，1
352
FBC ABC ∠=∠=︒， 503035115BOA BEA FBC C EAC FBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒．
24．已知关于x ，y 的方程组22324x y m x y m -=⎧⎨+=+⎩
①②的解满足不等式组30
50x y x y +⎧⎨+>⎩„，求满足条
件的m 的整数值．
【分析】首先根据方程组可得340
40m m +⎧⎨+>⎩
„，再解不等式组，确定出整数解即可．
解：①+②得：334x y m +=+， ②-①得：54x y m +=+， Q 不等式组30
50x y x y +⎧⎨
+>⎩„， ∴34040m m +⎧⎨
+>⎩
„， 解不等式组得：4
43
m -<-„， 则3m =-，2-．
25．某超市销售每台进价分别为200元、170元的A 、B 两种型号的电风扇，下表统计了近两周的销售情况：
（1）求A 、B 两种型号的电风扇每台的销售价分别是多少元？
（2）若超市准备用不超过5250元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台， ①求A 种型号的电风扇最多能采购多少台？
②超市销售完这30台电风扇是否能实现利润不低于1240元的目标？若能实现，请写出相应的采购方案，若不能实现，请说明理由．
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
【分析】（1）设A 种型号的电风扇每台的销售价为x 元，B 种型号的电风扇每台的销售价为y 元，由题意得等量关系：①3台A 的销售价5+台B 的销售价1800=元，②6台A 的销售价8+台B 的销售价3180=元，根据等量关系列出方程组，再解即可；
（2）①设A 种型号的电风扇采购a 台，由题意得不等关系：A 型的总进价B +型的总进价
5250„元，根据不等关系，列出不等式，再解即可；
②根据题意可得不等关系：A 型每台的利润⨯数量B +型每台的利润⨯数量1240…元，根据不等关系列出不等式，解出不等式，再结合①中a 的范围，确定采购方案即可． 解：（1）设A 种型号的电风扇每台的销售价为x 元，B 种型号的电风扇每台的销售价为y 元，由题意得：
351800
683180x y x y +=⎧⎨
+=⎩
， 解得：250210x y =⎧⎨=⎩
，
答：A 种型号的电风扇每台的销售价为250元，B 种型号的电风扇每台的销售价为210元；
（2）①设A 种型号的电风扇采购a 台，由题意得：
200170(30)5250a a +-„，
解得：5a „，
a ∴最大值为5，
答：A 种型号的电风扇最多能采购5台；
②由题意得：5040(30)1240a a +-…，
解得：4a …
， 由①得：5a „，
45a ∴剟，
a Q 为非负整数， 4a ∴=，5，
∴采购方案1：购进A型4台，购进B型26台；方案2，购进A型5台，购进B型25台．答：能实现，采购方案1：购进A型4台，购进B型26台；方案2，购进A型5台，购进B型25台．
26．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板∠=︒的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直AOB OAB
(30)
线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒10?的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分COD
∠
∠与BOE
∠，此时，BOC
之间有何数量关系？并说明理由．
（2）若射线OC的位置保持不变，且130
∠=︒．
COE
①则当旋转时间t=8或26 秒时，边AB所在的直线与OC平行？
②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由90
AOD BOE
∠+∠=︒、90
∠+∠=︒，根据
BOC AOC
∠=︒知90
AOB
∠=∠可得答案；
AOD AOC
（2）①由130
∠=︒，分AB在直线DE上方和下方两种情况，根据平行
COD
COE
∠=︒知50
线的性质分别求得AOD
∠度数，从而求得t的值；
②当OA平分COD
∠时AOC COD
∠=∠、当OD平分
∠=∠、当OC平分AOD
∠时AOD AOC
∠时AOD COD
∠=∠，分别列出关于t的方程，解之可得．
AOC
解：（1）BOC BOE
∠=∠，
∠=︒
Q，
AOB
90
∠+∠=︒，
AOD BOE
∴∠+∠=︒，90
90
BOC AOC
∠，
OA
Q平分COD
∴∠=∠，
AOD AOC
∴∠=∠；
BOC BOE
（2）①130COE ∠=︒Q ， 50COD ∴∠=︒，
如图1，当AB 在直线DE 上方时，
//AB OC Q ， 30AOC A ∴∠=∠=︒，
80AOD AOC COD ∴∠=∠+∠=︒，即8t =；
如图2，当AB 在直线DE 下方时，
//AB OC Q ， 60COB B ∴∠=∠=︒，
10BOD BOC COD ∴∠=∠-∠=︒，
则9010100AOD ∠=︒+︒=︒， 3601002610
t ︒-︒
∴=
=，
故答案为：8或26；
②当OA 平分COD ∠时，AOD AOC ∠=∠，即1025t =，解得 2.5t =； 当OC 平分AOD ∠时，AOC COD ∠=∠，即105050t -=，解得10t =； 当OD 平分AOC ∠时，AOD COD ∠=∠，即3601050t -=，解得：31t =； 综上，t 的值为2.5、10、31．。