【中小学资料】2018版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第4讲 直线、平面平行的判定及其性质 理

第4讲直线、平面平行的判定及其性质
一、选择题
1．若直线m⊂平面α，则条件甲：“直线l∥α”是条件乙：“l∥m”的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 D
2．若直线a∥直线b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是( )
A．一定平行 B．不平行
C．平行或相交 D．平行或在平面内
解析直线在平面内的情况不能遗漏，所以正确选项为D.
答案 D
3．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是 ( )．
A．l∥αB．l⊥α
C．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α
解析l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．
答案 D
4．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是 ( )．
A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2
C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2
解析对于选项A，不合题意；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B；对于选项C，由于m，n不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D，由n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意，综上选B.
答案 B
5．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2.直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是d2”的( )．
“d
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析如图所示，由于α2∥α3，同时被第三个平面P1P3N所截，故有P2M∥P3N.再根据平行线截线段成比例易知选C.
答案 C
6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )．
A．①③B．②③C．①④D．②④
解析对于图形①：平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP，对于图形④：AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP，图形②、③都不可以，故选C.
答案 C
二、填空题
7．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
解析过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．
答案 6
8．α、β、γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上)．
解析①中，a∥γ，a⊂β，b⊂β，β∩γ＝b⇒a∥b(线面平行的性质)．③中，b∥β，b⊂γ，a⊂γ，β∩γ＝a⇒a∥b(线面平行的性质)．
答案①③
9．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．
①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线；
②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；
③已知α、β互相平行，m 、n 互相平行，若m ∥α，则n ∥β；
④若m 、n 在平面α内的射影互相平行，则m 、n 互相平行．
解析 ①为假命题，②为真命题，在③中，n 可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m 、n 也可能异面，故为假命题．
答案 ②
10．对于平面α与平面β，有下列条件：①α、β都垂直于平面γ；②α、β都平行于平面γ；③α内不共线的三点到β的距离相等；④l ，m 为两条平行直线，且l ∥α，m ∥β；⑤l ，m 是异面直线，且l ∥α，m ∥α；l ∥β，m ∥β，则可判定平面α与平面β平行的条件是________(填正确结论的序号)．
解析 由面面平行的判定定理及性质定理知，只有②⑤能判定α∥β.
答案 ②⑤
三、解答题
11． 如图，在四面体A －BCD 中，F 、E 、H 分别是棱
AB 、BD 、AC 的中点，G 为DE 的中点．证明：直线
HG ∥平面CEF .
证明 法一 如图，连接BH ，BH 与CF 交于K ，连
接EK .
∵F 、H 分别是AB 、AC 的中点，
∴K 是△ABC 的重心，
∴BK BH ＝23
. 又据题设条件知，BE BG ＝23
， ∴BK BH ＝BE BG
，∴EK ∥GH .
∵EK ⊂平面CEF ，GH ⊄平面CEF ，
∴直线HG ∥平面CEF .
法二 如图，取CD 的中点N ，连接GN 、HN .
∵G 为DE 的中点，∴GN ∥CE .
∵CE ⊂平面CEF ，GN ⊄平面CEF ，∴GN ∥平面CEF .
连接FH ，EN
∵F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点，
∴FH 綉12BC ，EN 綉12BC ，∴FH 綉EN ，
∴四边形FHNE 为平行四边形，∴HN ∥EF .
∵EF ⊂平面CEF ，HN ⊄平面CEF ，
∴HN ∥平面CEF .HN ∩GN ＝N ，
∴平面GHN ∥平面CEF .
∵GH ⊂平面GHN ，∴直线HG ∥平面CEF .
12． 如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E
在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，
H 是B 1C 1的中点．
(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；
(2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F .
证明 (1)∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2，
∴BG 綉A 1E ，∴A 1G 綉BE .
又同理，C 1F 綉B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形，
∴FG 綉C 1B 1綉D 1A 1，∴四边形A 1GFD 1是平行四边形．
∴A 1G 綉D 1F ，∴D 1F 綉EB ，
故E 、B 、F 、D 1四点共面．
(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.
又B 1G ＝1，∴B
1G B 1H ＝23
.
又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，
∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，
∴HG ∥FB .
又由(1)知A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，
FB ∩BE ＝B ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .
13．一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M 、N 分
别是AF 、BC 的中点)．
(1)求证：MN ∥平面CDEF ；
(2)求多面体A －CDEF 的体积．
解 由三视图可知：AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝22，∠CBF ＝π2
.
(1)证明：取BF 的中点G ，连接MG 、NG ，由M 、N 分别为
AF 、BC 的中点可得，NG ∥CF ，MG ∥EF ，
∴平面MNG ∥平面CDEF ，
又MN ⊂平面MNG ，
∴MN ∥平面CDEF .
(2)取DE 的中点H .
∵AD ＝AE ，∴AH ⊥DE ，
在直三棱柱ADE －BCF 中，平面ADE ⊥平面CDEF ，
平面ADE ∩平面CDEF ＝DE .
∴AH ⊥平面CDEF .
∴多面体A －CDEF 是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥，在△ADE 中，AH ＝ 2.S 矩形CDEF ＝DE ·EF ＝42，
∴棱锥A －CDEF 的体积为V ＝13·S 矩形CDEF ·AH ＝13×42×2＝83
. 14．如图所示，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB
＝BC ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .
(1)求证：AE ⊥BE ；
(2)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确
定一点N ，使得MN ∥平面DAE .
(1)证明 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，
∴BC ⊥平面ABE ，
又AE ⊂平面ABE ，则AE ⊥BC .
又∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ABE ，
∴AE ⊥BF ，
又BC ∩BF ＝B ，∴AE ⊥平面BCE ，
又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .
(2)解 在△ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在△BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连接MN ，则由比例关系易得CN ＝13
CE .
∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，
∴MG ∥平面ADE .
同理，GN ∥平面ADE .
又∵GN ∩MG ＝G ，∴平面MGN ∥平面ADE .
又MN ⊂平面MGN ，
∴MN ∥平面ADE .
∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点.。