06年试题和解答0

06年试题
1．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.
解 a 的相对误差：由于 31021|)(|-⋅≤
-≤a x x E . x a
x x E r -=
)(, 221018
1
10921)(--⋅=⨯≤x E r . （1Th ）
)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. |11||)(|a x f E ---==
()25
.0210
113
21⨯⋅≤
-+---a
x x a =310-
33
104110
|)(|--⨯=-≤a f E r . □
2.设2)(x x f =，求)(x f 在区间]1,0[上的分段线性插值函数)(x f h ，并估计误差，取等距节点，且10/1=h .
解 2
)(x x f =，
ih x i = ， 10,,1,0 =i ， 10
1=h
设 1+≤≤i i x x x ，则： i
i i
i i i i i h x x x x x f x x x x x f x f --+--⋅=++++1111)()()(
h ih
x h i h h i x h i -++-+-⋅
=2
2))1(()1()( 100
)1(10)
12(+-
+=i i x i 误差估计：
))1(()(!
2|)()(|max
)1(h i x ih x f x f x f h
i x ix h +--''≤-+≤≤.
3、 求x x f πcos )(= ，]1,0[∈x 的一次和二次最佳平方逼近多项式.
解： 设 x a a x P 10*1)(+= ， 2
210*2)(x b x b b x P ++=
分别为)(x f 的一次、二次最佳平方逼近多项式。

内积 ⎰
⋅=
1
)()(),(dx x g x f g f
计算如下内积：
1)1,1(= , 21),1(=x , 3
1),1(2
=x
31),(=x x , 41),(2=x x , 5
1),(2
2=x x
0),1(=f , 2
2),(π
-=f x , 2
2
2
),(π-=f x
建立法方程组：
(1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+2
10102)31(2
102
1πa a a a ，得：2012π=a ，2124π-=a
于是 x x P 22
*
12412)(π
π-= (2) ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧-=++-=++=++22
1022102
102514131241312
1
031)21(ππb b b b b b b b b
解得： 2012π=b ， 2124π-=b ， 02=b , 于是： x x P 22224
12)(π
π-=.
4．给出[a ，b]上的复化梯形求积公式及其自适应算法
解：复化梯形公式（n T ）
n a
b h b f x f a f h x f x f x f x f x f x f h
T n k k n n n -=
++=++++++≡
∑-=- )],()(2)([2 )]}()([)]()([)]()({[2
11
12110 复化梯形公式自适应求积算法：
步1 )]()([2
,,11b f a f h
T a b h n +←
-←← 步2 ∑=-←n
k k x f T
1
)(2
1
T h T T 2
2112+←
步3 判断ε<-||12T T ？若是，则转步5；
步4
21,2/,2T T h h n n ←←←，转步2；
步5 输出
2T .
（注：复化辛甫生公式:
)]
()(2)(4)([6)]}()(4)([)]()(4)([)]()(4)({[61
1
112110212
12321b f x f x f a f h
x f x f x f x f x f x f x f x f x f h
S n k k n k k n n n n +++=+++++++++≡
∑∑-==---
n
a b h -=
其中，2/1-k x 为k
e 的中点
复化辛甫生公式自适应求积算法：教材142页）
5．试分别给出求解线性代数方程组B AX =的Jacobi 迭代、Gauss —Seidle 迭代 解：将)(ij a A =分裂为
U L D A --= 其中
),,,(2211nn a a a diag D =
⎥
⎥
⎥⎥
⎦⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---=-00001
,1
21
n n n a a a
L
，⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡---=-00
0,1112
n n n a a a U
,
Jacobi 迭代方法
若0≠ii a ，迭代格式
g x G x k J k +⋅=+)()1( ①
其中 Jacobi 迭代矩阵：)(1U L D G J +=-
b D g 1
-= ①式可写为分量形式
0][1
1
)()1(≥-=∑≠=+k x a b a x
n
i
j j k j ij i ii k i
, . （*1） 方法（*1）或①称为Jacobi 迭代方法. Gauss —Seidle 迭代方法
若0≠ii a ，迭代格式
g x G x k G k +⋅=+)()1( ②
其中，
Gauss-Seidel 迭代矩阵：U L D G G 1)(--=
b L D g 1
)(--= 其分量形式
][1
1
)(1
1
)1()
1(∑∑+=-=++--=n
i j k j ij i j k j ij i ii k i
x a x a b a x
,n i ,,2,1 =. （*2）
即，
在计算新分量)
1(+k i
x 时，利用新值)
1(+k j
x ，1,,2,1-=i j 。

迭代法（*2）或②称为Gauss —Seidel 迭代方法 。

6．用简单迭代法求解非线性方程4x^2-cosx-1=0,x [0,1].试写出收敛的迭代格式。

（教材275页）
解：方程等价为
,
因为
，且,
所以对于[0,1]中任意初值，迭代序列{xn}:
{xn}=, (n=1,2…) 收敛
取x0＝0.7
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8。