华师版七年级数学上册(HS)教案 第4章 图形的初步认识 余角和补角

4.6 角
3. 余角和补角
1．在具体情境中认识余角和补角，掌握余角和补角的性质；(重点) 2．能利用余角和补角的性质进行计算和简单的推理．(难点)
一、情境导入
让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔．
比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次很长的时间，历经约二百年才完工．设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜．
二、合作探究
探究点一：余角和补角的概念
【类型一】求已知角的余角（补）角
∠α=35°，∠α的余角和补角分别是∠1和∠2，则∠1+∠2=（）
A．180° B．190° C．200° D．210°
解析：根据余角和补角的定义，分别求出∠1和∠2的度数，再相
加即可得到答案．
∵∠α=35°，∴∠α的余角∠1=90°-35°=55°.∠α的补角∠2=180°-35°=145°，
∴∠1+∠2=55°+145°=200°．故选C．
方法总结：明确互为余角的两角之和为90°，互为补角的两角之和为180°．
【类型二】由角与其余角、补角之间的数量关系求角度
已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数．
解析：根据∠A与∠B互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，从而得到∠A＝3∠B＋30°，再把两个算式联立即可求出∠2的值．
解：∵∠A与∠B互余，∴∠A＋∠B＝90°，又∵∠A的度数比∠B 度数的3倍还多30°，∴∠A＝3∠B＋30°，∴3∠B＋30°＋∠B＝90°，解得∠B＝15°.故∠B的度数为15°.
方法总结：此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程来解决．
【类型三】与余（补）角有关的角度综合计算
如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝90°，OM、ON分别是∠AOB，
∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．
解析：根据补角的性质，可得∠AOB ＋∠COM ＝180°，根据角的和差，
可得∠AOB ＋∠BOM ＝90°，根据角平分线的性质，可得∠BOM＝12
∠AOB，根据解方程，可得∠AOB 的度数，根据角的和差，可得答案．
解：由∠AOB 与∠COM 互补，得∠AOB＋∠COM＝180°.
由角的和差，得∠AOB＋∠BOM＋∠BOC ＝180°，∠AOB＋∠BOM＝90°.
由OM 是∠AOB 的平分线，得∠BOM＝12
∠AOB， 即∠AOB＋12
∠AOB＝90°.解得∠AOB＝60°. 由角的和差，得∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°.
由ON 平分∠AOC 得∠AON＝12∠AOC＝12
×150°＝75°.由角的和差，得∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°.
方法总结：本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合． 【类型四】与方向角结合的角度计算
如图所示，甲、乙、丙三艘轮船从港口O 出发，当分别行驶到A 、
B 、
C 处时，经测量得甲船位于港口的北偏东44°方向，乙船位于港口的北偏东76°方向，丙船位于港口的北偏西45°方向．
(1)求∠BOC的度数；
(2)求∠AOB的度数．
解析：(1)根据方向角的表示方法，可得∠EOB，∠EOC的度数，根据角的和差，可得答案；(2)根据方向角的表示方法，可得∠EOB，∠EOA的度数，根据角的和差，可得答案．
解：如图，(1)由乙船位于港口的北偏东76°方向，丙船位于港口的北偏西45°方向，得∠EOB＝76°，∠EOC＝45°.由角的和差，得∠BOC ＝∠EOB＋∠EOC＝76°＋45°＝121°.
(2)由甲船位于港口的北偏东44°方向，乙船位于港口的北偏东76°方向，得∠EOB＝76°，∠EOA＝44°.由角的和差，得∠AOB＝∠EOB－∠EOA ＝76°－44°＝32°.
方法总结：解决本题主要是理解方向角的表示方法，结合图形找到相应的角，然后进行计算．
探究点二：余角和补角的性质
如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β一定相等的是（）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
解析：图①，根据同角的余角相等，可得∠α=∠β；图②，∠α=135°，∠β=120°；
图③，根据等角的补角相等，可得∠α=∠β；图④，∠α+∠β=180°-90°=90°，互余．
∴∠α与∠β一定相等的是图①和图③．故选B．
方法总结：根据同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等和平角的定义对各小题分析判断即可得解．
三、板书设计
1．余角和补角的概念
(1)和为90°的两个角互余；
(2)和为180°的两个角互补．
2．余角和补角的性质
（1）同角或等角的余角相等；
（2）同角或等角的补角相等.
通过比萨斜塔这一学生熟知的著名建筑激发学生的学习兴趣，再运用现代化的教学手段，把图形的“静”变成“动”，在动态课件演示中引
出概念，增强了趣味性，并且可以充分调动学生的学习兴趣，一下子把学生吸引到课堂上来．这样也把书本上原本呆板的概念激活了，使数学知识充满新鲜感，实现了书本知识和学生发现的一种沟通，增强学生对几何图形的敏感性．。