备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题04 函数的定义域、值域的求法

专题04 函数的定义域、值域的求法
【热点聚焦与扩展】
函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，也是高考的热点.函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.所以在掌握定义域求法的基础上，掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决. （一）函数的定义域
1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.
2.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()
y f g x =的定义域； ②若()()
y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域． 3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.
4.与定义域有关的几类问题
第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；
第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义； 第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域或由)]([x g f 的定义域确定函数
()f x 的定义域．
第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． （二）函数的值域
1.利用函数的单调性:若)(x f 是],[b a 上的单调增(减)函数,则)(a f ,)(b f 分别是)(x f 在区间],[b a 上取得最小(大)值,最大(小)值.
2.利用配方法:形如2
(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围.
3.利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.
4.利用“分离常数”法:形如y=ax b
cx d ++ 或2ax bx e y cx d
++=+ (c a ,至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此
法. 一般地， ① ax b
y cx d
+=
+：换元→分离常数→反比例函数模型
② 2ax bx c y dx e ++=+：换元→分离常数→a
y x x
=±模型
③ 2dx e
y ax bx c
+=
++：同时除以分子：21y ax bx c dx e
=+++→②的模型
④ 22ax bx c
y dx ex f
++=++：分离常数→③的模型
共同点：让分式的分子变为常数
5.利用换元法: 在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种： ① ()
()(),log ,sin f x a y a
y f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先
确定()f x 的范围，再求出函数的范围.
② ()
()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可.
③形如y ax b =+,可用此法求其值域. 6.利用基本不等式法:
7.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域
8.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．数形结合法也可很方便的计算值域.
9.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部 分剔除.
10.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.
（1）()f x 的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该()f x 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域.
（2）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式.
（三）常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.
（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.
（2）二次函数（2
y ax bx c =++），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）. （3）反比例函数：1
y x
=
（1）图像关于原点中心对称
（2）当,0x y →+∞→ ，当,0x y →-∞→. （4）对勾函数：()0a
y x a x
=+
> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >
注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+
，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，再求得2a =
② 极值点：x x ==③ 极值点坐标：
(,-
④ 定义域：()(),00,-∞+∞
⑤ 自然定义域下的值域：(
)
,2,a ⎡-∞-+∞⎣
（5）函数：()0a
y x a x
=-
> 注意与对勾函数进行对比
① 解析式特点：x 的系数为1；0a >
② 函数的零点：x =③ 值域：R
（5）指数函数（x
y a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞
（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞
【经典例题】
例1【2017山东理】设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂=（ ） （A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) 【答案】D
【解析】试题分析：由2
40x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故
A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<，选D.
例2【2019届湖南省邵阳市高三上学期期末】设函数 ，则函数的定义域为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】
的定义域为
,故
,所以选B.
例3【2019届河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次质量考评】已知函数()()2231,3{
2,3
x a x a x f x a x --++≤=>（0a >且1a ≠），若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A. 50,6
⎛
⎤ ⎥⎝
⎦ B. 51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 550,1,64⎛
⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝
⎦⎝⎦ D. ()5
0,1,4⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】C 【解析】
()f x 有最小值
故选C
例4【2019届广东省深圳市南山区高三上学期期末】设函数
的定义域为，若满足条件：存在
，使
在
上的值域为
，则称
为“倍缩函数”．若函数
为“倍缩函数”，则实数的取值
范围是（ ）
A. （﹣∞，ln2﹣1）
B. （﹣∞，ln2﹣1]
C. （1﹣ln2，+∞）
D. [1﹣ln2，+∞） 【答案】C
令g′（x ）＞0，解得：x ＞2， 令g′（x ）＜0，解得：0＜x ＜2，
故g （x ）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增， 故g （x ）≥g（2）=1﹣ln2，故t ＞1﹣ln2， 故选C ：． 【名师点睛】由于函数y ＝f
x 的零点就是方程f
x ＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方
程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决
例5.已知函数2
2y x x =+在闭区间[],a b 上的值域为[]
1,3-，则满足题意的有序实数对(),a b 在坐标平面内所
对应点组成图形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵y=x 2+2x=（x+1）2
﹣1，∴可画出图象如图1所示．
；
故选：C ．
【名师点睛】本题考查了二次函数在给定区间上的值域问题，值域是确定的，而定义域是变动的，解题关键是分辨清楚最大值是在左端点取到还是在右端点取到，问题就迎刃而解了.
例6.（1）函数()1f x =+
的值域为（ ）
A. []3,1-
B. [)1,-+∞
C. ⎡⎣
D. 1⎡⎤-⎣
⎦
（2）函数()1x f x x x
-=
+-的值域为（ ）
A. (),1-∞
B. (],1-∞
C. (]0,1
D. []0,1
（3）函数(
)f x =
的值域为________
【答案】（1）D （2）B （3）5,62
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
.
【解析】（1）函数的定义域为[]3,1-，含有双根式，所以很难依靠传统的换元解决问题，但()f x 的导数
(
)'f x =
()f x 的单调区间，从而求得最值
(
)'f x =+=
令()'
0f
x >
>
【名师点睛】本题还可以利用换元解决，但利用的是三角换元：观察到被开方数的和为常数，所以想到
2
2
4+=
，从而可设2sin 2cos αα==
，由00
≥≥可知0,2πα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，所以原函数的值
域转化为求2sin 2cos 1y αα=+-
的值域，从而有14y πα⎛
⎫
=+
- ⎪⎝
⎭，由0,2πα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
可求得1y ⎡⎤∈-⎣⎦.由此题可知：含双根式的函数若通过变形可得到被开方数的和为常数，则可通过三角换元转
为三角函数值域问题
（2）函数的定义域为1x ≤，从而发现11x x -=-，所以函数的解析式为(
)f x x =-观察可得()f x 为增函数，且x →-∞时，()f x →-∞，所以当(],1x ∈-∞时，()f x 的值域为(],1-∞
【名师点睛】①本题中函数的定义域对解析式的化简有极大的促进作用.所以在求函数的值域时，若发现函数解析式较为特殊，则先确定其定义域.
②
本题也可用换元法，设t =
（3）先确定函数的定义域：32031,220
2x x x -≥⎧⎡⎤
⇒∈⎨
⎢⎥-≥⎣⎦⎩，()f x 为分式且含有根式，求导则导函数较为复杂.观
50>且关于x 10+>且关于x
()
f x =
为减函数，由31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可知()f x 的值域为5,62⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
【名师点睛】在函数单调性的判断中有“增+增→增”，那么如果一个函数可表示为两个函数的乘法，例如
()()()h x f x g x =⋅，则当()(),f x g x 均为增（减）函数，且()(),f x g x 恒大于0，才能得到()h x 为增（减）
函数.
例7：（1）函数22247
23
x x y x x +-=++的值域为（ ）
A. 9,22⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
B. 7,03⎛⎫- ⎪⎝
⎭
C. 7,03⎡⎫-⎪⎢⎣
⎭
D. 9,22⎡⎫-⎪⎢⎣
⎭
（2）函数sin 1
cos 2
x y x -=
+的值域为_________
【答案】（1）D （2）4,03
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
解：由22247
23x x y x x +-=++可得:
2223247x y xy y x x ++=+-
()()2224370y x y x y ∴-+-++=
()2
223120x x x ++=++> ∴函数的定义域为R
y ∴的取值只需让方程有解即可
当2y =时，130=不成立，故舍去
当2y ≠时，()()()2
2442370y y y ∆=---+≥ 即：()()2920y y +-≤
9
22
y ∴-
≤≤ 综上所述：函数的值域为9,22
⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
.
【名师点睛】① 对于二次分式，若函数的定义域为R ，则可像本例这样利用方程思想，将值域问题转化为“y 取何值时方程有解”，然后利用二次方程根的判定0∆≥得到关于y 的不等式从而求解，这种方法也称为“判别式法”
② 若函数的定义域不是R ，而是一个限定区间（例如[],a b ），那么如果也想按方程的思想处理，那么要解决的问题转化为：“y 取何值时，方程在[],a b 有根”，对于二次方程就变为了根分布问题，但因为只要方程有根就行，会按根的个数进行比较复杂的分类讨论，所以此类问题通常利用分式的变形与换元进行解决（详见附） （2）本题不易将函数变为仅含sin x 或cos x 的形式，考虑去分母得：sin cos 21x y x y -=+则y 的取值只要让方程有解即可。

观察左侧式子特点可想到俯角公式，从而得到
()()()
21sin x y x ϕϕ+=+⇒+=
1≤，解出y 的
范围即为值域
解：sin 1
cos 2x y x -=
+的定义域为R
且sin 1cos 2sin 1cos 2
x y y x y x x -=⇒+=-+
sin cos 21x y x y ∴-=+
()()21x y ϕ+=+，即()
sin x ϕ+=
，其中tan y ϕ=-
因为该方程有解
()2
21211y y ≤⇒+≤+
24340,03y y y ⎡⎤
∴+≤⇒∈-⎢⎥⎣⎦
【名师点睛】本题除了用方程思想，也可用数形结合进行解决，把分式视为()()cos ,sin ,2,1x x -连线斜率的问
题，从而将问题转化为定点()2,1-与单位圆上点连线斜率的取值范围。

作图求解即可。

本类型运用方程思想处理的局限性在于辅角公式与y 的取值相关，不过因为x R ∈，所以均能保证只要()sin x ϕ+在[]1,1-中，则必有解。

但如果本题对x 的范围有所限制，则用方程的思想不易列出y 的不等式，所以还是用数形结合比较方便 例8.设
且
，函数
在
的最大值是14，求的值．
【答案】
考点：二次函数的最值及指数函数的性质．
【方法点晴】本题主要考查了二次函数的最值及指数函数的性质，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、指数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想和转化与化归思想，本题的解得中根据指数函数的性质，分类讨论是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．
例9【2019届山西省太原市实验中学高三上学期9月月考】已知函数()1
(1)1
x x
a f x a a -=>+ (1)判断函数()f x 的奇偶性. (2)求()f x 的值域.
【答案】(1) ()f x 是奇函数（2）()1,1-
，，
的值域为()1,1-.
【名师点睛】本题考查了利用定义证明函数奇偶性，利用分离常数求分式型函数的值域问题，考查了指数幂的运算性质，属于中档题.
例10【2019届安徽省宿州市汴北三校联考高三上学期期中】已知()2ax b
f x x
+=是定义在
][(),31,b b -∞-⋃-+∞上的奇函数.
（1）若()23f =，求,a b 的值;
（2）若1-是函数()f x 的一个零点，求函数()f x 在区间[]
2,4的值域. 【答案】（1）a=1，b=2；（2）[-7.5,-3].
【解析】试题分析：（1）由奇函数定义域关于原点对称得(b-3)+(b-1)=0，解得b=2，再由()23f =可得a ； （2）由1-是函数()f x 的一个零点，得a=-2，进而得函数单调性，由单调性求值域即可. 试题解析：
（1） 由 f(x)为奇函数，则(b-3)+(b-1)=0，解得b=2，
【名师点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好三个问题：
（1）定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；
（2）f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式；
（3）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称.
【精选精练】
1．【2019届二轮同步（高考题）】下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( ) A. y＝x B. y＝lg x C. y＝2x D. y
【答案】D
【解析】y＝10lgx＝x，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有D满足，故选D.
2．【2019届高考一轮】已知集合A=,B={y|y=},则A∩(∁R B)=( )
A. [-3,5]
B. (-3,1)
C. (-3,1]
D. (-3,+∞)
【答案】C
【解析】由≤0，解得3<x≤5．故A={x|3<x≤5}．
∵y=，
∴y>1．
∴B={y|y>1}．
∴∁R B={y|y≤1}．
∴A∩(∁R B)={x|3<x≤1}．选C．
【名师点睛】解决集合运算问题的方法
(1)用列举法表示的集合进行交、并、补的运算，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域
表示的实际意义．
(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到． (3)若给定的集合是点集，则可画出图象，采用数形结合法求解． 3．【2019届安徽合肥八高三上学期期中】函数()ln 3
x f x +=( )
A. (－3,0)
B. (－3,0]
C. (－∞，－3)∪(0，＋∞)
D. (－∞，－3)∪(－3,0) 【答案】A
【名师点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2
x k k Z π
π≠
+∈等等，当同时出现时，取其交集.
4．【2019届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第一次模拟】已知集合
，
，若，则实数的取值范围是( ) A. B.
C.
D.
【答案】A 【解析】由已知得
，由
，则
，又
，所以
.故选A.
5．已知函数()
2x y f =的定义域是[]
1,1-，则函数()2log y f x =的定义域是（ ）
A. ()0,+∞
B. ()0,1
C. []
1,2 D. ⎤⎦
【答案】D
【解析】函数()
2x y f =的定义域是[]
1,1-，所以[]11,1,2,22x
x ⎡⎤
∈-∈⎢⎥⎣⎦
，
所以函数()2log y f x =中有： 21log ,22x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，解得x ⎤∈⎦.
即函数()2log y f x =的定义域是⎤⎦
.
故选D.
6．【2019届江西省南昌市高三第一轮】已知函数()1y f x =+的定义域是[]
0,3，则()x
y f e =的定义域是
（ ） A. []0,2ln2 B. []1,2ln2 C. (],ln3-∞ D. (]
,ln2-∞ 【答案】A
【解析】03,114x x ≤≤∴≤+≤ ，则14x e ≤≤ ， 0ln42ln2x ≤≤=，则()
x y f e =的定义域是[]
0,2ln2，选A.x*k&w
7．下列四个函数：①y＝3－x ；②y＝2x －1(x>0)；③y＝x 2
＋2x －10；④y＝()
0{ 1
(0)x x x x
≤>，其中定义域与值域相同的函数的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 【答案】
B
8．【2019届江西省高三监测】函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数；②存在[]
,a b D
⊆使得()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，则称函数()f x 为“成功函数”.若函数()()2x m t m f x log +=（其中
0m >，且1m ≠）是“成功函数”，则实数t 的取值范围为（ ）
A. ()0,+∞
B. 1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ C. 11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 10,8
⎛
⎤ ⎥⎝
⎦
【答案】D
【名师点睛】本题以新定义为背景考查方程解的个数问题，利用变量分离的方法，把问题转化为两个图象的交点问题，通过换元的手段把问题归结为二次函数的图象与性质问题.
9．【2019届北京西城31中高三上期中】若，则定义域__________．
【答案】
【解析】要使函数有意义，则，解得，故的定义域为，故答案为.
10．【2019届南京市、盐城市高三一模】设函数1
x x y e a e
=+-的值域为A ，若[)0,A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(]
,2-∞ 【解析】因为1
2x x y e a e
=+
-≥-a,所以[)[)2,0,20,2A a a a =-+∞⊂+∞∴-≥≤ 11．【2019届北京市西城区高三期末】已知函数()2,2,
{ 1
, 3.x x x c f x c x x
+-≤≤=<≤ 若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值域是1,24⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
，则实数c 的取值范围是____． 【答案】 1,4⎡⎫-
+∞⎪⎢⎣⎭ 1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
12．已知函数()f x 的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为()f x 的保值区间，若()ln f x x m x =+-的保值区间是[
)e,+∞，则m 的值为__________. 【答案】1
【解析】∵函数()f x 的定义域为A ，若其值域也为A ， 则称区间A 为()f x 的保值区间．
又∵()ln g x x m x =+-的保值区间是[
)e,+∞，
∴()ln g x x m x =+-定义域为[)e,+∞，值域也为[
)e,+∞． ∵()11
1x g x x x
'-=-
=
， (0)x >， ∴函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增． ∴()ln g x x m x =+-在[
)e,+∞单调递增．。