第三章相关辨识方法

=
−(N P
+ 1)I NP ×NP
⎢ ⎣
0
⎥ − (N P + 1) ⎦
所以
⎡− N P
RM−1
=
−
NP a2
⎢ ⎢ ⎢
1 M
⎢ ⎣
1
1
− NP M 1
L 1 ⎤ −1
⎡2
L
1
⎥ ⎥
=
NP
= ⎢⎢1
M⎥
L
−
N
P
⎥ ⎦
(N P + 1)a 2
⎢M ⎢⎣1
1 L 1⎤
2 L 1⎥⎥
M
M⎥
1 L 2⎥⎦
从第二章可知，M序列是循环周期为NPΔt，自相关函数近似于δ 函数的一种随机序列，其 统计特性近似于白噪声。输入信号用M序列和用白噪声结果是类似的，而且自相关函数Ruy(τ) 只需要在一个循环周期内计算，缩短了辨识时间。
设数据的采样时间等于 M 序列移位脉冲周期Δt，则 Wienen—Hopf 方程可写为离散形式
（3.23）
N P −1
∑ RM y (k) = gˆ (k)RM (0)Δt + gˆ ( j)RM (k − j)Δt j=0, j≠k
（将RM分成两部分）
∑ = a 2 gˆ (k)Δt + NP −1 gˆ ( j)[− a 2 ]Δt
j=0, j≠k
NP
（将这两部分代入公式）
∑ = a2 gˆ(k)Δt −
a2
Δt
N P −1
gˆ( j)
NP
j=0, j≠k
∑ =
a 2 gˆ (k)Δt
−
a2 NP
⎡NP −1 Δt⎢ gˆ(
⎣ j=0
j) −
⎤ gˆ (k )⎥
⎦
（补齐求和式中的缺项）
∑ = a2Δt gˆ(k) +
a2
Δt gˆ(k) −
a2
N P −1
Δt gˆ( j)
NP
NP
j=0
∑ =
NP
+ 1 a2Δt gˆ (k) −
将(3.22)的左式展开后写成矩阵形式：
（3.30）
RM y
=
1 NP
MY
[ ] 其中 Y = [ y(0), y(1),......, y(N P −1)]T , RMy = RMy (0) RMy (1) L RMy (N P −1) T
（3.31）
⎡ M (0)
M (1)
L M (N P −1) ⎤
3.1.3 用 M 序列作输入信号的一次完成算法
根据(3.21)分别令K=0，1，2，…… ，NP -1，可得到NP个方程
⎧RM y (0) Δt = RM (0)gˆ (0) + RM (−1)gˆ (1) + RM (−2)gˆ (2) + L + RM (−N P + 1)gˆ (N P −1)
R n−1 My
(k
)
，在
n
次观测后的互相关函数为
RMn
y
(k)
它们分别为(见式(3.22))
∑ R n−1 My
(k
)
=
1 n
n −1 i=0
M (i
−
k) y(i)
(3.33)Βιβλιοθήκη 上述两式相减后为∑ RMn
y
(k)
=
1 n +1
n i=0
M
(i
−
k) y(i)
∑ ∑ RMn y (k) −
R n−1 My
(3.11)
∫ ∫ ∫ ∂J
∂a
a=0
= lim − 2 T →∞ T
T
{y(t) −
0
∞
[gˆ
0
(τ
)
+
ag a
(τ
)]u(t
−
τ
)dτ
}{
∞ 0
g
a
(τ
)u(t
−
τ
)dτ }dt
a=0
∫ ∫ ∫ = lim − 2 T →∞ T
T
{y(t) −
0
∞ 0
gˆ (θ
)u(t
−θ
)dθ }{
∞ 0
ga
写成矩阵形式：
RM y Δt = RM gˆ
(3.26) （3.27）
其中 gˆ = [gˆ (0), gˆ (1),.........., gˆ (N p −1)]T
[ ] RM y = RM y (0) RM y (1) L RM y (N P −1) T
⎡ RM (0)
⎢
RM
=
⎢ ⎢
RM (1) M
a2
N P −1
Δt gˆ ( j)
NP
NP
j=0
（3.24）
3
∑ 令
c=
a2
N p −1
Δt gˆ ( j)
NP
j=0
对一个稳定的过程来说，它的脉冲响应是有界的，在一个周期内脉冲响应序列的数值和 必然为一常数。当NP很大时，g(NP)→ 0，c很小，则(3.24) 可写为
RM
y (k)
=
(NP
+ 1)a 2Δt Np
⎪⎪ ⎨
RM
y
(1)
⎪
Δt = RM (1)gˆ (0) + RM (0)gˆ (1) + RM (−1)gˆ (2) + M
L
+ RM (−N P
+ 2)gˆ (N P
− 1)
⎪⎩ RM y (N P −1) Δt = RM (N P −1)gˆ (0) + RM (N P − 2)gˆ (1) + L + RM (0)gˆ (N P − 1)
考虑是物理可实现的系统 当λ<0 时 g(λ)=0，则可写为
将(3.3)代入(3.1)可得
∫ w(t) = ∞ g(λ)u(t − λ)dλ 0
等式两边同乘 u(t-τ)为
∫ y(t) = ∞ g(λ)u(t − λ)dλ + v(t) 0
两边取期望
u(t
−
τ
)
y(t)
=
∞
∫0
g(λ)u(t
−
τ
)u(t
（3.21）
∑ RM y (k)
=
1 NP
N P −1
M (i
i=0
− k) y(i)
实际上，由前面可知
∑ RM (k)
=
1 NP
N P −1
M (i − k)M (i)
i=0
（3.22）
⎧ a2
RM
(k)
=
⎪ ⎪⎩⎨−
a2 Np
将 3.23 代入 3.21
k = 0, N P ,2N p ,L k ≠ 0, N P ,2N p ,L
v(t)
设系统如图所示。其中，v(t)是均值为零的噪声， u(t)
w(t)
y(t)
其相关函数为
过程
~y(t)
Rvv (τ ) = av2δ (τ ) ~y 是输出误差，
模型 g
yˆ(t)
~y(t) = y(t) − yˆ(t)
(3.7)
设系统（模型）的脉冲响应函数可写为如下形式：
g(τ ) = gˆ (τ ) + aga (τ )
∞
∑ RM y (k) = gˆ ( j)RM (k − j)Δt j=0
（3.20）
当M序列的循环周期NPΔt大于过程的过渡过程时间，脉冲响应在一个周期内基本可以衰 减为零，则上式可写为：
N P −1
∑ RM y (k) = gˆ ( j)RM (k − j)Δt j=0
其相关函数根据定义又可分别写为
∫ J = lim ε (T ) = lim 1 T ~y 2 (t)dt
T →∞
T →∞ T 0
∫ ∫ = lim 1 T →∞ T
T
{y(t) −
0
∞ 0
[gˆ
(τ
)
+
ag
a
(τ
)]u(t
−
τ
)dτ
}2
dt
由(3.8)式，a=0 时，ε 最小，所以对 J 求 a 的偏导再代入 a=0
(3.9) (3.10)
第三章 相关辨识方法
3.1 相关分析法辨识的基本原理
设一线性系统的输入输出关系为
u 输入，可观，各态遍历的平稳随机过程 w 系统输出，不可观 v 噪声 y 观测输出
由脉冲响应的定义可知：
y(t)=w(t)+v(t)
v(t)
u(t)
w(t) +
g(t)
+
∫ w(t) = ∞ g(λ)u(t − λ)dλ −∞
(k
)
=
1 n +1
n i=0
M (i
− k) y(i) −
1 n
n−1 i=0
M (i
−
k) y(i)
(3.34)
5
∑ R Mn
y
(k
)
=
R n−1 My
(k
)
+
n
1 +
1
M
(n
−
k)
y(n)
+
(
n
1 +
1
−
1 n
)
n−1 i=0
M
(i
−
k)
y(i)
∑ =
R n−1 My
(k
)
+
1 n +1
M
(n
⎢ ⎣
RM
(NP
−1)
由(3.27) 可得
RM (−1) L RM (−N P +1) ⎤
⎡− NP
RM (0)
L
RM (−N P + 2)⎥⎥ = −
a2
⎢ ⎢
1
M RM (N P − 2) L
M
⎥
RM (0)
⎥ ⎦
NP
⎢ ⎢
⎣
M 1
1
− NP M 1
L 1⎤
L
1
⎥ ⎥
M⎥
L
−
N
P
⎥ ⎦
N
p×N
p
y(t)
(3.1) (3.2) (3.3) (3.5) (3.5)
(3.6)
Wienen—Hopf 方程是一个积分方程，想解出脉冲响应函数估计值 gˆ (t) 的解析表达式是困
难的，但如果输入信号的自相关函数具有特殊形式，则有可能得到解，例如，输入为白噪声， 其自相关函数为1
则式(3.6)变为 从而得到
(τ
)u(t
−
τ
)dτ }dt
令上式的偏导为零，再交换积分次序，得
(3.12) (3.13)
∫ ∫ ∫ ∂J
∂a a=0
=
∞ 0
g
a
(τ
)
lim
T →∞
−2 T
T
{y(t) −
0
∞ gˆ(θ )u(t −θ )dθ}u(t − τ )dtdτ
0
=0
由于ga(τ)为任意函数，故被积函数应恒为 0，即，
gˆ (k)
−c
或
gˆ (k )
=
(NP
NP + 1)a 2Δt
(RM
y (k)
+
c)
(3.25)
该式是利用相关分析法辨识脉冲响应函数的一个重要函数！
对一个稳定的过程来说，当k→∞时， gˆ(k) → 0 。所以，根据(3.25)有c = −RMy(∞)．在工程
上取c = −RMy(NP-1)也就可以了。有时c也可以忽略不计。c的取值不影响脉冲响应的形态，只 决定脉冲响应纵坐标的位置。
gˆ (n
− 1)
=
RM−1 Δt
RMn−y1
=
RM−1 Δt
⎡ ⎢ ⎢
RMn−y1 (0) RMn−y1 (1)
(3.8)
gˆ(τ ) 是最小均方误差下对g(τ)的估计； ga (τ ) 是满足τ< 0 时， ga (τ ) = 0 的任意不为零的函数；
a为一实数，则
∫ yˆ =
∞ 0
[
gˆ (τ
)
+
ag a
(τ
)]u(t
−
τ
)dτ
输出的均方误差为
∫ ε (T ) = 1 T ~y 2 (t)dt T0 定义相关分析辨识的准则为最小均方差
2 M 1
L L
1⎥⎥ M⎥
M
Y
2⎥⎦
（3.32）
可见，当M序列确定之后，脉冲响应的估计 gˆ 完全取决于过程的输出数据Y 。根据(3.32)式，
一次可完成NP点脉冲响应估值的计算。
3.1.4 用 M 序列作输入信号的递推算法
用 M 序列估计相关函数也可使用递推的方法。 首先将互相关函数写成递推形式，假定在进行了 n-1 次观测后，输入输出的互相关函数为
gˆ = RM−1RM y Δt
（3.29）
⎡− NP
由于
⎢ ⎢
1
⎢M
⎢ ⎣
1
1
− NP M 1
L 1 ⎤ ⎡2
L
1
⎥ ⎥
⎢⎢1
M ⎥ ⎢M
L
−
NP
⎥ ⎦
NP×NP
⎢⎣1
1 L 1⎤
2 L 1⎥⎥
=
M
M⎥
1
L
⎥ 2⎦ NP×NP
4
⎡− (N P + 1)
0⎤
⎢ =⎢
⎢
− (N P + 1)
O
⎥
.⎥ ⎥
−
λ)dλ
+
u(t
−
τ
)v(t)
∫ Ruy (τ ) =
∞ 0
g (λ ) Ruu
(τ
−
λ)dλ
+
Ruv
(τ
)
假设u和v在统计上相互独立，且均值为零，则Ruv(τ)=0，再以t取代上式的λ有
∫ Ruy (τ ) =
∞ 0
g (t ) Ruu
(τ
−
t)dt
式(3.6)称为 Wiener-Hopf 方程。
⎢ M =⎢
M (−1)
M (0)
L M (N P − 2)⎥⎥
⎢M
M
M⎥
⎢⎣M (−N P + 1) M (−N P + 2) L
M (0)
⎥ ⎦
将式(3.31)代入式(3.29)得
⎡2 1 L 1⎤
gˆ
=
RM−1 Δt
RM y
=
1 N P Δt
RM−1M Y
=
(NP
1
⎢⎢1
+ 1)a 2Δt ⎢M ⎢⎣1
T T →∞ 0
0
T T →∞ 0
(3.14)
（3.15) （3.16)
2
∫ Ruy (τ ) =
∞ 0
gˆ (θ
)Ruu
(τ
−θ
)dθ
（3.6)
这就是 Wienen—Hopf 方程。
由此可见，用相关分析法对系统的参数进行估计是一个最小二乘意义下的估计。