22.1.1 二次函数
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y=x2m+n － 2xm-n+3是以x为自 变量的二次函数，求m、n的值。
2m+n=2②∵ 2m+n=1 ① ∵ m-n=1
∴ ③∵
2m+n=2
2m+n=2 2m+n=0
④ ∵ ⑤ ∵
m-n=2
∴
m-n=2
∴
m-n=0
∴
m-n=2
∴
m=1 n=0
m=1 n=-1
m=4/3 n=-2/3
知识运用 例2:m取何值时，函数
y= (m+1)x
解:由题意得
m2 2m 1
+(m-3)x+m
是二次函数?
m2—2m-1=2 m+1 ≠0
∴m=3
现在我们学习过的函数有: 一次函数y=kx+b (k ≠0),其中包括正比例函数 y=kx(k≠0), 反比例函数y= 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。 可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函 数表达式与自变量的关系。
已知函数y=(n²-1)x²+(n²-2n-3)x-n-1 • (1)当n为何值时，y是x的一次函数？
• (2)当n为何值时，y是x的二次函数？
• 解：（1）由n²-1=0，n²-2n-3=0 ±1,n ≠-1且n ≠3 • ∴当n=1时，y是x的一次函数
• （2）由n²-1 ≠0,得n ≠ ±1. • ∴当n ≠ ±1时，y是x的二次函数
解得n=
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。 解：由题意得： Y=x(40-2x)
即：Y=-2x2+40x(0<x<20) 当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12 ＝192（m2）
问题3：某工厂一种产品现在的产量是20t，
计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年 的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关 系应怎样表示？
这种产品的原产量是20t，一年后的产量是 20(1+x) t,再经过一 年后的产量是 20(1+x)(1+x) t，即两年后的产量为
y=kx+b (k≠0)
变 量 之 间 的 关 系
一次函数
正比例函数
y=kx (k≠0) 函 数
反比例函数
y=k/x (k≠0)
二次函数
正方体的六个面是全等的正方形,设 正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个 值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关 系可以表示为 y=6x2①
m2-7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 2 2 时是正 比例函数。 （２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 6 时是反比例函 数。 （３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。
（2）a,b,c为常数，且
a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有 一次项和常数项，但不能没有二次项。 （4）x的取值范围是任意实数。
(5) 函数的右边是一个 整 式
二次函数的一般形式: y＝ax2＋ bx ＋ c (其中a、b、c是常数,a≠0) （一般式） 二次函数的特殊形式：
– 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
问题1:
问题2:
连接与这点不相邻的各顶点,可以作(n-3) 条对角线.
多边形的对角线数d与边数n有什么关系？ 由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从一个顶点出发,
因为像线段MN与NM那样,连接 M N 相同两顶点的对角线是同一条对 角线,所以多边形的对角线总数 1 ②式表示了多边形的 d n n3 对角线数d与边数n之 2 间的关系,对于n的每一 1 3 即 d 2 n② n 个值,d都有唯一的对应 2 2 值,即d是n的函数。
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项 （1） y=-x2+58x-112 （2）y=πx2 2、指出下列函数y=ax² +bx+c中的a、b、c （1） y=-3x2-x-1 （2） y=5x2-6
（3） y=x(1+x)
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。 1 __ (1) y=3(x－1)² +1 (2) y=x+ x (3) s=3－2t² (4) y=(x+3)² －x² 1 __ (5)y= －x (6) v=8π r² x²
k (k≠0) ， x
想一想
函数y ax bx c(其中a, b, c是常数)，
2
当a, b,c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数 ？
解：（1）a 0
(2)a 0, b0
(3)a 0, b 0,c 0
练习：y=（m+3）x
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
定义：一般地，形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项 系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一 次项，c为常数项。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的 整式。
思考：2. 二次函数的一般式y＝ ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方 程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么 联系和区别？
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区别:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
九年级
上册
22.1.1 二次函数
基础回顾
什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一的值与它对应。 这样的两个变量之间的关系我们把它叫 做函数关系。 对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数 。 x叫自变量， y叫应变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
3、下列函数中，（x是自变量），是二次函数 的有 B C 。
A y=ax2+bx+c
C y=x2
B y2=x2-4x+1
D y=2+ √x2+1
4.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( A C m,n是常数,且m≠0 m,n是常数,且m≠n B D m,n为任何实数
C
)
m,n是常数,且n≠0
m=2/3 n=2/3
m=2/3
n=-4/3
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式. S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2 2. n支球队参加比赛,每两队之间进行 一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队 数 n 之间的关系式. 1 2 1 1 m nn 1 即 m n n 2 2 2
y=20(x+1)²
即
y=20x² +40x+20 ③
③式表示了两年后的产 量y与计划增产的倍数x 之间的关系，对于x的 每一个值，y都有唯一 的一个对应值，即y是x 的函数。
观察： 函数①②③有什么共同点? y=6x2①
d 1 n2 3 n② 2 2
y 20 x2 40 x 20③
2m+n=2②∵ 2m+n=1 ① ∵ m-n=1
∴ ③∵
2m+n=2
2m+n=2 2m+n=0
④ ∵ ⑤ ∵
m-n=2
∴
m-n=2
∴
m-n=0
∴
m-n=2
∴
m=1 n=0
m=1 n=-1
m=4/3 n=-2/3
知识运用 例2:m取何值时，函数
y= (m+1)x
解:由题意得
m2 2m 1
+(m-3)x+m
是二次函数?
m2—2m-1=2 m+1 ≠0
∴m=3
现在我们学习过的函数有: 一次函数y=kx+b (k ≠0),其中包括正比例函数 y=kx(k≠0), 反比例函数y= 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。 可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函 数表达式与自变量的关系。
已知函数y=(n²-1)x²+(n²-2n-3)x-n-1 • (1)当n为何值时，y是x的一次函数？
• (2)当n为何值时，y是x的二次函数？
• 解：（1）由n²-1=0，n²-2n-3=0 ±1,n ≠-1且n ≠3 • ∴当n=1时，y是x的一次函数
• （2）由n²-1 ≠0,得n ≠ ±1. • ∴当n ≠ ±1时，y是x的二次函数
解得n=
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。 解：由题意得： Y=x(40-2x)
即：Y=-2x2+40x(0<x<20) 当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12 ＝192（m2）
问题3：某工厂一种产品现在的产量是20t，
计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年 的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关 系应怎样表示？
这种产品的原产量是20t，一年后的产量是 20(1+x) t,再经过一 年后的产量是 20(1+x)(1+x) t，即两年后的产量为
y=kx+b (k≠0)
变 量 之 间 的 关 系
一次函数
正比例函数
y=kx (k≠0) 函 数
反比例函数
y=k/x (k≠0)
二次函数
正方体的六个面是全等的正方形,设 正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个 值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关 系可以表示为 y=6x2①
m2-7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 2 2 时是正 比例函数。 （２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 6 时是反比例函 数。 （３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。
（2）a,b,c为常数，且
a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有 一次项和常数项，但不能没有二次项。 （4）x的取值范围是任意实数。
(5) 函数的右边是一个 整 式
二次函数的一般形式: y＝ax2＋ bx ＋ c (其中a、b、c是常数,a≠0) （一般式） 二次函数的特殊形式：
– 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
问题1:
问题2:
连接与这点不相邻的各顶点,可以作(n-3) 条对角线.
多边形的对角线数d与边数n有什么关系？ 由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从一个顶点出发,
因为像线段MN与NM那样,连接 M N 相同两顶点的对角线是同一条对 角线,所以多边形的对角线总数 1 ②式表示了多边形的 d n n3 对角线数d与边数n之 2 间的关系,对于n的每一 1 3 即 d 2 n② n 个值,d都有唯一的对应 2 2 值,即d是n的函数。
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项 （1） y=-x2+58x-112 （2）y=πx2 2、指出下列函数y=ax² +bx+c中的a、b、c （1） y=-3x2-x-1 （2） y=5x2-6
（3） y=x(1+x)
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。 1 __ (1) y=3(x－1)² +1 (2) y=x+ x (3) s=3－2t² (4) y=(x+3)² －x² 1 __ (5)y= －x (6) v=8π r² x²
k (k≠0) ， x
想一想
函数y ax bx c(其中a, b, c是常数)，
2
当a, b,c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数 ？
解：（1）a 0
(2)a 0, b0
(3)a 0, b 0,c 0
练习：y=（m+3）x
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
定义：一般地，形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项 系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一 次项，c为常数项。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的 整式。
思考：2. 二次函数的一般式y＝ ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方 程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么 联系和区别？
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区别:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
九年级
上册
22.1.1 二次函数
基础回顾
什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一的值与它对应。 这样的两个变量之间的关系我们把它叫 做函数关系。 对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数 。 x叫自变量， y叫应变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
3、下列函数中，（x是自变量），是二次函数 的有 B C 。
A y=ax2+bx+c
C y=x2
B y2=x2-4x+1
D y=2+ √x2+1
4.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( A C m,n是常数,且m≠0 m,n是常数,且m≠n B D m,n为任何实数
C
)
m,n是常数,且n≠0
m=2/3 n=2/3
m=2/3
n=-4/3
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式. S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2 2. n支球队参加比赛,每两队之间进行 一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队 数 n 之间的关系式. 1 2 1 1 m nn 1 即 m n n 2 2 2
y=20(x+1)²
即
y=20x² +40x+20 ③
③式表示了两年后的产 量y与计划增产的倍数x 之间的关系，对于x的 每一个值，y都有唯一 的一个对应值，即y是x 的函数。
观察： 函数①②③有什么共同点? y=6x2①
d 1 n2 3 n② 2 2
y 20 x2 40 x 20③