百校联盟2017-2018学年全国卷I高考最后一卷(押题卷)理科数学(第十模拟) Word版含解析

百校联盟2017-2018学年全国卷I高考最后一卷（押题卷）理科
数学（第十模拟）
一、选择题：共12题
1．已知集合A={|m|,0},B={x∈Z|x2-2≤0},若A⊆B,则∁B A=
A.{0}
B.{1}
C.{0,1}
D.{-1}
【答案】D
【解析】本题考查集合之间的关系,集合的补运算,属于容易题.
依题意得B={-1,0,1},又A⊆B,则|m|=1,A={0,1},所以∁B A={-1}.
2．已知a为实数,且(i为虚数单位)是实数,则a=
A. B.- C.2 D.-2
【答案】D
【解析】本题主要考查复数的概念与四则运算,考查考生的运算求解能力和对基础知识的掌握情况.
通解由题意知,,要使为实数,只需2+a=0,得a=-2.
优解可采取类似向量共线的方法处理.为实数,则,得a=-2.
3．“x=或”是“sin x=”的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】本题把充要关系的判断和特殊角的三角函数值的运算结合在一起进行考查,考查考生对基础知识的掌握情况,难度不大.
当x=或时,显然sin x=,但当sin x=时,x=+2kπ或x=+2kπ,k∈Z,故“x=或”是“sin x=”的充分不必要条件.
【备注】高考中将充要关系的判断与其他知识相结合是常见的考查方式,从本题可知我们可以用集合的观点看充分条件、必要条件:A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},(1)如果A⊆B 且A≠B,那么p是q的充分不必要条件;(2)如果B⊆A且A≠B,那么p是q的必要不充分条件;(3)如果A=B,那么p是q的充要条件.
4．若函数f(x)=,则f(f(e-2))=
A.2
B.-2
C.4
D.-4
【答案】D
【解析】本题考查分段函数的概念、函数求值等知识,考查考生对基础知识的掌握情况.
f(f(e-2))=f(e-4+1)=ln e-4=-4.
5．设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3+3a5-a6=,则S7=
A.4
B.2
C.8
D.12
【答案】B
【解析】本题主要考查等差数列的性质和前n项和公式的运用,特别注意整体思想在本题中的渗透.
设等差数列{a n}的公差为d,由条件a3+3a5-a6=得,3a1+9d=,所以3a4=,即a4=,故S7==7a4=7×=2.
6．若不等式组表示的平面区域为M,(x-4)2+y2≤1(x≤4)表示的平面区域为N,现随机向区域M 内抛一质点,则该质点落在平面区域N内的概率是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题主要考查不等式组所表示的平面区域、几何概型等知识,考查考生的数形结合思想和运算求解能力.首先作出平面区域M和平面区域N,然后利用几何概型的概率计算公式求解.
作出所表示的可行域如图中直角梯形ABCD所示,它表示上底为1、下底为4、高为3的直角梯形,平面区域N表示以点(4,0)为圆心、1为半径的半圆,从而所求概率P=.
7．执行如图所示的程序框图,则输出M的值是
A.120
B.-120
C.100
D.-100
【答案】B
【解析】本题考查循环结构的程序框图,考查考生的运算求解能力.
由程序框图知,S=12+22+32+42+52+62+72+82+92+102,Q=22+32+42+52+62+72+82+
92+102+112,所以M=S-Q=1-112=-120.
8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,和正方体体积相等的正三棱锥E-PQR的高与正方体的外接球的直径相等,则此三棱锥的侧棱长为
A.a
B.a
C.a
D.a
【答案】B
【解析】本题主要考查几何体的体积公式、正方体外接球直径的求法等知识,考查考生的空间想象能力与运算求解能力.熟记并能够灵活运用正方体与锥体的体积公式是求解本题的关键.
设正三棱锥的底面PQR的边长为x,由正方体与三棱锥E-PQR的体积相等可得a3=x2·a,则
x=2a.设点E在底面PQR上的射影为O,连接OQ,则OQ=a,在Rt△EOQ中,EQ2=a2,所以EQ=a.
9．已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-<φ<)的部分图象如图所示.若横坐标分别为-1、1、5的三点M,N,P都在函数f(x)的图象上,则sin∠MNP的值为
A. B.- C.- D.
【答案】D
【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质,考查考生的运算求解能力和灵活应用数学知识和图形解题的能力.
由图可知,A=1,最小正周期T=4×2=8,所以T==8,ω=.因为-<φ<,所以-+φ<,又f(1)=sin(+φ)=1,则+φ=,φ=.所以f(x)=sin(x+).
解法一因为f(-1)=sin[(-1+1)]=0,f(1)=sin[(1+1)]=1,f(5)=sin[(5+1)]=-1,所以M(-1,0),N(1, 1),P(5,-1),|MN|=,|MP|=,|PN|==2,从而cos∠MNP==-,由∠MNP∈(0,π),得sin∠MNP=.
解法二因为f(-1)=sin[(-1+1)]=0,f(1)=sin[(1+1)]=1,f(5)=sin[(5+1)]=-1,所以M(-1,0),N(1, 1),P(5,-1),=(-2,-1),=(4,-2),·=-6,
||=,||==2,则cos∠MNP==-. 由∠MNP∈(0,π),得sin∠MNP=
.
10．设a,b为两个不共线的非零向量,且a,b的夹角为锐角.若对任意的实数m,n,都有
|a+m b|min=1,|b+n a|min=2,(a·b)min=4,则|b|的最小值是
A.2
B.4
C.4
D.8
【答案】B
【解析】本题考查平面向量的数量积、夹角、模等知识,考查考生的运算求解能力.
设向量a与b的夹角为θ,则θ∈(0,),由向量的几何意义可知|a|sinθ=1,|b|sinθ=2,所以
a·b=×cosθ=,易知当cosθ最小时,(a·b)min=4,得(cosθ)min=,又θ∈(0,),所以向量a与b的夹角θ∈(0,],所以|b|=≥=4.
11．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1、F2,这两条曲线在第一象限内的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2,则e1e2的取值范围是
A.(,+∞)
B.(,+∞)
C.(2,+∞)
D.(3,+∞)
【答案】A
【解析】本题主要考查圆锥曲线的定义、简单的几何性质,考查考生的运算求解能力.遇到圆锥曲线上的点与其焦点的关系时,通常利用其定义进行转化求解.
设椭圆的长轴长为2a,双曲线的实轴长为2m,焦距为2c,则
2c=|PF2|=2a-10,2m=10-2c,a=c+5,m=5-c,所以e1e2=.又由三角形的性质知2c+2c>10,故c>,由2c<10可知,c<5,所以5>c>,1<<4,0<-1<3,所以e1e2=.
12．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当x∈[0,4)时,f(x)=|x2-2x+|.若函数y=f(x)-m 在区间[-3,5]上有8个互不相同的零点,则实数m的取值范围是
A.(0,)
B.(0,1]
C.(,1)
D.[,1]
【答案】A
【解析】本题主要考查函数零点个数的相关知识以及数形结合思想.首先判断出函数f(x)是定义在R上的周期为4的函数,作出函数f(x)的图象和直线y=m,再利用数形结合思想求解.
由于定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)的周期为4,作出函数f(x)的图象和直线y=m如图所示,从图象上可以看出,m的取值范围为(0,).
二、填空题：共4题
13．若二项式(2x2-)7(a<0)的展开式中含x2项的系数为280,则a的值为.
【答案】-1
【解析】本题考查根据二项展开式中指定项的系数求参数的值,解题的关键是掌握二项展开式的通项.
依题意,二项式(2x2-)7(a<0)的展开式的通项为T r+1=(2x2)7-r(-)r=27-r(-a)r x14-3r,令14-3r=2,解得r=4,则23(-a)4=280,又a<0,所以a=-1.
14．已知过点M(0,-2)的直线与抛物线y=-x2相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若-7<y1+y2≤-5,则|AB|的取值范围是.
【答案】[9,11)
【解析】本题主要考查抛物线的定义及弦长的取值范围的求解,属于中档题.先将y=-x2转化为抛物线方程的标准形式x2=-8y,可知点M为其焦点,所以AB为抛物线的焦点弦,根据抛物线的定义知|AB|=4-(y1+y2),由-7<y1+y2≤-5即可得9≤|AB|<11.
因为y=-x2,所以x2=-8y,抛物线的焦点为M(0,-2),准线为y=2,根据抛物线的定义得
|AM|=2-y1,|BM|=2-y2,所以|AB|=4-(y1+y2),因为-7<y1+y2≤-5,所以9≤|AB|<11.
15．如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为线段BC的中点,Q为线段CC1的中点,则四面体A1PQD的正视图、侧视图和俯视图的面积之和为.
【答案】2
【解析】本题考查三视图的应用,考查考生的空间想象能力.根据题意作出几何体的三视图,然后依次求其面积即可.
易知四面体A1PQD的正视图为直角梯形,如图1所示,其面积为1-×1×,四面体A1PQD的侧视图为四边形,如图2所示,其面积为1-2××1×,四面体A1PQD的俯视图为直角梯形,如图3所示,其面积为1-×1×, 故四面体A1PQD的正视图、侧视图和俯视图的面积之和为++=2.
16．已知数列{a n}的首项为a(a≠0),前n项和为S n,且S n+1=tS n+a(t≠0且t≠1,n∈N*),b n=S n+1.当t≠1时,若c n=2+b1+b2+…+b n,则使数列{c n}为等比数列的所有数对(a,t)为.
【答案】(1,2)
【解析】本题主要考查等比数列的通项公式和前n和公式的应用.由数列递推式求得{a n}的通项公式,进而得c n=2-+(1+)n+,由等比数列通项公式的特点求解.
当n=1时,由S2=tS1+a,解得a2=at.当n≥2时,S n=tS n-1+a,∴(S n+1-S n)=t(S n-S n-1),即a n+1=ta n.又
a1=a≠0,∴=t,即{a n}是首项为a,公比为t的等比数列,∴a n=at n-1.∵t≠1,∴b n=1+.
∴c n=2+(1+)n-(t+t2+…+t n)=2+(1+)n-=2-+(1+)n+.若{c n}为等比数列,则有,得,即满足条件的数对是(1,2).
三、解答题：共8题
17．在△ABC中,D为边BC上一点,AB=,BD=,且cos∠ADB=-.
(1)求AD的长;
(2)若AC=,求sin∠CAD的值.
【答案】(1)如图所示,在△ABD中,
由余弦定理得7=2+AD2-2·AD·(-),
整理得AD2+2AD-5=0,
解得AD=或AD=-(舍去).
(2)由cos∠ADB=-可得sin∠ADC=,cos∠ADC=,
在△ACD中,由正弦定理得,即sin∠C=,
∵AD<AC,∴∠C∈(0,),cos∠C=,
∴sin∠CAD=sin(∠C+∠ADC)=sin∠C cos∠ADC+cos∠C sin∠ADC=
+.
【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式、同角三角函数的关系等,属于基础题.(1)在△ABD中,由余弦定理可求AD的长;(2)在△ACD中,由正弦定理求得∠C的正弦值,再用两角和的正弦公式可以求出sin∠CA D.本题在求∠C的余弦值时,需利用大角对大边判断∠C的范围.
【备注】在解三角形问题中,正弦定理和余弦定理为“边化角”和“角化边”提供了理论依据.解题时要正确运用三角形的内角和定理、正弦定理、余弦定理,可从寻求角的差异入手,选用公式.常见的三角类解答题的题型有:(1)三角函数的求值与化简问题;(2)单纯三角函数知识的综合;(3)三角函数与平面向量的交汇;(4)三角函数与解三角形的交汇;(5)单纯解三角形知识的综合;(6)解三角形与平面向量的交汇.
18．某商场举行抽奖促销活动,在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动:
已知抽奖箱中有9个大小和形状完全相同的小球,其中4个红球、3个白球、2个黑球(每次只能抽取1个,且每位顾客抽取后不放回,抽取完毕后统一放回).若抽得红球,获奖金10元;若抽得白球,获奖金20元;若抽得黑球,获奖金40元.
(1)若某顾客在该商场当日的消费金额为2 000元,求该顾客获得奖金70元的概率;
(2)若某顾客在该商场当日的消费金额为1 200元,获得奖金ξ元,求ξ的分布列和数学期望. 【答案】(1)∵X=2 000,∴该顾客有4次抽奖机会,
获得奖金70元有两种情况:抽得3个红球,1个黑球;抽得1个红球,3个白球.
∴该顾客获得奖金70元的概率P=.
(2)∵X=1 200,∴该顾客有2次抽奖机会,
∴ξ的值可能为20,30,40,50,60,80,
P(ξ=20)=,P(ξ=30)=,
P(ξ=40)=,P(ξ=50)=,
P(ξ=60)=,P(ξ=80)=,
∴ξ的分布列为
∴E(ξ)=20×+30×+40×+50×+60×+80×=40.
【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识,考查考生的运算求解能力.
19．如图,已知平行四边形ABCD与△EMN所在的平面都与矩形BDEF所在的平面垂直,且∠BAD=60°,AB=2MN=2AD=2,EM=EN,F为MN的中点.
(1)求证:MN∥AD;
(2)若直线AE与平面ABCD所成的角为60°,求二面角M-AB-C的余弦值.
【答案】(1)在△ABD中,∠BAD=60°,AB=2,AD=1,
由余弦定理可得BD2=AB2+AD2-2AB·AD cos∠BAD=22+12-2×2×1×cos 60°=3,
所以BD=,且AD2+BD2=AB2,
所以AD⊥BD.
又平面ABCD⊥平面BDEF,平面ABCD∩平面BDEF=BD,
所以AD⊥平面BDEF.
在△EMN中,EM=EN,MF=FN,
所以MN⊥EF,
又平面EMN⊥平面BDEF,平面EMN∩平面BDEF=EF,
所以MN⊥平面BDEF,
所以MN∥AD.
(2)在矩形BDEF中,ED⊥BD,
又平面ABCD⊥平面BDEF,平面ABCD∩平面BDEF=BD,
所以ED⊥平面ABCD,
所以∠EAD为直线AE与平面ABCD所成的角,
故∠EAD=60°.
在Rt△EAD中,ED=AD tan∠EAD=1×tan 60°=.
以D为坐标原点,分别以DA,DB,DE所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,,0),E(0,0,),F(0,,),M(,,),
=(,-,-),=(-1,,0).
因为DE⊥平面ABCD,
所以=(0,0,)为平面ABCD的一个法向量.
设平面MAB的法向量为n=(x,y,z),
则,即,
令y=1,则x=,z=-,所以n=(,1,-)是平面MAB的一个法向量.
所以cos<,n>==-.
设二面角M-AB-C的大小为θ,由图可知θ∈(90°,180°),
所以二面角M-AB-C的余弦值为-.
【解析】本题考查空间几何体的结构特征、线线平行的证明、线面角与二面角的求解等,考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力和基本的计算能力以及数形结合、转化与化归的数学
思想等.(1)先证明AD⊥BD,MN⊥EF,进而得AD⊥平面BDEF,MN⊥平面BDEF,从而证得结论;(2)建立空间直角坐标系,求出相应点的坐标,将所求转化为两个平面的法向量的夹角求解即可.
【备注】空间线面位置关系的证明多以平面图形中的线线平行与垂直关系作为起点,所以要灵活利用平面图形中的相关结论,如证明平行关系时,常用到“中位线”的性质,而证明垂直关系时,常用到等腰三角形的中线、菱形的对角线的性质等,也要注意解三角形在解决此类问题中的应用,计算与证明也是近年来高考的一大特点.空间角的求解一般利用空间向量法,这种方法简单直接,只需准确进行坐标运算即可,但要注意向量夹角与所求角之间的准确转化,特别是线面角的求解,否则易造成错误.
20．在平面直角坐标系xOy中,过椭圆C:+=1(a>b>0)右焦点的直线l:y=kx-k交椭圆C于A,B 两点,P为线段AB的中点,当k=1时,直线OP的斜率为-.
(1)求椭圆C的方程;
(2)x轴上是否存在点Q,使得当k变化时,总有∠AQO=∠BQO?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)因为直线l:y=kx-k过定点(1,0),
所以c=1,a2=b2+1.
当k=1时,直线l:y=kx-k=x-1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),联立,
化简得(2b2+1)x2-2(b2+1)x+1-b4=0,
则x1+x2=,于是y1+y2=x1+x2-2=-2=.
所以线段AB的中点P的坐标为(,),直线OP的斜率为=-,
所以b=1,a=.
从而椭圆C的方程为+y2=1.
(2)假设存在点Q,设其坐标为(m,0),联立,
化简得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
所以x1+x2=,x1x2=.
直线AQ的斜率k AQ=,直线BQ的斜率k BQ=,
k AQ+k BQ=+=,
当m=2时,k AQ+k BQ=0,所以存在点Q(2,0),使得∠AQO=∠BQO.
【解析】本题主要考查椭圆的方程和简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力.(1)利用椭圆的几何性质和基本量之间的关系求解椭圆方程;(2)联立直线与椭圆的方程,结合根与系数的关系求解.
【备注】解析几何解答题以圆锥曲线的标准方程为切入点,重视以椭圆为背景的相关问题的考查.直线与圆锥曲线的位置关系常考不衰,设而不求法是常用的解题手段,解析几何题的运算量很大,扎实的运算求解能力和锲而不舍的态度是解决这类问题必须具备的基本素质,浮躁、粗心的考生一般都不能正确求解,所以平时要多训练这类题,切实提高运算求解能力.
21．已知定义在[-2,2]上的奇函数f(x)满足:当x∈(0,2]时,f(x)=x(x-2).
(1)求f(x)的解析式和值域;
(2)设g(x)=ln(x+2)-ax-2a,其中常数a>0,试指出函数F(x)=g(f(x))的零点个数.
【答案】(1)∵f(x)为奇函数,且其定义域为[-2,2],∴f(0)=0.
当x∈[-2,0)时,-x∈(0,2],则f(x)=-f(-x)=-x(x+2),
∴f(x)=.
∵当x∈[0,2]时,f(x)∈[-1,0],当x∈[-2,0)时,f(x)∈[0,1],
∴f(x)的值域为[-1,1].
(2)函数f(x)的图象如图所示,
当t=0时,方程f(x)=t有三个实根;
当t=1或t=-1时,方程f(x)=t只有一个实根;
当t∈(0,1)或t∈(-1,0)时,方程f(x)=t有两个实根.
由g(x)=0,解得a=,
∵f(x)的值域为[-1,1],
∴只需研究函数y=在[-1,1]上的图象特征.
设h(x)=(x∈[-1,1]),h(-1)=0,h'(x)=,
令h'(x)=0,得x=e-2∈(0,1),h(e-2)=.
∵当-1≤x<e-2时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当e-2<x≤1时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
又ln 23<ln 32,即,
由h(0)=,h(1)=,得h(0)<h(1),
则当0<a<或<a<或a=时,
直线y=a与函数y=h(x)的图象仅有一个交点,
则函数g(x)在[-1,1]上仅有一个零点,
记零点为t,则t分别在区间(-1,0),(0,1),(0,1)上,
由图可知,方程f(x)=t有两个实根,
此时函数F(x)=g(f(x))有两个零点.
当a=时,函数g(x)在[-1,1]上仅有零点0,
此时函数F(x)=g(f(x))有-2,0,2这三个零点.
当a=时,函数g(x)在[-1,1]上有两个零点,一个零点是1,另一个零点在(0,1)内,
此时函数F(x)=g(f(x))有三个零点.
当<a<时,函数g(x)在[-1,1]上有两个零点,且这两个零点均在(0,1)内,此时函数F(x)=g(f(x))有四个零点.
当a>时,函数g(x)在[-1,1]上没有零点,此时函数F(x)=g(f(x))没有零点.
综上可知,当0<a<或<a<或a=时,函数F(x)=g(f(x))的零点个数为2;
当a=或时,函数F(x)=g(f(x))的零点个数为3;
当<a<时,函数F(x)=g(f(x))的零点个数为4;
当a>时,函数F(x)=g(f(x))的零点个数为0.
【解析】本题主要考查函数的性质、分段函数、导数的应用等,考查考生的数形结合思想、分类讨论思想以及分析问题、解决问题的能力及创新意识.
【备注】函数与导数题作为高考的压轴题,其主要特点是:考查思路清晰;重视分类讨论、数形结合、函数与方程等基本数学思想的考查;重视新定义函数,挖掘新函数的性质和特点,并在此基础上灵活地设计问题;重视推理论证能力的考查,把对函数的概念、性质、图象及导数等基础知识的考查融入到所设计的问题当中;重视考查考生探索、分析、解决新问题的综合能力.考生在复习冲刺阶段需要根据以上特点,进行针对性训练,这样方可“以最轻松的训练,收获最好的训练效果”,切忌盲目实行题海战术.
22．如图所示,已知AB为圆O的直径,C,D是圆O上的两个点,CE⊥AB于点E,BD交AC于点G,交CE于点F,CF=FG.
(1)求证:C是劣弧的中点;
(2)求证:BF=FG.
【答案】(1)∵CF=FG,∴∠CGF=∠FCG.
∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=.
∵CE⊥AB,∴∠CEA=.
∵∠CGF=∠DGA,∴∠DGA=∠FCG,∴-∠DGA=-∠FCG,
∴∠CAB=∠DAC,∴C为劣弧的中点.
(2)∵∠GBC=-∠CGB,∠FCB=-∠FCG,
∴∠GBC=∠FCB,
∴CF=BF,
又CF=FG,∴BF=FG.
【解析】本题主要考查利用圆的性质进行相关的证明,考查考生的推理论证能力,难度不大,只要认真观察图形,充分利用圆的性质进行推理即可.
【备注】高考中,几何证明选讲多是以圆的有关知识和三角形为背景,圆中的弦切角定理、切割线定理、割线定理、相交弦定理等是考查重点;三角形中,三角形相似、直角三角形与等腰三角形的性质是重点.因此熟悉相关定理是解题的关键,同时需要注重观察图形.
23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的非负半轴重合.若曲线C1的极坐标方程为ρsin(θ-)+2=0,曲线C2的参数方程为(α为参数).
(1)求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程;
(2)若点Q为曲线C2上的动点,P为曲线C1上的动点,求|PQ|的最小值.
【答案】(1)因为曲线C1的极坐标方程为ρsin(θ-)+2=0,
化简得ρ·sinθ-ρ·cosθ+2=0,
所以曲线C1的直角坐标方程为x-y-4=0.
因为曲线C2的参数方程为(α为参数),
消去参数可得曲线C2的普通方程为x2+y2=1.
(2)由(1)得曲线C2的普通方程为x2+y2=1,所以曲线C2表示圆心为C2(0,0),半径为1的圆.
又圆心C2(0,0)到直线C1的距离d=2,
所以|PQ|min=2-1.
【解析】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、点到直线的距离公式等知识,考查考生的转化与化归思想及运算求解能力.
【备注】坐标系与参数方程是考生选做的热点,这类试题整体难度不大,关键要弄清楚参数的几何意义.直线与圆、抛物线等的位置关系是常见的考查点,解题时一般可从代数角度与几何角度考虑.
24．已知函数f(x)=|2x-7|+1.
(1)求不等式f(x)>|x-1|的解集;
(2)若不等式f(x)>ax对一切x∈R都成立,求实数a的取值范围.
【答案】解法一(1)原不等式即为|2x-7|+1>|x-1|,
当x<1时,由-(2x-7)+1>-(x-1),解得x<7,所以x<1;
当1≤x≤时,由-(2x-7)+1>x-1,解得x<3,所以1≤x<3;
当x>时,由2x-7+1>x-1,解得x>5,所以x>5.
综上所述,原不等式的解集为(-∞,3)∪(5,+∞).
(2)f(x)=|2x-7|+1=,
画出y=f(x)和y=ax的图象,
当y=ax经过点(,1)时,a=,
由图象可知,实数a的取值范围是[-2,).
解法二(1)在同一坐标系下作出y=|2x-7|+1和y=|x-1|的图象,如图所示,当|2x-7|+1=|x-1|时,x=3或x=5,
由图象可知,原不等式的解集为(-∞,3)∪(5,+∞).
(2)f(x)=|2x-7|+1=,
当x≥时,2x-6>ax,即2-a>,2-a>()max=,所以a<;
当0<x<时,8-2x>ax,即2+a<,2+a<()min<,所以a<;
当x=0时,显然符合题意;
当x<0时,8-2x>ax,即2+a>,所以2+a≥0,即a≥-2,
综上所述,实数a的取值范围是[-2,).
【解析】本题考查绝对值不等式的解法等知识,考查考生的运算求解能力.解法一:(1)利用零点分段法进行讨论即可;(2)借助直线y=ax和y=f(x)的图象求解.解法二:(1)利用函数图象求解;(2)去掉绝对值符号,分类讨论求解.
【备注】不等式选讲部分的考查热点集中在绝对值不等式,去绝对值是解决绝对值不等式的基本方法,当出现参数时,通常采用分类讨论或者数形结合的思想解决.。