黑龙江省海林市朝鲜族中学人教版高中数学必修三同步练习：第三章 概率单元测评(附答案)$873591

单元测评(三)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分， 共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的有( )①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值； ②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生； ③任意事件A 发生的概率P (A )总满足0<P (A )<1；④若事件A 的概率趋近于0，即P (A )→0，则事件A 是不可能事件. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2．在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为80%”，这是指( )A ．明天该地区有80%的地方降水，有20%的地方不降水B ．明天该地区有80%的时间降水，其他时间不降水C ．气象台的专家中有80%的人认为会降水，另外有20%的专家认为不降水D ．明天该地区降水的可能性为80%3．A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，则弦AA ′的长度大于或等于圆的半径的概率为( )A.12B.23C.32D.134．有四个面积相同的游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖．若想增加中奖机会，则应选择的游戏盘是( )图C3­15．已知口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，则摸出黑球的概率是( )A ．0.42B ．0.28C ．0.3D ．0.76．羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为( )A.310B.67C.35D.457．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的点数分别为X ，Y ，则log 2X Y ＝1的概率为( )A.16B.536C.112D.128．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一个点数的概率都是16，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则概率P (A ∪B )＝ ( )A.12B.13C.23D.569．在区间[0，1]上任取两个实数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( ) A.12 B.34 C.23 D.1410．有一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金金额，其余商标牌的背面是一张笑脸，若翻到笑脸，则不得奖，参加这个游戏的人有三次翻牌的机会．某人前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么此人第三次翻牌获奖的概率是( )A.14B.16C.15D.320 11．有下列四个说法： ①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个事件，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； ③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1； ④若事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件． 其中错误说法的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．312．5件产品中有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则下列事件中概率为710的是( )A ．恰有1件一等品B ．至少有1件一等品C ．至多有1件一等品D ．都不是一等品 请将选择题答案填入下表：第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若某人在打靶时连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的对立事件是______________．14．设集合A ＝{0，1，2}，B ＝{0，1，2}，从集合A 和B 中各随机取一个数，分别记为a ，b ，从而确定平面上的一个点P (a ，b )，设“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (0≤n ≤4，n ∈N)．若事件C n 的概率最大，则n 的值为________．15．在区间[－3，2]上随机取一个数x ，则事件“1≤⎝⎛⎭⎫12x≤4”发生的概率是________． 16．在区间(0，1)上随机地取两个数，则两数之和小于65的概率是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图C3­2所示．现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率； (2)该队员最多属于两支球队的概率．图C3­218．(12分)现有7名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3数学成绩优秀，B1，B2物理成绩优秀，C1，C2化学成绩优秀，从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．(1)求C1被选中的概率；(2)求A1，B1不全被选中的概率．19．(12分)A袋中有1个红球和1个黑球，B袋中有2个红球和1个黑球，A袋中任取1个球与B袋中任取1个球互换，这样的互换进行了一次，求：(1)A袋中红球恰是1个的概率；(2)A袋中红球至少是1个的概率．20．(12分)某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组为第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，并得到频率分布直方图如图C3­3所示．(1)下表是年龄的频数分布表，求a，b的值．(2)现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则第1，2，3组应分别抽取多少人？(3)在(2)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人来自第3组的概率．图C3­321．(12分)将长度为a的木条折成三段，求这三段能构成三角形的概率．22．(12分)某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，按测试成绩(假设考试成绩均在[65，90)内)分组如下：第一组[65，70)，第二组[70，75)，第三组[75，80)，第四组[80，85)，第五组[85，90)．得到频率分布直方图如图C3­4.(1)求测试成绩在[80，85)内的频率；(2)从第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名学生中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有1名学生被抽中的概率．图C3­4单元测评(三)1．C [解析] 易知①②是正确的．2．D [解析] “明天降水概率为80%”指明天该地区降水的可能性为80%.3．B [解析] 如图，当AA ′的长度等于半径时，A ′位于B 点或C 点，此时∠BOC ＝120°，则优弧BC 的长度为43πR .故所求概率P ＝43πR 2πR ＝23.4．A [解析] 由几何概型的概率公式知，A ，B ，C ，D 四个选项中奖的概率依次是38，14，13，13，因此要想增加中奖机会，应选择A 盘． 5．C [解析] 因为“摸出黑球”的对立事件是“摸出红球或摸出白球”，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.6．C [解析] 从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊的方法有10种，其中喜羊羊和美羊羊恰好只有一只的有6种，由古典概型概率计算公式可得，所求概率为35. 7．C [解析] 设“log 2X Y ＝1”为事件A ，则A 包含的基本事件有3个，可分别表示为(1，2)，(2，4)，(3，6)，故P (A )＝336＝112.8．C [解析] 事件A ∪B 为“向上的点数是奇数或向上的点数不超过3”，共包含点数为1，2，3，5四种情况，所以P ()A ∪B ＝46＝23，选C.9．B [解析] 由Δ＝a 2－4b 2<0及a ，b ∈[0，1]，得a <2b ，如图，P ＝1－14＝34，故选B.10．B [解析] 由题意知，第三次翻牌时，还有18个商标牌，其中有奖的商标牌还有3个，故所求概率P ＝318＝16.11．D [解析] ①正确；②当且仅当A 与B 互斥时才有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，对于任意两个事件A ，B 满足P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )，②不正确；③P (A )＋P (B )＋P (C )不一定等于1，还可能小于1，所以③不正确；④不正确，例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不是对立事件，但P (A )＝12，P (B )＝12，P (A )＋P (B )＝1.12．C [解析] 将3件一等品编号为1，2，3，将2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)．其中恰有1件一等品的取法有(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，共6种，故恰有1件一等品的概率P 1＝610.恰有2件一等品的取法有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3种，故恰有2件一等品的概率P 2＝310，其对立事件是“至多有1件一等品”，所以对立事件的概率P 3＝1－P 2＝1－310＝710.13．两次都未中靶 [解析] 由对立事件的概念可以直接得到．14．2 [解析] 基本事件为：(0，0)，(0，1)，(0，2) ，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共9个．当n ＝0时，落在直线x ＋y ＝0上的点只有(0，0)；当n ＝1时，落在直线x ＋y ＝1上的点有(0，1)，(1，0)，共2个当n ＝2时，落在直线x ＋y ＝2上的点有(1，1)，(2，0)，(0，2)，共3个； 当n ＝3时，落在直线x ＋y ＝3上的点有(1，2)，(2，1)，共2个； 当n ＝4时，落在直线x ＋y ＝4上的点只有(2，2)． 因此，当事件C n 的概率最大时，n ＝2.15.25 [解析] ∵1≤⎝⎛⎭⎫12x ≤4，∴－2≤x ≤0，∴所求概率P ＝0－（－2）2－（－3）＝25.16.1725 [解析] 设这两个数为x ，y ，则x ＋y <65，如图所示，由几何概型的概率公式可知，所求概率为1－12×45×451＝1725.17．解：由图知，三支球队共有队员10＋4＋3＋3＝20(名)，其中只参加一支球队的队员有5＋4＋3＝12(名)，参加两支球队的队员有1＋2＋3＝6(名)．(1)设“该队员只属于一支球队”为事件A ，则P (A )＝1220＝35. (2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B ，则P (B )＝1220＋620＝1820＝910.18．解：从7名中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件集合Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)}．事件Ω由12个基本事件组成，由于每一个基本事件被抽取的机会相等，因此这些基本事件的发生是等可能的．(1)用M 表示“C 1恰被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)}，事件M 由6个基本事件组成，因此P (M )＝612＝12.(2)用N 表示“A 1，B 1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“A 1，B 1全被选中”这一事件，由于＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，事件由2个基本事件组成，所以P (N )＝212＝16， 所以由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P ()＝1－16＝56.19．解：将A 袋中的1个红球和1个黑球分别编号为红1，黑1，B 袋中的2个红球和1个黑球分别编号为红2，红3，黑2，则A 袋中任取1个球与B 袋中任取1个球的基本事件空间为{(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，黑2)，(黑1，红2)，(黑1，红3)，(黑1，黑2)}，由6个基本事件组成．(1)互换后A 袋中红球恰是1个的概率P 1＝36＝12.(2)互换后A 袋中红球至少是1个的概率P 2＝56.20．解：(1)由题意知，a ＝0.08×5×500＝200，b ＝0.02×5×500＝50. (2)易知第1，2，3组共有50＋50＋200＝300(人)， 利用分层抽样在300人中抽取6人，则第1组应抽取的人数为6×50300＝1，第2组应抽取的人数为6×50300＝1，第3组应抽取的人数为6×200300＝4，所以第1，2，3组应抽取的人数分别为1，1，4. (3)记第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为C 1，C 2，C 3，C 4，则从6人中抽取2人有15种取法：(A ，B )，(A ，C 1)，(A ，C 2)，(A ，C 3)，(A ，C 4)，(B ，C 1)，(B ，C 2)，(B ，C 3)，(B ，C 4)，(C 1，C 2)，(C 1，C 3)，(C 1，C 4)，(C 2，C 3)，(C 2，C 4)，(C 3，C 4)．其中2人都不在第3组的取法为(A ，B )， 所以至少有1人在第3组的概率P ＝1－115＝1415.21．解：设事件A 表示“这三段能构成三角形”，x ，y 分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为a －x －y ，x ，y 构成的区域Ω＝{(x ，y )|0<x <a ，0<y <a ，0<x ＋y <a }． 要使三段木条能构成三角形，则 x ＋y >a －x －y ⇒x ＋y >a 2；x ＋a －x －y >y ⇒y <a2；y ＋a －x －y >x ⇒x <a2.故三段木条能构成三角形的区域A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|x ＋y >a 2，x <a 2，y <a 2，如图所示．由图知，所求的概率P ＝S A S Ω＝12×⎝⎛⎭⎫a 2212a 2＝14.22．解：(1)测试成绩在[80，85)内的频率为1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2. (2)第三组的人数为0.06×5×100＝30，第四组的人数为0.2×100＝20，第五组的人数为0.02×5×100＝10，所以第三组抽取3人，第四组抽取2人，第五组抽取1人．设第三组抽到的3人为A1，A2，A3，第四组抽到的2人为B1，B2，第五组抽到的1人为C.从6名学生中随机选取2名的可能情况有15种：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)．设“第四组2名学生中至少有1名学生被抽中”为事件M，则事件M包含的基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共9个．所以，第四组至少有1名同学被抽中的概率P(M)＝915＝3 5.。