重庆高二高中数学月考试卷带答案解析

重庆高二高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.把4封不同的信投进5个不同的邮箱中，则总共投法的种数为（）
A．20B．C．D．
2.（原创）已知随机变量服从二项分布，若，则（）
A．B．C．D．
3.（原创）把五个字母进行排列，要求必须在中间，且必须相邻，则满足条件的不同排法数为（）A．24B．12C．8D．4
4.（原创）为大力提倡“厉行节俭，反对浪费”，重庆一中通过随机询问100名性别不同的学生是否做到“光盘”行动，得到如下列联表及附表
经计算：，参考附表，得到的正确结论是（）
A.有的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别有关”
B.有的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别无关”
C.有的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别有关”
D.有的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别无关”
5.（原创）某区实验幼儿园对儿童记忆能力与识图能力进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力46810
识图能力
由表中数据，求得线性回归方程为，当江小豆同学的记忆能力为12时，预测他的识图能力为（）
A．9 B．9.5 C． 10 D．11.5
6.一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
7.在中，若，那么一定是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．形状不确定
8.袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次，若抽到各球的机会均等，事件“三次抽到的号码之和为6”，事件“三次抽到的号码都是2”，则（）
A．B．C．D．
9.（原创）一直二项式按照的方式展开，则展开式中
的值为（）
A．90B．180C．360D．405
10.（原创）若数列满足规律：则称数列为波浪数列，将1,2,3,4,5这五个数排列成一个无重复数字的波浪数列，则排法种数共有（）
A．12B．14C．16D．18
11.已知定义在上的函数满足，且，，若有穷数列的前项和等于，则等于（）
A．4B．5C．6D．7
12.已知是双曲线的左焦点，为右顶点，上下虚轴端点为，若交于，且
，则此双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.的二项展开式的常数项为 .
2.设随机变量服从正态分布，若，则的值是 .
3.（原创）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 .
4.（原创）如图所示是某个区域的街道示意图（每个小矩形的边表示街道），那么从到的最短线路有条.
三、解答题
1.（原创）清明节放假期间，已知甲同学去磁器口古镇游玩的概率为，乙同学去磁器口古镇游玩的概率为，丙同学去磁器口古镇游玩的概率为，且甲，乙，丙三人的行动互相之间没有影响.
（1）求甲，乙，丙三人在清明节放假期间同时去磁器口古镇游玩的概率；
（2）求甲，乙，丙三人在清明节放假期间仅有一人去磁器口古镇游玩的概率.
2.在中，分别是角的对边，已知.
（1）求的值；
（2）若的面积，且，求和的值.
3.某师范大学志愿者支教团体有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中， 3名同学来自数学系，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个系，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（1）求选出的3名同学来自互不相同的系的概率；
（2）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
4.如图，在长方体中，，点在棱上移动.
（1）证明：；
（2）等于何值时，二面角的大小为.
5.已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上，直线的斜率为，直线被圆截得的线段的长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.
6.已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；
（3）若关于的方程（为实数）有两个正实根，求证：.
重庆高二高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.把4封不同的信投进5个不同的邮箱中，则总共投法的种数为（）
A．20B．C．D．
【答案】D
【解析】因为每封信都有种不同的投递方法，所以总共投法的种数为，故选D.
【考点】分步计数原理.
2.（原创）已知随机变量服从二项分布，若，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，根据二项分布的期望与方差的公式可知：，解得，故选A.
【考点】二项分布的数字特征.
3.（原创）把五个字母进行排列，要求必须在中间，且必须相邻，则满足条件的不同排法数为（）A．24B．12C．8D．4
【答案】C
【解析】由题意得，要求必须在中间，且必须相邻，先按，共有种不同的排法，在在一侧排，共有种排法，共计中不同的排法，故选C.
【考点】排列、组合的应用.
4.（原创）为大力提倡“厉行节俭，反对浪费”，重庆一中通过随机询问100名性别不同的学生是否做到“光盘”行动，得到如下列联表及附表
经计算：，参考附表，得到的正确结论是（）
A.有的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别有关”
B.有的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别无关”
C.有的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别有关”
D.有的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别无关”
【答案】C
【解析】由题意得，则，所以有的把握认为“该学
生能否做到光盘行到与性别有关”，故选C.
【考点】独立性检验.
5.（原创）某区实验幼儿园对儿童记忆能力与识图能力进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力
识图能力
由表中数据，求得线性回归方程为，当江小豆同学的记忆能力为12时，预测他的识图能力为（）A．9 B．9.5 C． 10 D．11.5
【答案】B
【解析】由题意得，可计算得，即样本中心点，代入回归直线方程得，即回归直线方程为，令，解得，故选B.
【考点】回归直线的应用.
6.一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据给定的三视图可知，该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱的底面圆的半径为，
高为，圆锥的底面圆的半径为，高为，所以该几何体的体积为，故选B.
【考点】空间几何体的三视图及旋转体的体积的计算.
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据给定的三视图可得原几何体为几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，即可利用体积公式计算几何体的体积.
7.在中，若，那么一定是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．形状不确定
【答案】B
【解析】由，则，所以角都为锐角，又，
得，即，又，所以，所以角为钝角，所以三角形为钝角三角形，故选B.
【考点】三角函数的基本关系式及三角函数的恒等变换.
8.袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次，若抽到各球的
机会均等，事件“三次抽到的号码之和为6”，事件“三次抽到的号码都是2”，则（）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，事件“三次抽到的号码之和为”的概率为，事件同时发生的概率为，所以根据条件概率的计算公式.
【考点】条件概率的计算.
9.（原创）一直二项式按照的方式展开，则展开式中
的值为（）
A．90B．180C．360D．405
【答案】D
【解析】由题意得，，所以展开式中的第项为
，即，故选D.
【考点】二项式定理的应用.
10.（原创）若数列满足规律：则称数列为波浪数列，将1,2,3,4,5这五
个数排列成一个无重复数字的波浪数列，则排法种数共有（）
A．12B．14C．16D．18
【答案】C
【解析】由题意得，首位是时，，共种；首位为时，，共种；首
位为时，，共种；首位为时，，共种，所以共有种，故选C.
【考点】分类计数原理的应用.
11.已知定义在上的函数满足，且，，若有穷
数列的前项和等于，则等于（）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】因为，所以
，即函数单调递减，所以，又，即，解得，即，所以数列是首项为，公比的等比数列，所以
，由，解得，故选B.
【考点】导数的运算；等比数列求和.
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及等比数列的通项公式及其前项和公式的应用，属于中档试题，着重考查了学生的推理运算能力和转化与化归的思想方法的应用，本题的解答中，根据题设条件，可得函
数单调递减，再根据，求得，即可判定数列是首项为，公比的等比数列，利用等比数列的前和公式即可求解出的值.
12.已知是双曲线的左焦点，为右顶点，上下虚轴端点为，若交于，且
，则此双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，则的方程为，的方程为，联立两个方程解得，即，因为，所以，即
，整理得，即，则，故选A.
【考点】双曲线的标准方程及其简单的几何性质.
【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用、双曲线离心率的计算，其中求出直线方程以及的坐标是解得本题的关键，试题运算量较大，综合性较强，属于难题，着重考查了学生的推理、运算
能力，本题的解答中，分别求出直线，的方程，联立方程组，求解点的坐标，利用，化简得出的关系式，即可求解双曲线的离心率.
二、填空题
1.的二项展开式的常数项为 .
【答案】
【解析】由题意得，的二项展开式，即展开式的常数项为.
【考点】二项式定理.
2.设随机变量服从正态分布，若，则的值是 .
【答案】
【解析】由题意得随机变量服从正态分布，即正态分布的图象关于对称，若
，则.
【考点】正态分布.
3.（原创）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 .
【答案】
【解析】画出曲线与直线所围成的封闭图形，如图所示，则曲线与直线所围成的封闭图
形的面积为.
【考点】定积分求解曲边形的面积.
【方法点晴】本题主要考查了利用定积分求解封闭图形的面积，着重考查了饿数形结合思想方法的应用，同时考查了定积分的的几何意义的应用，此类问题解答的关键在于求出被积函数的圆函数，属于中档试题，本题的解答中根据题意画出围成封闭的曲变形，确定积分的上、下限，写出积分式，找出被积函数的原函数，求解定积分的值，即可得到封闭曲变形的面积.
4.（原创）如图所示是某个区域的街道示意图（每个小矩形的边表示街道），那么从到的最短线路有条.
【答案】
【解析】要使从到的线路最短，只需要每一步都向右或向上，即向上次，向右次；可分为两类：一类是由点经过矩形到达点，然后再由点经过矩形到达点；另一类是由点出发经过矩形到达点，然后再由点经过矩形到达点，易知这两类的方法是一样的，只求成第一类走法即可，由点经过矩形
到达点，需要向右走两次，向上走次，共有种；点经过矩形到达点，需要向右走次，向上走次，共有种；由分步计数原理可知，要使从点经过点到达点的线路最短的方法共有
种不同的走法；同理要使从点经过点到达点的线路最短的方法也有种；由分类计数原理可知从点达
点的线路最短，共有种.
【考点】排列组合的实际应用.
【方法点晴】本题主要考查了分类计数原理与分步计数原理的应用，其中合理的分类和在每一类中合理分步是解答问题的关键，着重考查了学生分析问题、解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，要使从到的线路
最短，只需要每一步都向右或向上，可分为由点经过矩形到达点，然后再由点经过矩形到达点或由点出发经过矩形到达点，然后再由点经过矩形到达点.
三、解答题
1.（原创）清明节放假期间，已知甲同学去磁器口古镇游玩的概率为，乙同学去磁器口古镇游玩的概率为，丙同学去磁器口古镇游玩的概率为，且甲，乙，丙三人的行动互相之间没有影响.
（1）求甲，乙，丙三人在清明节放假期间同时去磁器口古镇游玩的概率；
（2）求甲，乙，丙三人在清明节放假期间仅有一人去磁器口古镇游玩的概率.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)根据相互独立事件同时发生的概率，利用概率的乘法公式计算；（2）甲，乙，丙三人在清明节放假期间仅有一人去磁器口古镇游玩分为三种情况，分别计算概率，即可求解.
试题解析：（1）
（2）.
【考点】相互独立事件发生的概率.
2.在中，分别是角的对边，已知.
（1）求的值；
（2）若的面积，且，求和的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用余弦定理，可得，即可求解的值；（2）利用三角形的面积公式，求得，再利用余弦定理列方程，即可求解和的值.
试题解析：（1）由；
（2），又①
由余弦定理②
，联立①②可得.
【考点】余弦定理及三角形的面积公式.
3.某师范大学志愿者支教团体有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中， 3名同学来自数学系，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个系，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（1）求选出的3名同学来自互不相同的系的概率；
（2）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【解析】（1）利用怕了组合求出所有基本事件个数及宣传名同学互不相同学院的基本事件的个数，利用古典概率的概率公式求解；（2）确定随机变量所有可能取得取值，计算出概率，即可得到分布列，求解数学期望.
试题解析：（1）设“选出的3名同学来自互不相同的系”为事件
（2）随机变量的所有可能为0,1,2,3
随机变量的分布列为
数学期望.
【考点】古典概型及其概率的计算公式；随机变量变量的分布列.
4.如图，在长方体中，，点在棱上移动.
（1）证明：；
（2）等于何值时，二面角的大小为.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】以为坐标原点所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，即可写出点，(1)利用数量积只要判断； (2)设平面的法向量，利用法向量的特点求出.
试题解析：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则
（1）因为，所以
（2）设平面的法向量
由，令
依题意
（不合，舍去），
时，二面角的大小为.
【考点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角的求法.
5.已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上，直线的斜率为，直线被圆截得的线段的长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）通过离心率为，得出，设直线的方程为，由圆心到直线的距离公式，即可计算出的值，得到椭圆的标准方程；（2）设动点的坐标为，分别联立直线、直线与椭圆方程，分和两种情况分类讨论，即可得到结论.
试题解析：（1）由已知有，又，可得
设直线的方程为，由圆心到直线的距离公式可得
故所求的椭圆方程为；
（2）设点的坐标为，直线的斜率为，
联立消去整理，
可解得或.再设直线的斜率为，
再联立
①当时，故得
②当时，故得
综上直线的斜率的取值范围.
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合应用.
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质，直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲线的位置的综合应用，试题有一点的难度，着重考查了代数方法研究圆锥曲线的性质，以及函数与方程思想和分类讨论思想的应用能力，本题的解答中，设出的坐标为，分别联立直线、直线与椭圆
方程，分和两种情况分类讨论，即可得到结论.
6.已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；
（3）若关于的方程（为实数）有两个正实根，求证：.
【答案】（1）①当为奇数时，在和上单调递减，在上单调递增，②当为偶数时，当单调递增，当单调递减；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）由，可得，分为奇数和偶数两种情况利用导数即可得到函数的单调性；
（2）设点的坐标，则，可得，
，由在上单调递减，可求得在单调递增，在单调递减，即可得证；（3）不妨设，方程的根为，可得，设曲线
在原点处的切线方程为，可得，设方程的根为，可得
在上单调递增，且，由此可得，由，所以
，推得，即可作出证明.
试题解析：（1）由
①当为奇数时，令，解得或
当变化时，的变化情况如下表
-+-
故在和上单调递减，在上单调递增.
②当为偶数时，令，解得
当单调递增
当单调递减
（2）证明：设点的坐标，则
曲线在点处的切线方程为，即
令，即，则
又由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，
所以当时，，当，
故在单调递增，在单调递减
即；
（3）证明：不妨设，由（2）知，设方程的根为
可得
当时，在上单调递减，又由（2）知
类似的，设曲线在原点处的切线方程为
当，即
设方程的根为，可得在上单调递增，
且，，由此可得
因此，所以
.
【考点】利用导数研究函数的单调性与最值；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等关系的证明.
【方法点晴】本题主要考查了导数的运算、导数的几何意义、利用导数函数的单调性与极值（最值）、证明不等式的基础知识的综合应用，着重考查了分类讨论思想、函数与方程思想、转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于压轴题，本题的解答中，通过构造函数，和，利用两个函数的单调性与极值最值，是解得第两问证明的关键.。