13 正方形的性质及判定(备作业)-2021-2022学年九年级数学上(北师大版)(解析版)

1.3正方形的性质及判定
一、单选题
1．四边形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，下列能判定四边形ABCD 是正方形的是（ ） A ．,AB BC CD AD AC BD ====
B ．,,AO CO BO DO A
C B
D ==⊥ C ．,AO BO CO DO AC BD ====
D ．,AB BC AD CD == 【答案】A
【解析】
根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．解：A 、∵AB BC CD AD ===，∴四边形ABCD 是菱形，又∵AC BD =∴ABCD 是正方形，故A 选项能判定；
B 、∵,AO CO BO DO ==，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵A
C B
D ⊥，∴ABCD 是菱形，故B 选项不能判定；只能判定为菱形；
C 、∵AO BO CO DO ===，∴四边形ABC
D 是矩形，故C 选项不能判定；只能判定为矩形；
D 、,AB BC AD CD ==，两组邻边相等，无法判定，故D 选项不能判定．
故选A ．
【点睛】
本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
2．如图，E 是正方形ABCD 的边BC 的延长线上一点，若CE=CA ，AE 交CD 于F ，则∠FAC 的度数是（ ）
A ．22.5°
B ．30°
C ．45°
D ．67.5°
【答案】A
【解析】
解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，
∴∠E+∠∠FAC=∠ACB=45°，∵CE=CA，
∴∠E=∠FAC，
∴∠FAC=1
2
∠ACB=22.5°．
故选A．
3．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）
A．①②B．②③C．①③D．②④
【答案】B
【解析】A、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD 是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选B．4．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（）
A B．C1D．1
【答案】B
【解析】
由正方形的性质和已知条件得出BC=CD=，∠BCD=90°，CE=CF=1
2
，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰
直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长．解：∵正方形ABCD的面积为1，∴
，∠BCD=90°．
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE=1
2BC=
1
2
，CF=
1
2
CD=
1
2
，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴
∴正方形EFGH的周长=4EF=4×
2
=
故选：B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF 的长是解决问题的关键．
5．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ）．
A ．对角线互相平分
B ．对角线相等
C ．对角线互相垂直
D ．对角形互相垂直平分
【答案】A
【解析】
根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．∵平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线互相平分
∴选项A 正确；
∵菱形的对角线不相等
∴选项B 错误；
∵矩形的对角线不相互垂直
∴选项C 和D 错误；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，从而完成求解．
6．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且0BAE 22.5 ＝，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为
A．1 B C．4-D．4【答案】C
【解析】分析：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠BAE=22.5°，∴∠DAE=90°－∠BAE=90°－22.5°=67.5°．
在△ADE中，∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠DAE=∠ADE．∴AD=DE=4．
∵正方形的边长为4，∴BD=
∴BE=BD－DE=4．
∵EF⊥AB，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形．
∴EF=2
2BE==422
-．故选C．
7．如图，点A（1，1），B（3，1），C（3，﹣1），D（1，﹣1）构成正方形ABCD，以AB为边做等边△ABE，则∠ADE和点E的坐标分别为（）
A．15°和（2，
B．75°和（2，1）
C．15°和（2，75°和（21）
D．15°和（2，1+75°和（2，1
【答案】D
【解析】
分为两种情况：①当△ABE在正方形ABCD外时，过E作EM⊥AB于M，根据
等边三角形性质求出AM、AE，根据勾股定理求出EM，即可得出E的坐标，求出∠EAD，
根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质即可求出∠ADE；②当等边△ABE在正方形
ABCD内时，同法求出此时E的坐标，求出∠DAE，根据三角形的内角和定理和等腰三角
形性质即可求出∠ADE．分为两种情况：①△ABE在正方形ABCD外时，如图，过E作EM⊥AB于M，
∵等边三角形ABE，
∴AE=AB=3﹣1=2，
∴AM=1，
由勾股定理得：AE2=AM2+EM2，
∴22=12+EM2，
∴EM
∵A（1，1），
∴E 的坐标是(21，，
∵等边△ABE 和正方形ABCD ，
∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，AD=AE ， ∴()11809060152
ADE AED ∠=∠=︒-︒-︒=︒；
②同理当△ABE 在正方形ABCD 内时，同法求出E 的坐标是()2,1，
∵∠DAE=90°﹣60°=30°，
AD=AE ， ∴()118030752
ADE AED ∠=∠=︒-︒=︒；
∴∠ADE 和点E 的坐标分别为15°，(21，，或75°，()
2,1，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等边三角形性质、勾股定理、等腰三角形性质、正方形性质、坐标与图
形性质、三角形的内角和定理等知识点的运用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算
的能力，本题综合性比较强，有一定的难度，但题型较好，注意要分类讨论．
8．如图，正方形ABCD 中，AB=6，G 是BC 的中点．将△ABG 沿AG 对折至△AFG ，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是 ( )
A ．1
B ．1.5
C ．2
D ．2.5
【答案】C
【解析】
连接AE,根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE,在直角△ECG中，根据勾股定理求出DE的长.
连接AE，
∵AB=AD=AF,∠D=∠AFE=90°，
由折叠的性质得：Rt△ABG≌Rt△AFG，
在△AFE和△ADE中，
∵AE=AE，AD=AF，∠D=∠AFE，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE，
∴EF=DE，
设DE=FE=x，则CG=3，EC=6−x.
在直角△ECG中，根据勾股定理，得：
(6−x)2+9=(x+3)2，
解得x=2.
则DE=2.
【点睛】
熟练掌握翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定与性质是本题的解题关键.
9．如图，在正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在线段DE 上，若AB AF =，则BFE ∠=（ ）
A ．45°
B ．30°
C ．60°
D ．55°
【答案】A
【解析】 由正方形的性质再结合已知条件可证△ABF 和△ADF 是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质，四边形内角和为360°和三角形内角和定理即可解答.∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB AD =，90BAD ︒∠=，
∵AB AF =，
∴AF AD =，
∴ABF ∆和ADF ∆都是等腰三角形，
∴12∠=∠，34∠=∠．
∵1234360BAD ︒∠+∠+∠+∠+∠=，
∴2223270︒∠+∠=，
∴23135︒∠+∠=，
∴
18013545BFE ︒︒︒∠=-=． 故选A ．
【点睛】
此题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键在于掌握各性质定理.
10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，CH┴AF与点H，那么CH的长是（）
A B C D
【答案】D
【解析】
连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，最后由直角三角形面积的两种表示法即可求得CH的长.如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，
∴AC=
，
∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
由勾股定理得，==，∵CH⊥AF，
∴11
22
AC CF AF CH
⋅=⋅，
1
2
CH
=⨯，
∴.
故选D.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、勾股定理及直角三角形的面积，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
11．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE
的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=1
4
BC,③OD=
1
2
BF,④∠CHF=45°．正确结论的个数为( )
A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B
【解析】
根据已知对各个结论进行分析，从而确定正确的个数．①作EN ⊥BD 于N ，连接EF ，由全等三角形的判定定理可得△DNE ≌等腰直角△ECF ，再由平行线的性质得出OH 是△DBF 的中位线即可得出结论；②根据OH 是△BFD 的中位线，得出GH=12CF ，由GH ＜14
BC ，可得出结论；③由OH 是△BFD 的中位线，BE 平分∠DBC ，由三角形全等得出BD=BF,即可得出结论．④根据四边形ABCD 是正方形，BE 是∠DBC 的平分线可求出Rt △BCE ≌Rt △DCF ，再由∠EBC=22.5°即可求出结论；作EN ⊥BD 于N ，连接EF ．①∵BE 平分∠DBC ∴EC=EN ∴等腰直角△DNE ≌等腰直角△ECF ，DE=FE ∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°∴∠HFE= 22.5°，∴∠EHF=180°-67.5°-22.5°=90°∵DH=HF ∴OH 是△DBF
的中位线∴OH ∥BF ，故①正确；②根据OH 是△BFD 的中位线，得出GH=
12CF ，由GH ＜14
BC ，故②错误；③由OH 是△BFD 的中位线，BE 平分∠DBC ，由三角形全等得出BD=BF,∵OD=12BD,∴OD=12BF ；④∠HCF=90°-22.5°=67.5°HFC=45°+22.5°=67.5°，∠CHF=45°
故选B.
【点睛】
解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．
12．如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且2CE DE =．将ADE 沿AE 对折至AFE △，
延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：
①ABG AFG △≌△；②BG GC =；③//AG CF ；④3FGC S =．其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】 由正方形和折叠的性质得出AF ＝AB ，∠B ＝∠AFG ＝90°，由HL 即可证明Rt △ABG ≌Rt △AFG ，得出①正确； 设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，由勾股定理求出x ＝3，得出②正确；
由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB ＝∠FCG ，证出平行线，得出③正确；
根据三角形的特点及面积公式求出△FGC 的面积,即可求证④．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝AD ＝DC ＝6，∠B ＝D ＝90°，
∵CD ＝3DE ，
∴DE ＝2，
∵△ADE 沿AE 折叠得到△AFE ，
∴DE ＝EF ＝2，AD ＝AF ，∠D ＝∠AFE ＝∠AFG ＝90°，
∴AF ＝AB ，
∵在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，
AG AG AB AF
=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），
∴①正确；
∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ，
∴BG ＝FG ，∠AGB ＝∠AGF ，
设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，
在Rt △ECG 中，由勾股定理得：CG 2＋CE 2＝EG 2，
∵CG ＝6−x ，CE ＝4，EG ＝x ＋2
∴（6−x ）2＋42＝（x ＋2）2
解得：x ＝3，
∴BG＝GF＝CG＝3，
∴②正确；
∵CG＝GF，
∴∠CFG＝∠FCG，
∵∠BGF＝∠CFG＋∠FCG，
又∵∠BGF＝∠AGB＋∠AGF，
∴∠CFG＋∠FCG＝∠AGB＋∠AGF，
∵∠AGB＝∠AGF，∠CFG＝∠FCG，
∴∠AGB＝∠FCG，
∴AG∥CF，
∴③正确；
∵△CFG和△CEG中，分别把FG和GE看作底边，则这两个三角形的高相同．
∴
3
5
CFG
CEG
S FG
S GE
==，
∵S△GCE＝1
2
×3×4＝6，
∴S△CFG＝3
5
×6＝
18
5
，
∴④不正确；
正确的结论有3个，故选：C．
二、填空题
13．在四边形ABCD 中，90A ︒∠=，AB BC CD ==，试补充一个条件__________，使四边形ABCD 是正方形．
【答案】//AB CD （答案不唯一）
【解析】
根据平行四边形的判定定理、菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．解：补充条件：//AB CD ； 证明：∵在四边形ABCD 中，AB =CD ，//AB CD ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
又∵AB =BC ，
∴ABCD 是菱形，
∵90A ︒∠=
∴菱形ABCD 是正方形，
故答案为//AB CD .
【点睛】
解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形．
14．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边DCE ，则AEC ∠的度数是__________．
【答案】45︒
【解析】
先求出AED ∠的度数，即可求出AEC ∠.解：由题意可得，
,90,60AD DC DE ADC EDC DEC ︒︒==∠=∠=∠=，
,150AD DE ADE ADC EDC ︒=∠=∠+∠=
180150152
AED DAE ︒︒
︒-∴∠=∠== 45AEC CED AED ︒∴∠=∠-∠=
故答案为45︒
【点睛】
本题考查了等腰与等边三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，等边三角行的三条边都相等，三个角都相等，灵活应用等腰及等边三角形的性质是解题的关键.
15．如图，正方形ABCD 中，CE ⊥MN ，若∠MCE=35°，则∠ANM 的度数是_____.
【答案】55°【解析】
过N 作NP BC ⊥于P ，则NP DC =，易证BEC PMN ≅，即可得MCE PNM ∠=∠，根据直角三角形内角和为180︒即可求得90ANM MCE ∠=︒-∠.过N 作NP BC ⊥于P ，则NP DC =，
90MCE NMC ∠+∠=︒
，90MNP NMC ∠+∠=︒，
∴MCE MNP ∠=∠，
在MNP △和ECB 中，
MNP MCE NP CB NPM CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴BEC PMN ≅，
∴MCE PNM ∠=∠，
∴9055ANM MCE ∠=︒-∠=︒，
故答案为：55︒.
【点睛】
本题考查了正方形各边长、各内角相等的性质，考查了全等三角形的判定和全等三角形对应角相等的性质，本题中证明BEC PMN ≅是解题的关键.
16．如图，点E 为正方形ABCD 外一点，AE=AD ，∠ADE=75°，则∠AEB= _________°.
,
【答案】30【解析】
根据等腰三角形的性质求出DAE ∠，然后求出BAE ∠的度数，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解
.AE AD =，75ADE ∠=︒，
∴180218027530DAE DAE ∠=︒-∠=︒-⨯︒=︒，
∴9030120BAE BAD DAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，
AB AD =，
∴AB AE =，
∴()()111801*********
AEB BAE ∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒. 故答案为：30.
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.
17．如图，正方形ABCD 的边长为4，H 在CD 的延长线上，四边形CEFH 也为正方形，则DBF 的面积为______．
【答案】8
【解析】
设EC=a ，利用DBF 的面积为：BEF ABD HDF ABCD HCEF S S S S S 正方形正方形+---，进而得出答案．设EC a =， 则DBF 的面积为：BEF ABD HDF ABCD HCEF S S S S S 正方形正方形+---
()()2221114a a 4a 4a a 48222
=+-⨯⨯+-⨯-⨯⨯-=． 故答案为8．
【点睛】
此题主要考查了整式的混合运算，正确表示出三角形面积，利用数形结合是解题关键．
18．如图，正方形ABCD 中，AB=2，点E 为BC 边上的一个动点，连接AE ，作∠EAF=45°，交CD 边于点F ，连接EF.若设BE=x ，则△CEF 的周长为______.
【答案】4【解析】
先根据正方形的性质得AB AD =，90BAD B ==︒∠∠，把ADF 绕点A 顺时针旋转90︒可得到ABG △，接着利用“SAS ”证明EAG EAF ≅，得到EG EF BE DF ==+，然后利用三角形周长的定义得到CEF △的周长CE CF BE DF CB CD =+++=+，由此即可解决问题. 四边形ABCD 为正方形，
∴AB AD =，90BAD B ==︒∠∠，
∴把ADF 绕点A 顺时针旋转90︒可得到ABG △，
∴AG AF =，BG DF =，90GAF ∠=︒，90ABG B ∠=∠=︒，
∴点G 在CB 的延长线上，
45EAF ∠=︒，
∴45EAG GAF EAF ∠=∠-∠=︒，
∴EAG EAF ∠=∠，
在EAG △和EAF 中，
AE AE EAG EAF AG AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴EAG EAF ≅（SAS ），
∴EG EF =，
而EG BE BG BE DF =+=+，
∴EF BE DF =+，
∴CEF △的周长224CE CF BE DF CB CD =+++=+=+=.
故答案为：4.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.
19．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE=CF ；
②∠AEB=75°；③BE+DF=EF ；④S 正方形ABCD =2．
其中正确的序号是_____（把你认为正确的都填上）．
【答案】①②④分析：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ．
∵△AEF 是等边三角形，∴AE=AF ．
∵在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AB=AD ，AE=AF ，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ）．∴BE=DF ．
∵BC=DC ，∴BC ﹣BE=CD ﹣DF ．∴CE=CF ．∴①说法正确．
∵CE=CF ，∴△ECF 是等腰直角三角形．∴∠CEF=45°．
∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°．∴②说法正确．
如图，连接AC ，交EF 于G 点，
∴AC ⊥EF ，且AC 平分EF ．
∵∠CAD≠∠DAF ，∴DF≠FG ．
∴BE+DF≠EF ．∴③说法错误．
∵EF=2，∴
设正方形的边长为a ，在Rt △ADF 中，(22a a 4+=，解得a =，
∴2a 2=．
∴ABCD S 2=正方形∴④说法正确．
综上所述，正确的序号是①②④．
20．如图，边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的正方形BEFG 排放在一起，O 1和O 2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为__，线段O 1O 2的长为__．
【答案】14
ab 如图，∵O 1和O 2分别是两个正方形的中心，正方形ABCD 的边长为a ，正方形BEFG 的边长为b ，
∴BO 1=2
a ，BO 2=2，∠CBO 1=∠CBO 2=45°，
∴∠O1BO 2=90°，
∴S 阴影=S △O1O2B =1124
ab =，O 1O 2=
故答案为：（1）14
ab ；（2）21．四边形ABCD 、四边形AEFG 都是正方形，当正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45°（45BAE ∠=︒）时，
如图，连接DG ，BE ，并延长BE 交DG 于点H ，且BH DG ⊥．若4AB =，AE =
BH 的长
是________．
【答案】5
【解析】
如图（见解析），先根据正方形的性质可得1,3GN DN ==，再根据勾股定理可得DG =
形全等的判定定理与性质可得BE DG ==最后利用等面积法求出5
HE =，据此利用线段的和差即可得出答案．如图，连接GE 交AD 于点N ，连接DE ，
∵正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45︒()45BAE ∠=︒，
∴AF 与EG 互相垂直平分，且AF 在AD 上，
∵四边形AEFG 是正方形，
AE =，
∴AG AE =，1AN GN ==，2EG =，45DAG ∠=︒，
四边形ABCD 是正方形，4AB =，
4AD AB ∴==，
∴413DN AD AN =-=-=，
在Rt DNG
中，DG =，
在ABE △和ADG 中，45AB AD BAE DAG AE AG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
()ABE ADG SAS ∴≅，
∴BE DG == ∵1122DEG S EG DN DG HE =⋅=⋅
，即112322
⨯⨯=，
∴HE =，
∴55
BH HE BE =+=+=，
．
【点睛】
本题考查了正方形的旋转问题与性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．
22．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点A ，先分别过此正方形的顶点B 、D 作BE l ⊥于点E 、DF l ⊥于点F ．然后再以正方形对角线的交点O 为端点，引两条相互垂直的射线分别与AD ，CD 交于G ，H 两点．若
EF =2ABE S ∆=，则线段GH 长度的最小值是___．
【解析】
根据正方形的性质可得AB AD =，90BAD ∠=︒，然后利用同角的余角相等求出BAE ADF ∠=∠，再利用“角角边”证明ABE ∆和DAF ∆全等，根据全等三角形对应边相等可得BE AF =，设AE x =，BE y =，然后列出方程组求出x 、y 的值，再利用勾股定理列式求出正方形的边长AB ，根据正方形的对角线平分一组对角可得45OAG ODH ∠=∠=︒，根据同角的余角相等求出AOG DOH ∠=∠，然后利用“角边角”证明AOG ∆和DOH ∆全等，根据全等三角形对应边相等可得OG OH =，判断出OGH ∆是等腰直角三角形，再根据垂线段最短和等腰直角三角形的性质可得OH CD ⊥时GH 最短，然后求解即可．在正方形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒， 90BAE DAF ∴∠+∠=︒，
DF l ⊥，
90DAF ADF ∴∠+∠=︒，
BAE ADF ∴∠=∠，
在ABE ∆和DAF ∆中，
90AFD BEA AB AD ⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
()ABE DAF AAS ∴∆≅∆，
BE AF ∴=，
设AE x =，BE y =，
2EF =2ABE S ∆=，
∴122
x y xy ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，
消掉y
并整理得，240x -+=，
解得11x =
，21x ，
当11x =
，11y ，
当21x
，21y ，
∴
由勾股定理得，AB ，
在正方形ABCD 中，45OAG ODH ∠=∠=︒，OA OD =，90AOD ∠=︒，
90AOG DOG ∴∠+∠=︒，
OG OH ⊥，
90DOH DOG ∴∠+∠=︒，
AOG DOH ∴∠=∠，
在AOG ∆和DOH ∆中，
OA OD
OAG ODH ⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()AOG DOH ASA ∴∆≅∆，
OG OH ∴=，
OGH ∴∆是等腰直角三角形，
由垂线段最短可得，OH CD ⊥时OH 最短，GH 也最短，
此时，GH
=
【点睛】
考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于多次证明三角形全等并判断出GH 长度最小时的情况．三、解答题
23．正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE DF EF +=，求EAF ∠的度数．
【答案】45°
【解析】
延长EB 使得BG=DF ，易证△ABG ≌△ADF （SAS ）可得AF=AG ，进而求证△AEG ≌△AEF 可得∠EAG=∠EAF ，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题．解：如图，延长EB 到点G ，使得BG DF =，连接AG ．
在正方形ABCD 中，90D ABC ∠=∠=︒，AB AD =，
90ABG ADF ∴∠=∠=︒．
在ABG 和ADF 中，
AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABG ADF SAS ∴≌，
DAF BAG ∴∠=∠，AF AG =．
又EF DF BE BG BE EG =+=+=，
∴在AEG △和AEF 中，
AE AE GE FE AG AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()AEG AEF SSS ∴≌，
EAG EAF ∴∠=∠．
90DAF EAF BAE ∠+∠+∠=︒，
90BAG EAF BAE ∴∠+∠+∠=︒，
90EAG EAF ∴∠+∠=︒，
45EAF ∴∠=︒．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解决此题的关键． 24．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为,AD BC 边上的点，若
2,4,90AG BF GEF ==∠=︒，求GF 的长．
【答案】6GF =
【解析】
延长GE 交CB 的延长线于M ．只要证明△AEG ≌△BEM ，推出AG=CM=2，再根据线段的垂直平分线的性质，即可解决问题．如图，延长GE 交CB 的延长线于M ．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴//AD CM ，
∴∠=∠AGE M ．
在AEG △和BEM △中，
,,,AGE M AEG MEB AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴
()AAS ≌AEG BEM ， ∴,2===GE EM AG BM ．
又∵EF MG ⊥，
∴FG FM =．
∵4BF =，
∴426=+=+=MF BF BM ，
∴6==GF FM ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 25．如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE ＝CE ．
【答案】见解析
【解析】
先证明△ABE ≌△CBE ，再利用全等三角形的性质，可以得到AE ＝CE ．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBE ，
在△ABE 和△CBE 中，
AB CB ABE CBE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△CBE （SAS ），
∴AE＝CE．
【点睛】
本题利用了全等三角形的判定和性质，以及正方形的性质．
26．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE、CF、OE、OF．当AB 与BC满足___________条件时，四边形AEOF正方形．
【答案】垂直，证明见解析．
【解析】
由菱形的性质得出AB=BC=DC=AD，由已知和三角形中位线定理证出AE=BE=DF=AF，OF=1
2
DC，OE=
1
2
BC，OE∥BC，
可得AE=OE=OF=AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO=90°，四边形AEOF是正方形．证明：：当AB⊥BC 时，四边形AEOF正方形．
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=DC=AD，
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴AE=BE=DF=AF，OF=1
2
DC，OE=
1
2
BC，OE∥BC，
AE=OE=OF=AF，
∴四边形AEOF是菱形，
∵AB ⊥BC ，OE ∥BC ，
∴OE ⊥AB ，
∴∠AEO=90°，
∴四边形AEOF 是正方形．
故答案：垂直．
【点睛】
本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．
27．如图，点P 是边长为4的正方形ABCD 对角线AC 上一点(P 不同A 、C 重合)，点E 在线段BC 上，且PE PB =.
(1)若1AP =，求CE 的长；
(2)求证：PE PD ⊥.
【答案】(1)CE=4(2)证明见解析.
【解析】 （1）过点P 作GF AB ∥，得出FC 、BF 的长度以及BF FE =，=CE BC BE BF FC BE =-+- （2）证明()PGD EFP SAS ≌，得出132390∠+∠=∠+∠=°，得出90DPE ∠=︒，从而证明PE PD
⊥(1)【解】过点P 作GF AB ∥，分别交AD BC ，于点G F ，，如图所示.
∵四边形ABCD 是正方形，
∴四边形ABFG 和四边形GFCD 都是矩形， AGP 和PFC △都是等腰直角三角形
又∵1
4AP AD ==，，
∴2
GP AG BF ===，
42GD FC FP ===-
又∵PB PE PF BE =⊥，.∴BF FE =，
∴4242
CE =-⨯=
(2)【证明】由(1)得在△PGD 和EFP △中，
∴90GD FP PGD EFP PG EF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴()PGD EFP SAS ≌，∴12∠=∠.
∴132390∠+∠=∠+∠=°，
∴90DPE ∠=︒，∴PE PD ⊥.
【点睛】
本题考察了辅助线的应用、勾股定理的运用、全等三角形的证明以及垂直的概念，运用好辅助线是解题的关键
28．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DF、FG相交于点H．
（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；
（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．
【答案】（1）FG⊥E D，理由详见解析；（2）详见解析
【解析】
（1）由旋转及平移的性质可得到∠DEB+∠GFE=90°，可得出结论；
（2）由旋转和平移的性质可得BE=CB，CG∥BE，从而可证明四边形CBEG是矩形，再结合CB=BE可证明四边形CBEG是正方形．（1）FG⊥E D．
理由如下：
∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，
∴∠DEB=∠ACB，
∵把△ABC沿射线平移至△FEG，
∴∠GFE=∠A，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ACB=90°，
∴∠DEB+∠GFE=90°，
∴∠FHE=90°，
∴FG ⊥ED ；
（2）根据旋转和平移可得∠GEF =90°，∠CBE =90°，CG ∥EB ，CB =BE ，
∵CG ∥EB ，
∴∠BCG =∠CBE =90°，
∴∠BCG =90°，
∴四边形BCGE 是矩形，
∵CB =BE ，
∴四边形CBEG 是正方形．
【点睛】
本题主要考查旋转和平移的性质，掌握旋转和平移的性质是解题的关键，即旋转或平移前后，对应角、对应边都相等．
29．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE ，过点A 作AG ED ⊥交DE 于点F ，交CD 于点G ．
（1）证明：ADG DCE ∆∆≌；
（2）连接BF ，证明：AB FB ＝．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG=∠C=90°，AD=DC ，∠DAG=∠CDE ，即可得出△ADG ≌△DCE ；
（2）延长DE 交AB 的延长线于H ，根据△DCE ≌△HBE ，即可得出B 是AH 的中点，进而得到AB=FB ．证明：（1）四边形ABCD 是正方形，
90ADG C AD DC ︒∴∠∠＝＝，＝，
又AG DE ⊥，
90DAG ADF CDE ADF ︒∴∠+∠∠+∠＝＝，
DAG CDE ∴∠∠＝，
ADG DCE ASA ∴∆∆≌（）
（2）如图所示，延长DE 交AB 的延长线于H ，
E 是BC 的中点，
BE CE ∴＝，
又90C HBE DEC HEB ︒∠∠∠∠＝＝，＝，
DCE HBE ASA ∴∆∆≌（）
， BH DC AB ∴＝＝，
即B 是AH 的中点，
又90AFH ︒∠＝，
Rt AFH ∴∆中，12
BF AH AB ＝＝． 【点睛】
本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
30．如图，正方形ABCD 的对角线交于点O 点E ，F 分别在AB ，BC 上（AE BE <）且90EOF ∠=︒，OE ，DA 的延长线交于点M ，OF ，AB 的延长线交于点N ，连接MN .
（1）求证：OM ON =.
（2）若正方形ABCD 的边长为4，E 为OM 的中点，求MN 的长.
【答案】（1）见解析（2）【解析】
（1）证△OAM ≌△OBN 即可得；
（2）作OH ⊥AD ，由正方形的边长为4且E 为OM 的中点知OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=2
由直角三角形性质知．（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴OA=OB ，∠DAO=45°，∠OBA=45°，
∴∠OAM=∠OBN=135°，
∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，
∴∠AOM=∠BON ，
∴△OAM≌△OBN（ASA），
∴OM=ON；
（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，
∵正方形的边长为4，
∴OH=HA=2，
∵E为OM的中点，
∴HM=4，
则
∴
．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质．
31．如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗．如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析．解：(1)∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA，
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA＋∠MAE＝90°＝∠AFO＋∠MAE
∴∠MEA＝∠AFO，
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF
∴OE＝OF
(2)OE＝OF成立
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA
又∵AM⊥BE，
∴∠F＋∠MBF＝90°＝∠E＋∠OBE
又∵∠MBF＝∠OBE
∴∠F＝∠E
∴Rt△BOE≌Rt△AOF
∴OE＝OF
32．在正方形ABCD中，E是CD边上一点，
（1）将ADE 绕点A 按顺时针方向旋转。

使AD 、AB 重合，得到ABF ，如图（a ）所示．观察可知：与DE 相等的线段是__________，AFB ∠=∠__________．
（2）如图（b ）所示，正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 边上的点，且45PAQ ∠=，试通过旋转的方式说明：DQ BP PQ +=．
（3）在（2）的条件下，连接BD 分别交AP 、AQ 于点M 、N ，如图（c ）所示．判断BM 、DN 、MN 之间的关系，直接写出结论．
【答案】（1）BF ，AED ；（2）见解析；（3）222BM DN MN +=
【解析】
（1）如图(a )，直接根据旋转的性质得到DE =BF ，∠AFB =∠AED ；
（2）将△ADQ 绕点A 按顺时针方向旋转90°，则AD 与AB 重合，得到△ABE ，根据旋转的性质得∠EAQ =∠BAD =90°，AE =AQ ，BE =DQ ，而∠PAQ =45°，则∠PAE =45°，再根据全等三角形的判定方法得到△APE ≌△APQ ，则PE =PQ ，于是PE =PB +BE =PB +DQ ，即可得到DQ +BP =PQ ；
（3）根据正方形的性质有∠ABD =∠ADB =45°，将△ADN 绕点A 按顺时针方向旋转90°，则AD 与AB 重合，得到△ABK ，根据旋转的性质得∠ABK =∠ADN =45°，BK =DN ，AK =AN ，与（2）一样可证明△AMN ≌△AMK 得到MN =MK ，由于∠MBK =∠MBA +∠KBA =45°+45°=90°，得到△BMK 为直角三角形，根据勾股定理得BK 2+BM 2=MK 2，然后利用等相等代换即可得到BM 2+DN 2=MN 2．（1）如图(a )．
∵△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转，使AD 、AB 重合，得到△ABF ．
∵DE =BF ，∠AFB =∠AED ．
故答案为：BF，AED；
（2）将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2，则∠D=∠ABE=90°，即点E、B、P共线，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ．
∵∠PAQ=45°，
∴∠PAE=45°，
∴∠PAQ=∠PAE，
在△APE和△APQ中，
∵
AE AQ
PAE PAQ AP AP
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△APE≌△APQ(SAS)，
∴PE=PQ，
而PE=PB+BE=PB+DQ，
∴DQ+BP=PQ；
（3）BM2+DN2=MN2．证明如下：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
如图3，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，
则∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，
与（2）一样可证明△AMN≌△AMK，得到MN=MK．
∵∠MBK=∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，
∴△BMK为直角三角形，
∴BK2+BM2=MK2，
∴BM2+DN2=MN2．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理．。